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文檔簡介
第三章衍射原理與分析 衍射原理與分析 3 1晶體學(xué)知識回顧 3 2勞埃方程式簡介 3 3簡單點(diǎn)陣的衍射分析 3 4復(fù)雜點(diǎn)陣的衍射分析 晶體學(xué)知識回顧 均勻性 晶體內(nèi)部各個(gè)部分的宏觀性質(zhì)是相同的 各向異性 晶體在不同的方向上具有不同的物理性質(zhì) 固定熔點(diǎn) 晶體具有周期性結(jié)構(gòu) 熔化時(shí) 各部分需要同樣的溫度 規(guī)則外形 理想環(huán)境中生長的晶體應(yīng)為凸多邊形 對稱性 晶體的理想外形和晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)都具有特定的對稱性 1 晶體性質(zhì) 2 晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣 術(shù)語回顧 晶體 crystal 內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)在三維空間作規(guī)則排列的物質(zhì) 空間點(diǎn)陣 Lattice 一種表示晶體內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)排列規(guī)律的幾何圖形 空間點(diǎn)陣的要素 1 結(jié)點(diǎn) points 空間點(diǎn)陣中的點(diǎn) 它代表晶體結(jié)構(gòu)中的原子 分子等相同點(diǎn) 2 行列 結(jié)點(diǎn)在直線上的排列 它相當(dāng)晶體上的晶棱或晶向 3 面網(wǎng) 結(jié)點(diǎn)在平面上的排列 它相當(dāng)于晶體上的晶面4 單位點(diǎn)陣 平行六面體 空間點(diǎn)陣中的一個(gè)最小重復(fù)單元 5 點(diǎn)陣參數(shù)或晶體常數(shù) 三個(gè)晶軸上的結(jié)點(diǎn)間距a b c三條晶軸之間的夾角 根據(jù)6個(gè)點(diǎn)陣參數(shù) a b c 間的相互關(guān)系 可將全部空間點(diǎn)陣歸屬于7種類型 即7個(gè)晶系 按照 每個(gè)陣點(diǎn)的周圍環(huán)境相同 的要求 布拉菲用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出能夠反映空間點(diǎn)陣全部特征的單位平行六面體只有14種 這14種空間點(diǎn)陣也稱布拉菲點(diǎn)陣 7大晶系 The14possibleBRAVAISLATTICES note thatspheresinthispicturerepresentlatticepoints notatoms 3 晶體學(xué)指數(shù) 結(jié)點(diǎn) 晶體中原子的位置晶向 晶體中原子列的方向晶面 原子構(gòu)成的平面結(jié)點(diǎn)指數(shù) mnp 晶向指數(shù) uvw 晶面指數(shù) hkl Miller 密勒 指數(shù) 統(tǒng)一標(biāo)定的晶向指數(shù)和晶面指數(shù) 結(jié)點(diǎn)指數(shù) 結(jié)點(diǎn)指數(shù) mnp 任意陣點(diǎn)P的位置可以用矢量或者坐標(biāo)來表示 OP m n p 晶向指數(shù) 正交晶系一些重要晶向的晶向指數(shù) 雙擊顯示 晶向指數(shù)的確定方法 A 過坐標(biāo)原點(diǎn)找一條平行于待定晶向的行列 B 在該行列中任選一個(gè)結(jié)點(diǎn) 量出它在三個(gè)坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)值 用a b c度量 C 將它們化為簡單的整數(shù)u v w 并用方括號括起來 便構(gòu)成晶向指數(shù) uvw 晶面指數(shù) 正交點(diǎn)陣中一些晶面的面指數(shù) 確定方法 A 量出待定晶面在三個(gè)晶軸的截距 并用點(diǎn)陣周期a b c度量它們 B 取三個(gè)截距系數(shù)的倒數(shù)C 把它約簡化為最簡的整數(shù) hkl 陣點(diǎn)的坐標(biāo)表示 以任意頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) 以與原點(diǎn)相交的三個(gè)棱邊為坐標(biāo)軸 