大學(xué)生物理競(jìng)賽試題.pdfVIP

1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 全國(guó)部分地區(qū)非物理類(lèi)專(zhuān)業(yè)大學(xué)生物理競(jìng)賽題解 第十七屆非物理類(lèi)專(zhuān)業(yè)大學(xué)生物理競(jìng)賽試題及解答 一 填空題 共10小題 每小題5分 1 在O2xy坐標(biāo)平面上有一個(gè)正三角形和一 個(gè)正方形 正三角形的每條邊長(zhǎng)和正方形的每條邊長(zhǎng) 相同 它們的方位如圖所示 1 現(xiàn)在建立一個(gè)活動(dòng)的 O 2x y 坐標(biāo)平面 它的坐標(biāo)原點(diǎn)開(kāi)始時(shí)位于正三角 形的上頂點(diǎn) 而后O 點(diǎn)沿著正三角形的三條邊繞行 一周 繞行時(shí)x 軸始終與x軸平行 y 軸始終與y軸 平行 1 試在圖中清楚 準(zhǔn)確地畫(huà)出正方形相對(duì) O 2x y 坐標(biāo)平面運(yùn)動(dòng)而形成的區(qū)域的邊界線(xiàn) 1 解 當(dāng)坐標(biāo)平面O 2x y 沿正三角形的三邊運(yùn)動(dòng)時(shí) 正方形便沿相反的方向相對(duì)于坐標(biāo)平面O 2x y 運(yùn) 動(dòng) 故正方形相對(duì)于O 2x y 坐標(biāo)平面運(yùn)動(dòng)而形成的 區(qū)域的邊界線(xiàn) 應(yīng)如下圖所示 1 2 在光滑水平面上有一內(nèi)壁光滑的固定圓環(huán) 三個(gè)質(zhì)量分別為m1 m2 m3的小球沿著環(huán)的內(nèi)壁作 圓周運(yùn)動(dòng) 初始時(shí)刻各球的位置和運(yùn)動(dòng)方向如圖所 示 各自速度大小分別為v10 v20 v301 而后 小球間 發(fā)生的碰撞為非彈性碰撞 那么三個(gè)小球最終都會(huì)停 止運(yùn)動(dòng)的條件是 1 從初始狀態(tài)到最 終全部停止運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中 系統(tǒng)的動(dòng)能 動(dòng)量和相對(duì) 圓環(huán)中心的角動(dòng)量中不守恒的量為 1 解 在三個(gè)小球沿圓環(huán)內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中 三個(gè)小球 都要受到內(nèi)壁的正壓力 但因這三個(gè)正壓力n1 n2 n3對(duì)圓環(huán)中心O的力矩都為零 故三個(gè)小球這個(gè)系 統(tǒng)對(duì)圓環(huán)中心O的角動(dòng)量守恒 因這三個(gè)正壓力的 矢量和不為零 故三個(gè)小球這個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)量不守恒 因是非彈性碰撞 故三個(gè)小球這個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能不 守恒 1 由三個(gè)小球最終都會(huì)停止運(yùn)動(dòng)知 三個(gè)小球這個(gè) 系統(tǒng)對(duì)圓環(huán)中心O的角動(dòng)量必恒為零 1 因m1的角 動(dòng)量垂直紙面朝外 其大小為Rm1v10 m2的角動(dòng)量 也垂直紙面朝外 其大小為Rm2v20 m3的角動(dòng)量垂 直紙面朝里 其大小為Rm3v30 故有 0 R m1v10 m2v20 m3v30 m1v10 m2v20 m3v30 此即三個(gè)小球最終都會(huì)停止運(yùn)動(dòng)的條件 1 3 用兩根相同的勻質(zhì)細(xì)桿對(duì)稱(chēng)地連接成圖示 的T字形尺 過(guò)T字形尺上的某一點(diǎn)P取垂直于T 95 物理與工程 Vol 11 No 3 2001 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 字形尺所在平面的轉(zhuǎn)軸 將T字形尺相對(duì)該軸的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量記為I P 1 已知每一根細(xì)桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng) 試 在圖中準(zhǔn)確標(biāo)出P點(diǎn)的位置P1 使得I P 1 為所有 I P 中的最小者 1 再在圖中準(zhǔn)確標(biāo)出P點(diǎn)的位置 P2 使得I P 2 為所有I P 中的最大者 1 解 