2018年高中數(shù)學(xué)數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入3.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)案新人教A版.docx

31.2復(fù)數(shù)的幾何意義預(yù)習(xí)課本P104105，思考并完成下列問題(1)復(fù)平面是如何定義的，復(fù)數(shù)的模如何求出？ (2)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點及向量的關(guān)系如何？復(fù)數(shù)的模是實數(shù)還是復(fù)數(shù)？ 1復(fù)平面2復(fù)數(shù)的幾何意義.3復(fù)數(shù)的模(1)定義：向量的模r叫做復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的模(2)記法：復(fù)數(shù)zabi的模記為|z|或|abi|.(3)公式：|z|abi|r(r0，rR)點睛實軸、虛軸上的點與復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(0,0)，它所確定的復(fù)數(shù)是z00i0，表示的是實數(shù)1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于實數(shù)的點都在實軸上()(2)在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)()(3)復(fù)數(shù)的模一定是正實數(shù)()答案：(1)(2)(3)2已知復(fù)數(shù)zi，復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點Z的坐標(biāo)為()A(0,1)B(1,0)C(0,0)D(1,1)答案：A3向量a(1，2)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()Az12i Bz12iCz12i Dz2i答案：B4已知復(fù)數(shù)z的實部為1，虛部為2，則|z|_.答案：復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系典例求實數(shù)a分別取何值時，復(fù)數(shù)z(a22a15)i(aR)對應(yīng)的點Z滿足下列條件：(1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi)(2)在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方解(1)點Z在復(fù)平面的第二象限內(nèi)，則解得a3.(2)點Z在x軸上方，則即(a3)(a5)0，解得a5或a3.一題多變1變設(shè)問本例中題設(shè)條件不變，求復(fù)數(shù)z表示的點在x軸上時，實數(shù)a的值解：點Z在x軸上，所以a22a150且a30，所以a5.故a5時，點Z在x軸上2變設(shè)問本例中條件不變，如果點Z在直線xy70上，求實數(shù)a的值解：因為點Z在直線xy70上，所以a22a1570，即a32a215a300，所以(a2)(a215)0，故a2或a.所以a2或a時，點Z在直線xy70上利用復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)解題的步驟(1)找對應(yīng)關(guān)系：復(fù)數(shù)的幾何表示法即復(fù)數(shù)zabi(a，bR)可以用復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)來表示，是解決此類問題的根據(jù)(2)列出方程：此類問題可建立復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)滿足的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求解 復(fù)數(shù)的模典例(1)若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在直線y2x上，且|z|，則復(fù)數(shù)z()A12iB12iC12i D12i或12i(2)設(shè)復(fù)數(shù)z1a2i，z22i，且|z1|z2|，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，1)(1，) B(1,1)C(1，) D(0，)解析(1)依題意可設(shè)復(fù)數(shù)za2ai(aR)，由|z|得 ，解得a1，故z12i或z12i.(2)因為|z1| ，|z2|，所以，即a245，所以a21，即1a1.答案(1)D(2)B復(fù)數(shù)模的計算(1)計算復(fù)數(shù)的模時，應(yīng)先確定復(fù)數(shù)的實部和虛部，再利用模長公式計算雖然兩個虛數(shù)不能比較大小，但它們的模可以比較大小(2)設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用模的定義轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題求解活學(xué)活用1如果復(fù)數(shù)z1ai滿足條件|z|2，那么實數(shù)a的取值范圍是()A(2，2) B(2,2)C(1,1) D(，)解析：選D因為|z|2，所以2，則1a24，a23，解得a.2求復(fù)數(shù)z168i與z2i的模，并比較它們的模的大小解：z168i，z2i，|z1|10，|z2| .10，|z1|z2|.復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的關(guān)系 典例向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A108i B108iC0 D108i解析因為向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i，所以(5, 4)，所以(5， 4) ，所以(5，4)(5,4)(0,0)，所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)是0.答案C(1)以原點為起點的向量表示的復(fù)數(shù)等于它的終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)；向量平移后，此向量表示的復(fù)數(shù)不變，但平移前后起點、終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)要改變(2)復(fù)數(shù)的模從幾何意義上來講，表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，類比向量的模，可以進一步引申|zz1|表示點Z到點Z1之間的距離如|zi|1表示點Z到點(0,1)之間的距離為1. 