分別用點(diǎn)陣周期 a b c 為度量單位 四種點(diǎn)陣類型簡單體心面心底心 簡單點(diǎn)陣的陣點(diǎn)坐標(biāo)為000 底心點(diǎn)陣 C除八個(gè)頂點(diǎn)上有陣點(diǎn)外 兩個(gè)相對的面心上有陣點(diǎn) 面心上的陣點(diǎn)為兩個(gè)相鄰的平行六面體所共有 因此 每個(gè)陣胞占有兩個(gè)陣點(diǎn) 陣點(diǎn)坐標(biāo)為 體心點(diǎn)陣 I除8個(gè)頂點(diǎn)外 體心上還有一個(gè)陣點(diǎn) 因此 每個(gè)陣胞含有兩個(gè)陣點(diǎn) 面心點(diǎn)陣 F除8個(gè)頂點(diǎn)外 每個(gè)面心上有一個(gè)陣點(diǎn) 每個(gè)陣胞上有4個(gè)陣點(diǎn) 其坐標(biāo)分別為 晶帶 空間點(diǎn)陣中 所有平行于某一直線的一組晶面的組合稱為一個(gè)晶帶 該直線稱為晶帶軸 已知一晶面 hkl 和它所屬的晶帶 uvw 有下式成立 hu kv lw 0 晶帶定律已知 兩晶面 求兩晶面相交的晶帶軸 兩晶帶 求兩晶帶決定的晶面 4 晶帶 晶面間距和晶面夾角 晶面間距的計(jì)算 正交晶系 a b c正方晶系 a b c立方晶系 a b c 將布拉格方程2dhklsin n 改寫為2 dhkl n sin 令dHKL dhkl n 則2dHKLsin 這樣就把反射級數(shù)n隱含在dHKL之中 布拉格方程變?yōu)橛肋h(yuǎn)是一級反射的形式 晶面夾角的計(jì)算 立方晶系 3 3簡單點(diǎn)陣的衍射分析 簡單點(diǎn)陣 單胞中只含一個(gè)原子的點(diǎn)陣 衍射分析 衍射線的分布特點(diǎn)與晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系分析 如果被測物質(zhì)具有簡單立方結(jié)構(gòu) 那么由各衍射線對求出的sin2 或1 d2的比例數(shù)列 干涉指數(shù)平方和 H2 K2 L2 的比例數(shù)列 這一比例數(shù)列為整數(shù)比例數(shù)列 而其它晶系的點(diǎn)陣 均不具備這個(gè)特點(diǎn) 3 4復(fù)雜點(diǎn)陣的衍射分析 是否有衍射 關(guān)鍵在于是否干涉 衍射 Diffraction 又稱為繞射 光線照射到物體邊沿后繼續(xù)在空間發(fā)射的現(xiàn)象 如果采用單色平行光 則衍射后將產(chǎn)生干涉結(jié)果 相干波在空間某處相遇后 因位相不同 相互之間產(chǎn)生干涉作用 引起相互加強(qiáng)或減弱的物理現(xiàn)象 衍射的結(jié)果是產(chǎn)生明暗相間的衍射花紋 代表著衍射方向 角度 和強(qiáng)度 干涉 interference 為兩波重疊時(shí)組成新合成波的現(xiàn)象 復(fù)雜點(diǎn)陣 單胞中含有兩個(gè)以上原子的點(diǎn)陣 一 復(fù)雜點(diǎn)陣與簡單點(diǎn)陣衍射的異同 1 任何復(fù)雜點(diǎn)陣都是由相同并平行的若干簡單點(diǎn)陣組合而成的 如BCC包含兩個(gè)簡單立方點(diǎn)陣 FCC包含四個(gè)簡單立方點(diǎn)陣 而每個(gè)簡單立方點(diǎn)陣可能的衍射方向是完全相同的 所以復(fù)雜點(diǎn)陣的衍射可看作是各個(gè)簡單點(diǎn)陣相同方向的衍射線干涉的結(jié)果 2 由于各個(gè)簡單點(diǎn)陣的衍射方向完全相同 合在一起 當(dāng)然不會增加新的方向 所以復(fù)雜點(diǎn)陣的衍射方向不會多于簡單點(diǎn)陣衍射方向 卻可能在某些方向上正好發(fā)生相消干涉 使其衍射方向減少 實(shí)際遇到的一個(gè)晶胞中常常有多個(gè)不同的原子 它們對X射線產(chǎn)生的散射波頻率是相同的 但由于不同原子產(chǎn)生的散射波振幅不同 原子在晶胞中的相對位置不同產(chǎn)生的散射波位相也不同 而整個(gè)晶胞的對X射線的散射波是晶胞中所有原子對X射線散射波的合成 在運(yùn)算上 用復(fù)數(shù)的方法更為簡單一些 二 復(fù)雜點(diǎn)陣的衍射 在復(fù)平面上 用一個(gè)向量的長度A代表波的振幅 用向量與實(shí)軸的夾角 表示波的位相 于是這個(gè)波向量可用三角函數(shù)形式表示為 E Acos iAsin 根據(jù)歐拉公式 也可以用更簡單的指數(shù)函數(shù)形式寫為E Aei 于是多個(gè)向量的合成的新向量就可寫成 假定一個(gè)晶胞中有n個(gè)原子 