令勻質(zhì)細(xì)桿的線(xiàn)密度為 則 I P mL 12 L2 mLx2 mx 3 x2 mL x 3 L x 2 12 L 3 L x2 3 x3 3 L x 3 d I P dx 2 Lx x2 L x 2 2 L x L 2 2 L x L 4x L 令上式為零得 x L 4 此為I P 的極小值的位置 即P1點(diǎn)的位置 1 I P 無(wú)極大值 但由平行軸定理知 P2點(diǎn)必在豎 桿的下端 1 4 一個(gè)彈簧振子的質(zhì)量為1 0kg 自由振動(dòng)的 本征頻率為2Hz 當(dāng)存在某個(gè)大小與振子速率成正比 的阻尼力時(shí) 恰好處于臨界阻尼振動(dòng)狀態(tài) 則彈簧的 勁度系數(shù)K N m 阻尼力大小與速率 的比例系數(shù) kg s1 解 已知m 1 0kg 0 2Hz 臨界阻尼振動(dòng)的條件 為 0 2 0 K m K m 2 0 m 2 0 2 1 0 2 2 2 16 2 158 N m m 2 2 0 2 K m 2 Km 216 2 1 0 8 25 1 kg s 5 均勻物質(zhì)靜止時(shí)的體積為V0 密度為 0 當(dāng)它以勻速度v運(yùn)動(dòng)時(shí) 體積為V 密 度為 1 解 由運(yùn)動(dòng)桿長(zhǎng)收縮的公式知 V V01 v2 c2 m m0 1 v2 c2 V0 0 1 v2 c2 m V 0 1 v2 c2 6 處于平衡態(tài)的氣體系統(tǒng)中 分子運(yùn)動(dòng)的速率 分布律可圖示為 速度分布律可圖示為 1已知0 溫度下氮?dú)夥肿拥姆骄俾?大約為493m s 則該溫度下氧氣分子的方均根速率 為 25 下氧氣分子的方均根速率為 一摩爾氧氣的定體熱容量為 1 解 v2 N2 3R T0 N2 v2 O2 3R T0 O2 v2 O2 v2 N2 N2 O2 v2 O2 N2 O2 v2 N2 28 32 493 461 m s v3 2 O2 3R T O2 v3 2 O2 v2 O2 T T0 06物理與工程 Vol 11 No 3 2001 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved v3 2 O2 T T0 v2 O2 273 25 273 461 482 m s 將氧氣分子視為剛性的雙原子分子 則其定容摩 爾熱容量為 Cv 5 2 R 5 2 8 31 20 78 J K mol 7 如圖所示 半徑為R的半球面A的球心O 位于O2z軸上距O點(diǎn)R處 半球面橫截面與O2xy面 平行 坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一電量為q的點(diǎn)電荷 則半球 面A的電通量 e 1 解 以2R為半徑作一球面 它被半徑為R的半球 面截下一球帽 球帽的高度為 2R R 球帽的面 積為 S 2 2 R 2R R 2 2 2 R 2 球帽對(duì)點(diǎn)電荷q張的立體角為 S 2 R 2 2 2 已知點(diǎn)電荷q在4 立體角內(nèi)的電通量為 q 0 故在球 帽上的電通量為 e 球帽 q 0 4 q 4 0 2 2 8 如圖電路 每?jī)牲c(diǎn)間實(shí)線(xiàn)所示短導(dǎo)線(xiàn)的電阻 為1 則A B兩端點(diǎn)間的電阻為 解 已知短導(dǎo)線(xiàn)的電阻為r 1 1 可將本題的電路等效為圖示的實(shí)線(xiàn)電路和虛線(xiàn) 電路的并聯(lián) 二支路各自的電阻相同 為 R r 1 1 2r 1 2r r 3r A B兩端點(diǎn)之間的總電阻為 RAB 1 1 R 1 R R 2 3 2 r 3 2 9 一無(wú)限長(zhǎng)密繞螺線(xiàn)管的半徑為R 單位長(zhǎng) 度內(nèi)的匝數(shù)為n 通以隨時(shí)間變化的電流i i t 且 di dt C 常量 則管內(nèi)的感生電場(chǎng)強(qiáng)度Eini 管外的感生電場(chǎng)強(qiáng)度Eout i 1 解 已知B 0ni dB dt 0n di dt 0nC1 對(duì)管內(nèi)的閉合電力線(xiàn)這個(gè)環(huán)路有 L Eini dl S dB dt dS 16 物理與工程 Vol 11 No 3 2001 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 2 rEini r2 dB dt r2 0nC Eini 0nC 2 r 對(duì)管外的閉合電力線(xiàn)這個(gè)環(huán)路有 L Eout i dl S dB dt dS 2 rEout i R2 dB dt R2 0nC Eout i 0nCR2 2r 10 假定人眼睛的分辨本領(lǐng)主要受瞳孔衍射效 應(yīng)的限制 設(shè)瞳孔直徑為2 0mm 光的波長(zhǎng)為550nm 則20m遠(yuǎn)處人眼能分辨的最小線(xiàn)距離為 1 解 已知D 2 0mm 550nm 550 10 6mm L 20m 2 104mm1 最小分辨角為 1 22 D 1 22 550 10 6 2 0 3 355 10 4 弧度 最小分辨距離為l L 3 355 10 4 2 104 6 71 mm 二 計(jì)算及證明題 共5題 55分 11 10分 設(shè)有一剛性容器內(nèi)裝有溫度為T(mén)0 的1摩爾氮?dú)?