高考數(shù)學一輪復習 第六章 不等式、推理與證明 6.2 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題課件 理.ppt

第二節(jié)二元一次不等式 組 與簡單的線性規(guī)劃問題 知識梳理 1 二元一次不等式 組 表示的平面區(qū)域 邊界直線 公共部分 2 線性規(guī)劃中的有關(guān)概念 不等式 組 不等式 組 解析式 一次 可行解 最大值或最小值 最大值 最小值 3 確定二元一次不等式 組 表示的平面區(qū)域的方法確定二元一次不等式 組 表示的平面區(qū)域時 經(jīng)常采用 直線定界 特殊點定域 的方法 1 直線定界 不等式含等號 直線在區(qū)域內(nèi) 不含等號 直線不在區(qū)域內(nèi) 2 特殊點定域 在直線上方 下方 取一點 代入不等式成立 則區(qū)域就為上方 下方 否則就是下方 上方 特別地 當c 0時 常把原點作為測試點 當c 0時 常選點 1 0 或者 0 1 作為測試點 特別提醒 1 判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域的常用結(jié)論把ax by c 0或ax by ckx b或ykx b則區(qū)域為直線ax by c 0上方 2 若y kx b則區(qū)域為直線ax by c 0下方 2 最優(yōu)解與可行解的關(guān)系最優(yōu)解必定是可行解 但可行解不一定是最優(yōu)解 最優(yōu)解不一定唯一 小題快練 鏈接教材練一練1 必修5p86練習t3改編 不等式組表示的平面區(qū)域是 解析 選c x 3y 6 0表示直線x 3y 6 0左上方部分 x y 2 0表示直線x y 2 0及其右下方部分 故不等式組表示的平面區(qū)域為選項c所示部分 2 必修5p93習題3 3a組t2改編 已知x y滿足則z 3x y的最小值為 解析 由題意畫出平面區(qū)域如圖 當直線z 3x y經(jīng)過點a時 z取得最小值 由可得即點a 1 3 所以zmin 3x y 3 1 3 0 答案 0 感悟考題試一試3 2015 安徽高考 已知x y滿足約束條件則z 2x y的最大值是 a 1b 2c 5d 1 解題提示 正確畫出平面區(qū)域的可行域 是一個三角形 再數(shù)形結(jié)合計算求值 解析 選a 根據(jù)題意畫出約束條件確定的可行域 如圖所示 因為z 2x y 則y 2x z 可知過圖中點a 1 1 時 z 2x y取得最大值 1 故選a 4 2015 廣東高考 若變量x y滿足約束條件則z 3x 2y的最小值為 解析 選c 不等式組所表示的可行域如圖所示 由z 3x 2y得y 依題當目標函數(shù)直線l y 經(jīng)過a時 z取得最小值 即zmin 3 1 2 5 2015 全國卷 若x y滿足約束條件則z 3x y的最大值為 解析 畫出可行域如圖所示 目標函數(shù)y 3x z 當z取到最大值時 y 3x z的縱截距最大 即將直線移到點c時 解得c 1 1 zmax 3 1 1 4 答案 4 考向一平面區(qū)域的面積問題 典例1 1 2016 北京模擬 在平面直角坐標系xoy中 不等式組表示圖形的面積等于 a 1b 2c 3d 4 2 2016 鄭州模擬 已知不等式組表示的平面區(qū)域為d 若直線y kx 1將區(qū)域d分成面積相等的兩部分 則實數(shù)k的值是 解題導引 1 畫出不等式組所表示的平面區(qū)域 根據(jù)圖形便可計算面積 2 畫出不等式組表示的平面區(qū)域 直線y kx 1過定點 0 1 利用面積相等確定直線經(jīng)過的區(qū)域邊界上的點 然后代入求k值 規(guī)范解答 1 選b 不等式組對應的平面區(qū)域如圖 對應的區(qū)域為正方形abcd 其中a 0 1 d 1 0 邊長ad 則正方形的面積s 2 故選b 2 區(qū)域d如圖中的陰影部分所示 直線y kx 1經(jīng)過定點c 0 1 如果其把區(qū)域d劃分為面積相等的兩個部分 則直線y kx 1只要經(jīng)過ab的中點即可 由方程組解得a 1 0 由方程組解得b 2 3 所以ab的中點坐標為代入直線方程y kx 1得 解得答案 規(guī)律方法 求平面區(qū)域面積的方法 1 利用一般方法求解 畫出不等式組表示的平面區(qū)域 若不能直接畫出 應利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題 再作出平面區(qū)域 對平面區(qū)域進行分析 若為三角形應確定底與高 若為規(guī)則的四邊形 如平行四邊形或梯形 可利用面積公式直接求解 若為不規(guī)則四邊形 