它們的坐標(biāo)分別為u1v1w1 u2v2w2 unvnwn 每個(gè)原子的原子散射因子分別為f1 f2 f3 fn 它們的散射波的振幅為Aef1 Aef2 Aef3 Aefn各原子散射波與入射波的位相差分別為 1 2 3 n則n個(gè)原子的散射波互相疊加合成的整個(gè)晶胞的散射波的振幅Ab為 以一個(gè)電子散射波的振幅作為單位來度量一個(gè)晶胞的散射波的振幅 則有 FHKL稱為結(jié)構(gòu)因子 結(jié)構(gòu)振幅 即晶體結(jié)構(gòu)對衍射的影響因子 它的大小由晶胞中原子的種類 數(shù)目及排列方式?jīng)Q定 把按歐拉公式展開 則 X射線衍射中衍射線的強(qiáng)度正比于振幅的平方 即I F 2 4 2結(jié)構(gòu)因子FHKL 電子對X射線的散射作用包括相干散射 湯姆遜散射 和非相干散射相 康普頓散射 由于電子是散射X射線的最小單元 一 一個(gè)電子對X射線的散射 極化因子 一束強(qiáng)度為I0的X射線沿OX方向傳播 在O點(diǎn)碰到電子發(fā)生散射 那么距O點(diǎn)距離為R OX與OP夾2 角的P點(diǎn)的散射強(qiáng)度為 湯姆遜公式 Ie 一個(gè)電子散射的X射線的強(qiáng)度 I0 入射X射線的強(qiáng)度E 電子電荷m 電子質(zhì)量 c 光速R 電場中任一點(diǎn)P到發(fā)生散射電子的距離2 散射線方向與入射X射線方向的夾角 一束射線經(jīng)電子散射后 其散射強(qiáng)度在各個(gè)方向上是不同的 沿原X射線方向上散射強(qiáng)度 2 0或2 時(shí) 比垂直原入射方向的強(qiáng)度 2 2時(shí) 大一倍 說明X射線經(jīng)電子散射后 散射線被偏振化了 偏振化的程度取決于2 角 所以把稱為偏振因子 極化因子 公式討論 二 一個(gè)原子對X射線的散射 原子散射因子 原子是由電子及原子核組成的 原子核也具有電荷 所以原子核也應(yīng)該散射X射線 從湯姆遜公式可知 散射強(qiáng)度與引起散射的粒子質(zhì)量的平方成反比 原子核的質(zhì)量是電子質(zhì)量的1840倍 則一個(gè)原子的散射強(qiáng)度只有電子的1 18402 所以原子核引起的散射線的強(qiáng)度極弱 可以忽略不計(jì) 原子散射僅指原子中所有電子對X射線的散射 假定原子中的電子都集中在一點(diǎn)同時(shí)振動 則它們的質(zhì)量為Zm 總電荷為Ze 其散射線強(qiáng)度為 一個(gè)原子的散射 即一個(gè)原子對X射線的散射強(qiáng)度是一個(gè)電子對X射線的散射強(qiáng)度的Z2倍 結(jié)論 一個(gè)電子對X射線散射后空間某點(diǎn)強(qiáng)度可用Ie表示 那么一個(gè)原子對X射線散射后該點(diǎn)的強(qiáng)度 f 原子散射因子 三 單胞對X射線的散射及結(jié)構(gòu)因子 對于簡單晶胞 每個(gè)晶胞只含有一個(gè)原子 所以簡單晶胞的散射強(qiáng)度與一個(gè)原子的散射強(qiáng)度相同 對于復(fù)雜晶胞 由于原子的位置及種類影響衍射線強(qiáng)度 某些衍射線可能消失 或使其強(qiáng)度減弱 1 系統(tǒng)消光 a b a 簡單點(diǎn)陣 001 面的剖面圖 b 體心點(diǎn)陣 001 面的剖面圖 由于原子在晶體中位置不同或原子種類不同而引起的某些方向上衍射線消失的現(xiàn)象 系統(tǒng)消光 事實(shí)再次說明 并不是所有滿足布拉格方程的反射面都有衍射線存在 即 產(chǎn)生衍射必須滿足布拉格方程 但是在滿足布拉格方程的方向上 卻不一定都有衍射線存在 根據(jù)系統(tǒng)消光的結(jié)果以及通過測定衍射線的強(qiáng)度變化就可以推斷出原子在晶體中的位置 引入結(jié)構(gòu)因子 即晶體結(jié)構(gòu)對衍射線強(qiáng)度的影響因子 2 結(jié)構(gòu)因子 結(jié)構(gòu)因數(shù) 復(fù)雜點(diǎn)陣中 各原子占據(jù)不同的坐標(biāo)位置 它們的散射振幅和位相各不相同 單胞中所有原子散射的合成振幅不可能等于各原子散射振幅的簡單代數(shù)相加 為此 引入?yún)⒘縁HKL2 結(jié)構(gòu)因數(shù)來表征單胞相干散射與單電子散射間的對應(yīng)關(guān)系 定量表征原子排布及原子種類對衍射線的強(qiáng)度影響規(guī)律的參數(shù) 結(jié)構(gòu)因子 