第八章 方向?qū)?shù)與梯度.ppt

方向?qū)?shù)與梯度 實(shí)例 一塊長方形的金屬板 四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是 1 1 5 1 1 3 5 3 在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰 它使金屬板受熱 假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比 在 3 2 處有一個(gè)螞蟻 問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn) 問題的實(shí)質(zhì) 應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向 即梯度方向 爬行 一 方向?qū)?shù)的定義 討論函數(shù)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問題 當(dāng)沿著趨于時(shí) 是否存在 記為 方向?qū)?shù)的幾何意義 過直線 作平行于z軸的平面 與曲面z f x y 所交的曲線記為C 表示C的割線向量 即 割線轉(zhuǎn)化為切線 上式極限存在就意味著當(dāng)點(diǎn) 趨于點(diǎn) 曲線C在點(diǎn)P0有唯一的切線 它關(guān)于方向的斜率 就是方向?qū)?shù) 證明 由于函數(shù)可微 則增量可表示為 兩邊同除以 得到 故有方向?qū)?shù) 解 解 由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知 故 推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義 解 令 故 方向余弦為 故 二 梯度的概念 在幾何上表示一個(gè)曲面 曲面被平面所截得 所得曲線在xoy面上投影如圖 梯度為等高線上的法向量 等高線 等高線的畫法 例如 梯度與等高線的關(guān)系 此時(shí)f x y 沿該法線方向的方向?qū)?shù)為 故應(yīng)從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線 梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù) 這個(gè)法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的方向 梯度的概念可以推廣到三元函數(shù) 類似于二元函數(shù) 此梯度也是一個(gè)向量 其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致 其模為方向?qū)?shù)的最大值 解 由梯度計(jì)算公式得 故 解一 用方向?qū)?shù)計(jì)算公式 即要求出從x軸正向沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)到內(nèi)法線方向的轉(zhuǎn)角 在 兩邊對x求導(dǎo) 解得 切線斜率 故法線斜率為 內(nèi)法線方向的方向余弦為 解二 用梯度 梯度是這樣一個(gè)向量 其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致 它的模等于方向?qū)?shù)的最大值 即梯度是函數(shù)在這點(diǎn)增長最快的方向 從等高線的角度來看 f x y 在點(diǎn)P的梯度 方向與過點(diǎn)P的等高線f x y C在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同 且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線 等高線為f x y C 即 橢圓 大于橢圓 故 三 小結(jié) 1 方向?qū)?shù)的概念 注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別 2 梯