實(shí)變函數(shù)測(cè)試題與答案.doc

實(shí)變函數(shù)測(cè)試題一，填空題1. 設(shè), , 則.2. ,因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)集合之間的一一映射為.3. 設(shè)是中函數(shù)的圖形上的點(diǎn)所組成的 集合，則，.4. 若集合滿足, 則為集.5. 若是直線上開集的一個(gè)構(gòu)成區(qū)間, 則滿足:, .6. 設(shè)使閉區(qū)間中的全體無(wú)理數(shù)集, 則.7. 若, 則說(shuō)在上.8. 設(shè), ,若,則稱是的聚點(diǎn).9. 設(shè)是上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列, 是上 幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù), 若, 有, 則稱在上依測(cè)度收斂于.10. 設(shè), 則的子列, 使得.二, 判斷題. 正確的證明, 錯(cuò)誤的舉反例. 1. 若可測(cè), 且,則.2. 設(shè)為點(diǎn)集, , 則是的外點(diǎn). 3. 點(diǎn)集的閉集.4. 任意多個(gè)閉集的并集是閉集.5. 若,滿足, 則為無(wú)限集合.三, 計(jì)算證明題1. 證明:2. 設(shè)是空間中以有理點(diǎn)(即坐標(biāo)都是有理數(shù))為中心, 有理數(shù)為半徑的球的全體, 證明為可數(shù)集. 3. 設(shè),且為可測(cè)集, .根據(jù)題意, 若有 , 證明是可測(cè)集.4. 設(shè)是集, .求.5. 設(shè)函數(shù)在集中點(diǎn)上取值為, 而在的余集中長(zhǎng)為的構(gòu)成區(qū)間上取值為, , 求.6. 求極限: .實(shí)變函數(shù)試題解答一 填空題1. .2. 3. ; .4. 閉集.5. 6. .7. 幾乎處處收斂于 或 收斂于.8. 對(duì)有.9. 10. 于.二 判斷題1. . 例如, , , 則且,但.2. . 例如, , 但0不是的外點(diǎn).3. . 由于.4. . 例如, 在 中, , 是一系列的閉集, 但是不是閉集. 5. . 因?yàn)槿魹橛薪缂? 則存在有限區(qū)間, , 使得, 則于.三, 計(jì)算證明題.1. 證明如下:2. 中任何一個(gè)元素可以由球心, 半徑為唯一確定, , 跑遍所有的正有理數(shù), 跑遍所有的有理數(shù). 因?yàn)橛欣頂?shù)集于正有理數(shù)集為可數(shù)集都是可數(shù)集, 故為可數(shù)集. 3. 令, 則且為可測(cè)集, 于是對(duì)于, 都有, 故,令, 得到, 故可測(cè). 從而可測(cè).4. 已知, 令, 則.5. 將積分區(qū)間分為兩兩不相交的集合: , , , 其中為集, 是的余集中一切長(zhǎng)為的構(gòu)成區(qū)間(共有個(gè))之并. 由積分的可數(shù)可加性, 并且注意到題中的, 可得 6. 因?yàn)樵谏线B續(xù), 存在且與的值相等. 易知由