高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量 10.7 離散型隨機(jī)變量及其分布列課件 理.pptVIP

第七節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列 知識梳理 1 隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)結(jié)果變化 的變量 常用字母x y 表示 2 離散型隨機(jī)變量所有取值可以 的隨機(jī)變量 而變化 一一列出 3 離散型隨機(jī)變量分布列 1 定義 若離散型隨機(jī)變量x可能取的不同值為x1 x2 xi xn x取每一個值xi i 1 2 n 的概率p x xi pi 則表 稱為離散型隨機(jī)變量x的概率分布列 簡稱為x的分布列 有時也用等式 表示x的分布列 2 性質(zhì) 1 p x xi pi i 1 2 n pi 0 i 1 2 n 4 常見兩類特殊的分布列 1 兩點(diǎn)分布 若隨機(jī)變量x服從兩點(diǎn)分布 即其分布列為其中p 稱為成功概率 1 p p x 1 2 超幾何分布 在含有m件次品的n件產(chǎn)品中 任取n件 其中恰有x件次品 則p x k k 0 1 2 m 其中m 且n n m n n m n n 即如果隨機(jī)變量x的分布列具有下表形式 min m n 則稱隨機(jī)變量x服從超幾何分布 特別提醒 1 確定隨機(jī)變量取值時的關(guān)注點(diǎn) 每個取值對應(yīng)的實(shí)際結(jié)果及各個取值表示的結(jié)果是彼此互斥的 2 某指定范圍的概率 某指定范圍的概率等于本范圍內(nèi)所有隨機(jī)變量的概率和 3 兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系 兩點(diǎn)分布實(shí)際上是n 1時的二項(xiàng)分布 小題快練 鏈接教材練一練1 選修2 3p49習(xí)題2 1a組t5改編 若某一射手射擊所得環(huán)數(shù)x的分布列為 則此射手 射擊一次命中環(huán)數(shù)x 7 的概率是 a 0 88b 0 12c 0 79d 0 09 解析 選a p x 7 p x 7 p x 8 p x 9 p x 10 0 09 0 28 0 29 0 22 0 88 2 選修2 3p47例2改編 有一批產(chǎn)品共12件 其中次品3件 每次從中任取一件 在取到合格品之前取出的次品數(shù)x的所有可能取值是 解析 可能第一次就取到合格品 也可能取完次品后才取得合格品 所以x的所有可能取值為0 1 2 3 答案 0 1 2 3 感悟考題試一試3 2016 洛陽模擬 設(shè)隨機(jī)變量y的分布列為則 y 的概率為 解析 選c 因?yàn)?1 所以所以p p 2 p 3 4 2016 南昌模擬 在含有3件次品的10件產(chǎn)品中 任取4件 則取到次品數(shù)x的分布列為 解析 由題意 x服從超幾何分布 其中n 10 m 3 n 4 所以分布列為p x k k 0 1 2 3 答案 p x k k 0 1 2 3 5 2016 成都模擬 設(shè)隨機(jī)變量x的分布列為則p x 3 1 解析 根據(jù)概率分布列的性質(zhì)得出 1 得m 隨機(jī)變量x的概率分布列為所以p x 3 1 p 4 p 2 答案 考向一離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì) 典例1 1 2016 長春模擬 若離散型隨機(jī)變量x的分布列為則常數(shù)c的值為 2 設(shè)離散型隨機(jī)變量x的分布列為求 x 1 的分布列 解題導(dǎo)引 1 根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)列出關(guān)于c的不等式和方程求解 2 先利用離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)求出m的值 再求 x 1 的分布列 規(guī)范解答 1 選c 根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)知得c 2 由分布列的性質(zhì) 知0 2 0 1 0 1 0 3 m 1 所以m 0 3 列表所以p 1 p x 0 p x 2 0 2 0 1 0 3 p 0 p x 1 0 1 p 2 p x 3 0 3 p 3 p x 4 0 3 因此 x 1 的分布列為 母題變式 1 在本例題 2 的條件下 求p 1 x 4 解析 由例題 2 解析知m 0 3 所以p 1 x 4 p x 2 p x 3 p x 4 0 1 0 3 0 3 0 7 2 本例題 2 中條件不變 求p 1 2x 1 9 解析 p 1 2x 1 9 p 2x 1 3 p 2x 1 5 p 2x 1 7 0 1 0 1 0 3 0 5 易錯警示 解答本例題 1 會出現(xiàn)以下錯誤 1 易忽略9c2 c 0 且3 8c 0這兩個條件 而誤選a 2 解方程9c2 c 3 8c 1時計算失誤 規(guī)律方法 1 分布列性質(zhì)的兩個作用 1 利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性 2 隨機(jī)變量x所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的 利用這一點(diǎn)可以求隨機(jī)變量在某個范圍內(nèi)的概率 易錯提醒 求分布列中的參數(shù)值時 要保證每個概率值均為非負(fù)數(shù) 2 隨機(jī)變量x的線性組合的概率及分布列問題 1 隨機(jī)變量x的線性組合 ax b a b r 是隨機(jī)變量 2 求 ax b的分布列可先求出相應(yīng)隨機(jī)變量的值 再根據(jù)對應(yīng)的概率寫出分布列 變式訓(xùn)練 1 2016 蘭州模擬 設(shè)隨機(jī)變量x等可能取值1 2 3 n 如果p