可分割成幾個三角形分別求解再求和即可 2 利用幾何意義求解 利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題 也應作出平面圖形 利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解 變式訓練 2014 安徽高考 不等式組表示的平面區(qū)域的面積為 解析 如圖所示 可得點a 0 2 b 2 0 c 8 2 根據(jù)圖形計算可得s abc 2 2 2 2 4 答案 4 加固訓練 1 不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于 解析 選c 平面區(qū)域如圖所示 解得a 1 1 易得b 0 4 c bc 所以s abc 2 2016 汕頭模擬 已知約束條件表示面積為1的直角三角形區(qū)域 則實數(shù)k的值為 a 1b 1c 0d 2 解析 選a 先作出不等式組對應的平面區(qū)域 如圖 要使陰影部分為直角三角形 當k 0時 此三角形的面積為 3 3 1 所以不成立 所以k 0 則必有bc ab 因為x y 4 0的斜率為 1 所以直線kx y 0的斜率為1 即k 1 故選a 3 設動點p x y 在區(qū)域 上 過點p任作直線l 設直線l與區(qū)域 的公共部分為線段ab 則以ab為直徑的圓的面積的最大值為 a b 2 c 3 d 4 解析 選d 作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示 則根據(jù)圖形可知 以ab為直徑的圓的面積的最大值s 4 4 求不等式組所表示的平面區(qū)域的面積 解析 如圖 平面區(qū)域為直角梯形 易得a 0 2 b 2 2 c 2 7 d 0 5 所以ad 3 ab 2 bc 5 故所求區(qū)域的面積為s 3 5 2 8 考向二線性規(guī)劃相關(guān)問題 考情快遞 考題例析 命題方向1 求目標函數(shù)的最值 典例2 1 2015 全國卷 若x y滿足約束條件則z 2x y的最大值為 本題源自人a必修5p91練習t1 2 2015 全國卷 若x y滿足約束條件則的最大值為 解題導引 1 此題為截距型 根據(jù)約束條件畫出可行域 在三角區(qū)域的頂點處取得最值 2 此題為斜率型 作出可行域 由斜率的意義知 是可行域內(nèi)一點與原點連線的斜率 數(shù)形結(jié)合可求最值 規(guī)范解答 1 畫出可行域如圖所示 目標函數(shù)y 2x z 當z取到最大值時 y 2x z的縱截距最大 故將直線移到點b 3 2 時 zmax 2 3 2 8 答案 8 2 作出可行域如圖中陰影部分所示 由斜率的意義知 是可行域內(nèi)一點與原點連線的斜率 由圖可知 點a 1 3 與原點連線的斜率最大 故的最大值為3 答案 3 母題變式 1 本例題 1 條件不變 求z 2x y的最小值 解析 由例題解析知 當將直線移到點a時 取得最小值 a點是直線2x y 1 0和x 2y 1 0的交點 所以a點坐標為 1 1 所以z的最小值為zmin 2 1 1 3 2 本例題 1 條件變?yōu)榍髗 2x y的最大值 解析 作圖易知可行域為一個三角形 當直線z 2x y過點a 2 1 時 z取最大值 最大值是3 命題方向2 求參數(shù)的值或范圍 典例3 1 2015 福建高考 變量x y滿足約束條件若z 2x y的最大值為2 則實數(shù)m等于 a 2b 1c 1d 2 2 2014 安徽高考 x y滿足約束條件若z y ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一 則實數(shù)a的值為 a 或 1b 2或c 2或1d 2或 1 解題導引 1 將目標函數(shù)變形為y 2x z 結(jié)合題意 對m分類討論 畫出可行域 結(jié)合圖象 可找出最優(yōu)解 進而求出m的值 2 作出可行域 分析題干可知線性目標函數(shù)對應直線與可行域某一邊界重合 進而可求解 規(guī)范解答 1 選c 如圖所示 當m 0時 比如在 的位置 此時為開放區(qū)域無最大值 當m 2時 比如在 的位置 此時在原點取得最大值不滿足題意 當0 m 2時 在點a取得最大值 所以代入得m 1 2 選d 由線性約束條件可得其圖象如圖所示 由圖象可知直線z y ax經(jīng)過ab或ac時取得最大值的最優(yōu)解不唯一 此時a 2或 1 技法感悟 線性規(guī)劃兩類問題的解決方法 1 求目標函數(shù)的最值 畫出可行域后 要根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義求解 