活學(xué)活用在復(fù)平面內(nèi)畫出下列復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，并求出各復(fù)數(shù)的模z11i；z2i；z32；z422i.解：在復(fù)平面內(nèi)分別畫出點Z1(1，1)，Z2，Z3(2,0)，Z4(2,2)，則向量OZ2，OZ4分別為復(fù)數(shù)z1，z2，z3，z4對應(yīng)的向量，如圖所示各復(fù)數(shù)的模分別為：|z1|；|z2| 1；|z3|2；|z4|2.層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)1與x軸同方向的單位向量e1與y軸同方向的單位向量e2，它們對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是()Ae1對應(yīng)實數(shù)1，e2對應(yīng)虛數(shù)iBe1對應(yīng)虛數(shù)i，e2對應(yīng)虛數(shù)iCe1對應(yīng)實數(shù)1，e2對應(yīng)虛數(shù)iDe1對應(yīng)實數(shù)1或1，e2對應(yīng)虛數(shù)i或i解析：選Ae1(1,0)，e2(0,1)2當(dāng)m1時，復(fù)數(shù)z(3m2)(m1)i在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選Dm1，3m20，m10，點(3m2，m1)在第四象限3已知0a2，復(fù)數(shù)zai(i是虛數(shù)單位)，則|z|的取值范圍是()A(1，) B(1，)C(1,3) D(1,5)解析：選B|z|，0a2，1a215，|z|(1，)4在復(fù)平面內(nèi)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是13i，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A.12i B.12iC.34i D.34i解析：選D由題意知(2,1)， (1，3)(1，3)(2，1)(3，4)，CA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為34i.5復(fù)數(shù)z1cos isin (2)的模為()A2cos B2cosC2sin D2sin解析：選B|z|2|cos|.2，cos0，于是|z|2cos.6在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點，向量OA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i，若點A關(guān)于直線yx的對稱點為B，則向量OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為_解析：復(fù)數(shù)2i對應(yīng)點A(2，1)，點A關(guān)于直線yx的對稱點為B(1,2)，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為12i.答案：12i7過原點和i對應(yīng)點的直線的傾斜角是_解析：i在復(fù)平面上的對應(yīng)點是(，1)，tan (0)，.答案：8若復(fù)數(shù)z滿足zi1i，則z_.解析：設(shè)zabi(a，bR)，則zi1i，得(abi)i1i，即bai1i.由復(fù)數(shù)相等的充要條件得即z1i.答案：1i9設(shè)z為純虛數(shù)，且|z1|1i|，求復(fù)數(shù)z.解：z為純虛數(shù)，設(shè)zai(aR且a0)，又|1i|，由|z1|1i|，得 ，解得a1，zi.10已知復(fù)數(shù)zm(m1)(m22m3)i(mR)(1)若z是實數(shù)，求m的值；(2)若z是純虛數(shù)，求m的值；(3)若在復(fù)平面內(nèi)，z所對應(yīng)的點在第四象限，求m的取值范圍解：(1)z為實數(shù)，m22m30，解得m3或m1.(2)z為純虛數(shù)，解得m0.(3)z所對應(yīng)的點在第四象限，解得3m0.故m的取值范圍為(3,0)層級二應(yīng)試能力達標(biāo)1已知復(fù)數(shù)z12ai(aR)對應(yīng)的點在直線x3y40上，則復(fù)數(shù)z2a2i對應(yīng)的點在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選B復(fù)數(shù)z12ai對應(yīng)的點為(2，a)，它在直線x3y40上，故23a40，解得a2，于是復(fù)數(shù)z222i，它對應(yīng)點的點在第二象限，故選B.2復(fù)數(shù)z(a22a)(a2a2)i對應(yīng)的點在虛軸上，則()Aa2或a1 Ba2且a1Ca0 Da2或a0解析：選Dz在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在虛軸上，a22a0，解得a2或a0.3若x，yR，i為虛數(shù)單位，且xy(xy)i3i，則復(fù)數(shù)xyi在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選Axy(xy)i3i，解得復(fù)數(shù)12i所對應(yīng)的點在第一象限4在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)點分別為A，B.已知A(1,2)，|AB|2，|z2|，則z2()A45i B54iC34i D54i或i解析：選D設(shè)z2xyi(x，yR)，由條件得，或故選D.5若zai(aR，且a0)的模為，則a_，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)_.解析：，且a0，a1，則z1i，1i.答案：11i6已知復(fù)數(shù)zx2yi的模是2，則點(x，y)的軌跡方程是_解析：由模的計算公式得 2，(x2)2y28.答案：(x2)2y287已知復(fù)數(shù)z0abi(a，bR)，z(a3)(b2)i，若|z0|2，求復(fù)數(shù)z對應(yīng)點的軌跡解：設(shè)zxyi(x，yR)，則復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點為P(x，y)，由題意知z0abi，|z0|2，a2b24.將代入得(x3)2(y2)24.點P的軌跡是以(3，2)為圓心，2為半徑的圓8已知復(fù)數(shù)z1i，z2i.(1)求|z1|及|z2|并比較大?。?2)設(shè)zC，滿足條件|z2|z|z1|的點Z