x 4 0 3 那么 a n 3b n 4c n 10d n 9 解析 選c p x 4 p x 1 p x 2 p x 3 0 3 所以n 10 2 隨機(jī)變量x的分布列如下 其中a b c成等差數(shù)列 則p x 1 解析 由題意知則2b 1 b 則所以p x 1 p x 1 p x 1 a c 答案 加固訓(xùn)練 1 2016 長沙模擬 設(shè)x是一個離散型隨機(jī)變量 其分布列為則q等于 解析 選c 由分布列的性質(zhì)知所以 2 設(shè)隨機(jī)變量 的分布列為p k a k k 1 2 3 則a的值為 解析 選d 因?yàn)殡S機(jī)變量 的分布列為p k a k k 1 2 3 所以根據(jù)分布列的性質(zhì)有所以所以 考向二超幾何分布的應(yīng)用 典例2 2015 重慶高考改編 端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗 設(shè)一盤中裝有10個粽子 其中豆沙粽2個 肉粽3個 白粽5個 這三種粽子的外觀完全相同 從中任意選取3個 1 求三種粽子各取到1個的概率 2 設(shè)x表示取到的豆沙粽個數(shù) 求x的分布列 解題導(dǎo)引 1 由于每個粽子被取到的機(jī)會均等 且所有選法是一定的 因此可直接用古典概型的概率計算公式計算 2 該問題符合超幾何分布的定義 利用超幾何分布求出分布列即可 規(guī)范解答 1 令a表示事件 三種粽子各取到1個 則由古典概型的概率計算公式有p a 2 x的所有可能值為0 1 2 且p x 0 p x 1 p x 2 綜上知 x的分布列為 規(guī)律方法 1 超幾何分布的兩個特點(diǎn) 1 超幾何分布是不放回抽樣問題 2 隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù) 2 超幾何分布的應(yīng)用條件及實(shí)質(zhì) 1 條件 考察對象分兩類 已知各類對象的個數(shù) 從中抽取若干個個體 考察某類個體個數(shù) 的概率分布 2 實(shí)質(zhì) 古典概型問題 變式訓(xùn)練 2016 衡水模擬 pm2 5是指懸浮在空氣中的空氣動力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2 5微米的可入肺顆粒物 根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn) pm2 5日均值在35微克 立方米以下空氣質(zhì)量為一級 在35微克 立方米 75微克 立方米之間空氣質(zhì)量為二級 在75微克 立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo) 從某自然保護(hù)區(qū)2014年全年每天的pm2 5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本 監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示 1 從這10天的pm2 5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中 隨機(jī)抽出3天 求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率 2 從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù) 記 表示抽到pm2 5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù) 求 的分布列 解析 1 記 10天的pm2 5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中 隨機(jī)抽出3天 恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級 為事件a 則p a 2 依據(jù)條件 服從超幾何分布 其中n 10 m 3 n 3 且隨機(jī)變量 可能取值為0 1 2 3 p k k 0 1 2 3 所以p 0 p 1 p 2 p 3 因此 的分布列為 加固訓(xùn)練 2016 邢臺模擬 袋中裝有編號為1的球5個 編號為2的球3個 這些球的大小完全一樣 1 從中任意取出四個 求剩下的四個球都是1號球的概率 2 從中任意取出三個 記 為這三個球的編號之和 求隨機(jī)變量 的分布列 解析 1 記 任意取出四個 剩下的四個球都是1號球 為事件a 則p a 2 的可能取值為3 4 5 6 則p 3 p 4 p 5 p 6 概率分布列如下 考向三求離散型隨機(jī)變量的分布列 考情快遞 考題例析 命題方向1 以某對象當(dāng)選 個數(shù) 為隨機(jī)變量 典例3 2015 天津高考 為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展 某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊參加 現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名 其中種子選手2名 乙協(xié)會的運(yùn)動員5名 其中種子選手3名 從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽 1 設(shè)a為事件 選出的4人中恰有2名種子選手 且這2名種子選手來自同一個協(xié)會 求事件a發(fā)生的概率 2 設(shè)x為選出的4人中種子選手的人數(shù) 求隨機(jī)變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望 本題源自a版選修2 3p50習(xí)題2 1a組t6 解題導(dǎo)引 1 借助古典概型和互斥事件的概率公式求解 2 先根據(jù)題意寫出隨機(jī)變量即選出4人中種子選手的人數(shù)x的所有可能值 