常見的目標函數(shù)有 截距型 形如z ax by 距離型 形如 斜率型 形如 2 求參數(shù)的值或范圍 參數(shù)的位置可能在目標函數(shù)中 也可能在約束條件中 求解步驟為 注意對參數(shù)取值的討論 將各種情況下的可行域畫出來 在符合題意的可行域里 尋求最優(yōu)解 題組通關(guān) 1 2015 福建高考 若變量x y滿足約束條件則z 2x y的最小值等于 解析 選a 畫出可行域如圖所示 當目標函數(shù)平移至b點時截距最大 所以把點b坐標代入目標函數(shù)可得zmin 2 1 2 2014 全國卷 設x y滿足約束條件且z x ay的最小值為7 則a a 5b 3c 5或3d 5或 3 解析 選b 方法一 畫出不等式組對應的平面區(qū)域 如圖所示 聯(lián)立解得所以當a 0時a為z x ay的最小值為 不滿足題意 當a 0時 由z x ay得y 要使z最小 則直線y 在y軸上的截距最大 此時最優(yōu)解不存在 當a 0時 當直線過點a時截距最小 z最小 此時z 7 解得a 5 舍去 或a 3 方法二 先畫出可行域 然后根據(jù)圖形結(jié)合選項求解 當a 5時 作出不等式組表示的可行域 如圖1 陰影部分 由得交點a 3 2 則目標函數(shù)z x 5y過a點時取得最大值 zmax 3 5 2 7 不滿足題意 排除a c選項 當a 3時 作出不等式組表示的可行域 如圖2 陰影部分 由得交點b 1 2 則目標函數(shù)z x 3y過b點時取得最小值 zmin 1 3 2 7 滿足題意 3 2014 浙江高考 當實數(shù)x y 滿足時 1 ax y 4恒成立 則實數(shù)a的取值范圍是 解析 作出不等式組所表示的區(qū)域 由1 ax y 4 由圖可知 a 0且在 1 0 點取得最小值 在 2 1 點取得最大值 所以a 1 2a 1 4 故a的取值范圍為答案 考向三線性規(guī)劃實際應用 典例4 1 2015 陜西高考 某企業(yè)生產(chǎn)甲 乙兩種產(chǎn)品均需用a b兩種原料 已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示 如果生產(chǎn)1噸甲 乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元 4萬元 則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為 a 12萬元b 16萬元c 17萬元d 18萬元 2 2016 蕪湖模擬 某玩具生產(chǎn)公司每天計劃生產(chǎn)衛(wèi)兵 騎兵 傘兵這三種玩具共100個 生產(chǎn)一個衛(wèi)兵需5分鐘 生產(chǎn)一個騎兵需7分鐘 生產(chǎn)一個傘兵需4分鐘 已知總生產(chǎn)時間不超過10小時 若生產(chǎn)一個衛(wèi)兵可獲利潤5元 生產(chǎn)一個騎兵可獲利潤6元 生產(chǎn)一個傘兵可獲利潤3元 用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個數(shù)x與騎兵個數(shù)y 表示每天的利潤w 元 怎樣分配生產(chǎn)任務才能使每天的利潤最大 最大利潤是多少 解題導引 1 把企業(yè)的生產(chǎn)實際抽象為不等式組 表示出目標函數(shù) 畫出可行域 根據(jù)可行域可找出最優(yōu)解 2 把公司生產(chǎn)的約束條件 翻譯 成不等式組 畫出可行域 可求目標函數(shù)最值 規(guī)范解答 1 選d 設每天生產(chǎn)甲 乙兩種產(chǎn)品分別為x噸 y噸 利潤為z萬元 則目標函數(shù)為z 3x 4y 作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域 陰影部分 即可行域 由z 3x 4y得平移直線由圖象可知當直線經(jīng)過點a時 直線在y軸上的截距最大 此時z最大 解方程組即a的坐標為 2 3 所以zmax 3x 4y 6 12 18 即每天生產(chǎn)甲 乙兩種產(chǎn)品分別為2噸 3噸 能夠產(chǎn)生最大的利潤 最大的利潤是18萬元 2 依題意 每天生產(chǎn)的傘兵個數(shù)為100 x y 所以利潤w 5x 6y 3 100 x y 2x 3y 300 約束條件為整理 得 目標函數(shù)為w 2x 3y 300 如圖所示 作出可行域 初始直線l0 2x 3y 0 平移初始直線經(jīng)過點a時 w有最大值 最優(yōu)解為a 50 50 所以wmax 2 50 3 50 300 550 元 答 每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個 