應(yīng)用上式計(jì)算結(jié)構(gòu)因數(shù)時(shí) 必須知道原子的種類 以求fj 晶胞中各類原子的數(shù)目及坐標(biāo)位置 現(xiàn)在我們通過合成波的強(qiáng)度公式來討論復(fù)雜點(diǎn)陣的衍射問題 一 簡單立方點(diǎn)陣 簡單點(diǎn)陣單胞中只有一個(gè)原子 基點(diǎn)坐標(biāo)為 0 0 0 原子散射因數(shù)為f 則 可見 簡單點(diǎn)陣的結(jié)構(gòu)因數(shù)與HKL無關(guān) 即HKL為任意整數(shù)時(shí)均能產(chǎn)生衍射 例如 100 110 111 200 210 211 220 等都有衍射線存在 結(jié)論 對于簡單立方點(diǎn)陣 HKL為任意整數(shù)時(shí)均能產(chǎn)生衍射因此 在依次增大的面指數(shù) 100 110 111 200 210 211 220 221 300 310 中都有衍射線存在 一 體心立方點(diǎn)陣 由兩個(gè)簡單點(diǎn)陣鑲成 基點(diǎn)為 各簡單點(diǎn)陣衍射波振幅相等 用f表示 則 1 當(dāng)H K L 奇數(shù)時(shí) I 0 無衍射線存在 如對 210 面 H K L 3 I 0 兩個(gè)簡單點(diǎn)陣衍射波在該方向上產(chǎn)生相消干涉 合成波強(qiáng)度為零 無衍射線產(chǎn)生 2 當(dāng)H K L 偶數(shù)時(shí) I 4f2有衍射線存在 如對 420 面 H K L 6 I 4f2 兩個(gè)簡單點(diǎn)陣衍射波在該方向上產(chǎn)生相長干涉 合成波強(qiáng)度為4倍的簡單點(diǎn)陣的強(qiáng)度 即存在 420 衍射線 結(jié)論 對于體心立方點(diǎn)陣 當(dāng)H K L 偶數(shù)時(shí) 衍射線存在 當(dāng)H K L 奇數(shù)時(shí) 衍射線不存在 因此 在依次增大的面指數(shù) 100 110 111 200 210 211 220 221 300 310 等順序中存在衍射線的有 110 200 211 220 310 等 其比例數(shù)列sin2 i sin2 1 2 4 6 8等 或1 2 3 4等 其中缺14 30等數(shù)值 二 面心立方點(diǎn)陣 面心立方點(diǎn)陣由四個(gè)簡單點(diǎn)陣鑲成 基點(diǎn)各簡單點(diǎn)陣衍射波振幅相等 用f表示 則 I f2 1 cos H K cos H L cos K L 21 若H K L為同性數(shù)時(shí) 即同時(shí)全為奇數(shù)或同時(shí)全為偶數(shù)時(shí) 則由于H K H L K L全為偶數(shù) 余弦項(xiàng)均為1 則I 16f2 即四個(gè)簡單點(diǎn)陣衍射波在這些方向上產(chǎn)生相長干涉 使面心立方點(diǎn)陣的衍射波強(qiáng)度為簡單點(diǎn)陣的16倍 2 若H K L為異性數(shù)時(shí) 即1奇2偶或1偶2奇時(shí) 則由于H K H L K L總有兩個(gè)是奇數(shù) 使余弦項(xiàng)之和為 1 則I 0 即發(fā)生相消干涉 合成波強(qiáng)度為零 無衍射線產(chǎn)生 結(jié)論 對于面心立方點(diǎn)陣 H K L為同性數(shù)時(shí) 衍射線存在 H K L為異性數(shù)時(shí) 衍射線不存在 0 作為偶數(shù) 因此 在 H2 K2 L2 依次增大的面指數(shù)順序中 100 110 111 200 210 211 220 221 300 310 等中 存在衍射線的有 111 200 220 等 其比例數(shù)列sin2 i sin2 1 3 4 8 11等 或1 1 33 2 67 4等 各點(diǎn)陣的特征比例數(shù)列 簡單點(diǎn)陣1 2 3 4 5 6 8 9 10 體心立方1 2 3 4 5 6 7 8 9 面心立方1 1 33 2 67 3 67 4 不同點(diǎn)陣衍射線的分布特征示意圖 100110111200210211220221310310311222320321400410411 簡單 體心立方 面心立方 110200211220310311320400411 100110111200210211220221310310311222320321400410411 三 立方點(diǎn)陣德拜
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