進(jìn)而求出其相應(yīng)的概率 得到其分布列 再利用數(shù)學(xué)期望公式求解 規(guī)范解答 1 由已知 有p a 所以事件a發(fā)生的概率為 2 隨機(jī)變量x的所有可能取值為1 2 3 4 p x k k 1 2 3 4 所以 隨機(jī)變量x的分布列為隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望e x 命題方向2 以實(shí)際生產(chǎn) 生活中的 量 為隨機(jī)變量 典例4 2015 安徽高考改編 已知2件次品和3件正品混放在一起 現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分 每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品 檢測后不放回 直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束 1 求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率 2 已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元 設(shè)x表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費(fèi)用 單位 元 求x的分布列 解題導(dǎo)引 1 利用排列組合知識及古典概型概率計算公式求解 2 根據(jù)問題的實(shí)際意義 確定x的所有可能值 并確定其對應(yīng)的概率 得到其分布列 規(guī)范解答 1 第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率為p 2 由題意可知x的可能取值為200 300 400 則p x 200 p x 300 p x 400 1 p x 200 p x 300 所以x的分布列如下表所示 技法感悟 1 以某對象當(dāng)選 個數(shù) 為隨機(jī)變量分布列的求解步驟 1 找 根據(jù)該對象在該問題中可能當(dāng)選的 個數(shù) 確定 xi的實(shí)際意義 找出隨機(jī)變量 的所有可能的取值xi i 1 2 n 2 求 借助概率的有關(guān)知識求出隨機(jī)變量 取每一個值的概率p xi pi i 1 2 n 注意應(yīng)用計數(shù)原理 古典概型等知識 3 列 列出表格并檢驗(yàn)所求的概率是否滿足分布列的兩條性質(zhì) 2 求解以實(shí)際生產(chǎn) 生活中的 量 為隨機(jī)變量分布列的關(guān)鍵點(diǎn)根據(jù)生產(chǎn) 生活的實(shí)際意義正確確定出涉及 量 為隨機(jī)變量的可能取值及其概率 題組通關(guān) 1 2014 重慶高考 一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片 其中4張卡片上的數(shù)字是1 3張卡片上的數(shù)字是2 2張卡片上的數(shù)字是3 從盒中任取3張卡片 1 求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率 2 x表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù) 求x的分布列與數(shù)學(xué)期望 注 若三個數(shù)a b c滿足a b c 則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù) 解析 1 由古典概型的概率計算公式知所求概率為 2 x的所有可能取值為1 2 3 且p x 1 p x 2 p x 3 故x的分布列為從而e x 2 2016 韶關(guān)模擬 甲 乙兩人為了響應(yīng)政府 節(jié)能減排 的號召 決定各購置一輛純電動汽車 經(jīng)了解目前市場上銷售的主流純電動汽車 按行駛里程數(shù)r 單位 公里 可分為三類車型 a 80 r 150 b 150 r 250 c r 250 甲從a b c三類車型中挑選 乙從b c兩類車型中挑選 甲 乙二人選擇各類車型的概率如下表 若甲 乙都選c類車型的概率為 1 求p q的值 2 求甲 乙選擇不同車型的概率 3 某市對購買純電動汽車進(jìn)行補(bǔ)貼 補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表 記甲 乙兩人購車所獲得的財政補(bǔ)貼和為x 求x的分布列 解析 1 因?yàn)樗?2 設(shè) 甲 乙選擇不同車型 為事件a 則p a 答 所以甲 乙選擇不同車型的概率是 3 x可能取值為7 8 9 10 p x 7 p x 8 p x 9 p x 10 所以x的分布列為 3 2016 蘭州模擬 經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品 在一個銷售季度內(nèi) 每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元 未售出的產(chǎn)品 每1t虧損300元 根據(jù)歷史資料 得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖 如圖所示 經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品 以x 單位 t 100 x 150 表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量 t 單位 元 表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷農(nóng)產(chǎn)品的利潤 1 將t表示為x的函數(shù) 2 根據(jù)直方圖估計利潤t不少于57000元的概率 3 在直方圖的需求量分組中 以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個