騎兵50個 傘兵0個時利潤最大 為550元 易錯警示 解答本例題 2 容易出現(xiàn)以下錯誤 1 弄不清約束條件 列不等式組時寫錯不等號的方向 2 忽略總生產(chǎn)時間不超過10小時的條件 或用不等式表示不準確 規(guī)律方法 利用線性規(guī)劃解決實際問題的一般步驟 1 審題 仔細閱讀材料 抓住關(guān)鍵 準確理解題意 明確有哪些限制條件 借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系 2 設元 設問題中起關(guān)鍵作用的 或關(guān)聯(lián)較多的 量為未知量x y 并列出相應的不等式組和目標函數(shù) 3 作圖 準確作出可行域 平移找點 最優(yōu)解 4 求解 代入目標函數(shù)求解 最大值或最小值 5 檢驗 根據(jù)結(jié)果 檢驗反饋 變式訓練 2016 南安模擬 某電視機廠計劃在下一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)兩種型號電視機 每臺a型或b型電視機所得利潤分別為6和4個單位 而生產(chǎn)一臺a型或b型電視機所耗原料分別為2和3個單位 所需工時分別為4和2個單位 如果允許使用的原料為100個單位 工時為120個單位 且a或b型電視機產(chǎn)量分別不低于5臺和10臺 應當生產(chǎn)每種類型電視機多少臺 才能使利潤最大 解析 設生產(chǎn)a型電視機x臺 b型電視機y臺 則根據(jù)已知條件知線性約束條件為 線性目標函數(shù)為z 6x 4y 根據(jù)約束條件作出可行域如圖中陰影部分整點所示 作直線l0 3x 2y 0 當直線l0平移至過點a時 z取最大值 解方程組所以生產(chǎn)兩種類型電視機各20臺 所獲利潤最大 加固訓練 1 某旅行社租用a b兩種型號的客車安排900名客人旅行 a b兩種車輛的載客量分別為36人和60人 租金分別為1600元 輛和2400元 輛 旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛 且b型車不多于a型車7輛 則租金最少為 a 31200元b 36000元c 36800元d 38400元 解析 選c 設旅行社租用a型客車x輛 b型客車y輛 租金為z 則線性約束條件為目標函數(shù)為z 1600 x 2400y 畫出可行域 圖中陰影部分所示 可知目標函數(shù)過點n 5 12 時 有最小值zmin 36800 元 2 某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜 種植面積不超過50畝 投入資金不超過54萬元 假設種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量 成本和售價如下表 為使一年的種植總利潤 總利潤 總銷售收入 總種植成本 最大 那么黃瓜和韭菜的種植面積 單位 畝 分別為 a 50 0b 30 20c 20 30d 0 50 解析 選b 設黃瓜 韭菜的種植面積分別為x y畝 則總利潤z 4 0 55x 6 0 3y 1 2x 0 9y x 0 9y 此時x y滿足條件畫出可行域如圖 得最優(yōu)解為a 30 20 3 某公司生產(chǎn)甲 乙兩種桶裝產(chǎn)品 已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗a原料1千克 b原料2千克 生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗a原料2千克 b原料1千克 每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元 每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元 公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中 要求每天消耗a b原料都不超過12千克 通過合 理安排生產(chǎn)計劃 從每天生產(chǎn)的甲 乙兩種產(chǎn)品中 公司共可獲得的最大利潤是 a 1800元b 2400元c 2800元d 3100元 解析 選c 設某公司生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶 生產(chǎn)乙產(chǎn)品y桶 獲利為z元 則x y滿足的線性約束條件為目標函數(shù)z 300 x 400y 作出可行域 如圖中四邊形oabc的邊界及其內(nèi)部整點 作直線l0 3x 4y 0 平移