計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)圖形三維變換矩陣(變換矩陣的算法).doc

三維變換 對(duì)三維空間的點(diǎn)PX Y Z，采用規(guī)范齊次坐標(biāo)則與二維情況類似，其平移交換和比例變換的變換矩陣分別為：其中tx,ty,tz分別是沿x、y、z方向的平移量S11、S22和S33分別是在x、y、z方向上相對(duì)于原點(diǎn)的比例因子。三維旋轉(zhuǎn)變換稍微復(fù)雜，采用右手坐標(biāo)系，從規(guī)定的坐標(biāo)軸正方向向原點(diǎn)看，繞該軸逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)。繞Z軸、X軸和Y軸旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣分別為：數(shù)學(xué)上可證明，旋轉(zhuǎn)變換中前三行和前三列組成的3X3子矩陣是一正交矩陣，即三個(gè)列（行）向量均為單位向量，互相正交，而且三個(gè)列向量經(jīng)過(guò)該旋轉(zhuǎn)變換后，分別與X軸、Y軸和Z軸重合。利用這個(gè)性質(zhì)有時(shí)可很容易確定旋轉(zhuǎn)變換矩陣。 三維幾何變換與二維變換一樣，也都是由一系列基本變換構(gòu)成的復(fù)合變換。在進(jìn)行變換過(guò)程中同樣要注意變換矩陣的次序。雖然，有些變換矩陣與其次序無(wú)關(guān)，但從程序設(shè)計(jì)及計(jì)算的角度出發(fā)，建議讀者一律采取按次序進(jìn)行矩陣運(yùn)算。三維變換矩陣中的大多數(shù)元素的作用讀者已經(jīng)了解，但其最后一列的元素在變換中起什么作用？這將在透視變換一節(jié)中得到解答。2.3.7 三維透視變換三維齊次幾何變換矩陣中第四列元素組成的3x1子矩陣與透視交換有關(guān)，其中的元素稱為透視參數(shù)。對(duì)空間任意點(diǎn)的透視變換為上式中分母pxqyrzl是一個(gè)變量，故經(jīng)透視變換后圖形產(chǎn)生了變形。參數(shù)p、q、r如何對(duì)圖形產(chǎn)生透視變換的呢？為簡(jiǎn)化問(wèn)題，先設(shè)p=0、q=0，則這時(shí)的變換矩陣對(duì)空間點(diǎn)所進(jìn)行的變換為由 上式，當(dāng) Z0時(shí)，Xx，Yy，說(shuō)明z0這個(gè)平面是此變換中的不變動(dòng)平面，即變換后，x、y值均無(wú)變化；當(dāng) z ac時(shí)，則 Zl/r，表示無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)經(jīng)透視變換后對(duì)應(yīng)于有限點(diǎn)，也就是平行Z軸的直線變換后匯交于Z軸上的一點(diǎn)1/r；當(dāng)Zl/r時(shí)， Z說(shuō)明有限遠(yuǎn)點(diǎn)-l/r經(jīng)透視變換后又對(duì)應(yīng)無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)，原來(lái)交于軸上的一點(diǎn)-l/r的直線變換后平行于Z軸。當(dāng)r0時(shí)，這種變換的幾何意義如圖 231所示。同理可推論，當(dāng)r0，P0時(shí)，則X軸上也有一個(gè)有限點(diǎn)xl/P對(duì)應(yīng)于x的點(diǎn)。這時(shí)，經(jīng)透視變圖231透視交換的幾何意義換后，平行于Z軸的直線匯交于Z軸上的一點(diǎn)1/r，而平行于X軸的直線則匯交于X軸上的點(diǎn)1/p處。當(dāng)透視參數(shù)p、q、r都不等于零時(shí)，則透視變換將。x， y， z處的點(diǎn)分別映射成 X l/P， Y=l/q和 Z1/r。這時(shí)，平行于三坐標(biāo)軸的直線經(jīng)變換后就分別匯交于X、Y、Z軸上的一固定點(diǎn)。2.3.8 三維變換應(yīng)用1）多面視圖 在工程制圖中，繪制立體多面視圖時(shí)是用正投影方法將立體投影到投影面上，然后將多個(gè)投影面連同已得到的投影圖按一定規(guī)則展平在同一平面上，從而得到立體的多面視圖。這個(gè)投影過(guò)程如果用矩陣來(lái)表示的話，就是將立體向投影面作正投影，再將投影面繞相應(yīng)的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，并使圖形沿投影軸平移以保持視圖間一定的距離，這三個(gè)步驟可分別用矩陣表示，而將這三個(gè)矩陣級(jí)聯(lián)起來(lái)就得到了最后結(jié)果。為推導(dǎo)三視圖的變換矩陣，現(xiàn)以XY平面作為正面投影面（即V面），主視圖就是畫(huà)在這個(gè)投影面上的。（1）主視圖：當(dāng)立體向XY平面作正投影，在投影面展開(kāi)時(shí)，XY平面保持不動(dòng)，因而，x,y坐標(biāo)不變，而z坐標(biāo)為零，所以，主視圖的變換矩陣是（2）俯視圖：俯視圖是向XZ平面（即H面）投影，然后XZ平面連同所得的投影繞X軸正轉(zhuǎn)出Y角，使與X Y平面重合，并沿Y軸反向平移一段距離所得的視圖。這時(shí)，x，y坐標(biāo)不變，Y=0。因此，俯視圖的變換矩陣是（3）側(cè)視圖：側(cè)視圖是先向Y z平面（即W面）投影，從而使y、z坐標(biāo)不變，X0，再繞Y軸正轉(zhuǎn)90角，與XY平面重合，并沿X軸平移所得的視圖，因此俯視圖的變換矩陣是立體的三視圖也可以這樣得到，即