在此氣體和溫度也為T(mén)0的熱源之間 工作一個(gè)制冷機(jī) 它從熱源吸收熱量Q2 向容器中的 氣體放出熱量Q11 經(jīng)一段時(shí)間后 容器中氮?dú)獾臏?度升至T11 試證明該過(guò)程中制冷機(jī)必須消耗的功W 5 2 R T0ln T0 T1 T1 T0 11 解 依題意 所討論系統(tǒng)中制冷機(jī)的工作原理可示意 為下圖形式 則該過(guò)程中制冷機(jī)必須消耗的功為 W Q1 Q2 1 因?yàn)榈獨(dú)馑幦萜魇莿傂缘?則其由T0 T1的過(guò)程 為等體過(guò)程 于是有 Q1 C m V T 1 T0 其中C m V 為氮?dú)獾亩w摩爾熱容量 1 由能均分定理 知 C m V 5 2 R 則 Q1 5 2 R T1 T0 2 又由題意知 該過(guò)程中熱源 氮?dú)夂椭评錂C(jī)的工作物 質(zhì)的熵變分別為 S熱源 Q2 T0 3 S氮?dú)?dQ T T1 T0 C m VdT T C m Vln T1 T0 5 2 Rln T1 T0 4 S制冷機(jī) 0 5 因?yàn)闊嵩?氮?dú)夂椭评錂C(jī)組成的整體為一封閉孤立系 統(tǒng) 則由熵增加原理知 S熱源 S氮?dú)?S制冷機(jī) Q2 T0 5 2 Rln T1 T0 0 6 所以 Q2 5 2 R T0ln T1 T0 7 那么 W Q1 Q2 5 2 R T1 T0 5 2 R T0ln T1 T0 整理化簡(jiǎn)即得 W 5 2 R T0ln T0 T1 T1 T0 1 8 故該 過(guò) 程 中 制 冷 機(jī) 必 須 消 耗 的 功 為W 5 2 R T0ln T0 T1 T1 T0 1 原命題得證 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 列出 1 式得1分 給出 2 式再得1分 列出 3 4 5 式再得3分 列出 6 式 再得2分 得到 7 式再得1分 解得 8 式再得2分 1 12 10分 半徑為R無(wú)限長(zhǎng)半圓柱導(dǎo)體上均 勻地流過(guò)電流I 求半圓柱軸線(xiàn) 原圓柱體的中心軸 線(xiàn) 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B1 26物理與工程 Vol 11 No 3 2001 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 解 依題意可知 該半圓柱導(dǎo)體中的電流密度為j I 1 2 R 2 2I R21 在半徑為 r處取厚度為dr的薄層 如圖示 在其中圓心角為d 的窄條中流過(guò)的電流 為 dI j rd dr 2I R2 rdrd 1 在垂直于原圓柱體的中心軸的平面 即半圓柱體的橫 截面 內(nèi)建立坐標(biāo)系如圖示 則由畢奧2薩伐爾定律 知 關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的小窄條電流dI1 dI2激發(fā)的磁場(chǎng) 在半圓柱體中心軸上的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為dB1 dB21 由對(duì)稱(chēng)性知 相同大小的dI1 dI2分別激發(fā)的dB1 dB2的矢量和沿Oy方向 并且dB1 dB2的大小為 dB1 0dI1 2 r 0 2 r 2I R2 rdrd 0I 2 R2d rd 2 所以所求的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為 B By 2 R 0 2 0 0I 2 R2cos drd 3 2 R 0 0I 2 R2d r 2 0I 2 R 4 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 得到 1 式得2分 給出 2 式再得2分 1 式和 2 式之間關(guān)于dB方向的分析 得2分 得到 3 式得3分 得到 4 式的 結(jié)果再得1分 1 未完待續(xù) 上接第58頁(yè) b a x x dx 2 m2 b a x2 x dx m 兩邊開(kāi)方 得 b a x x dx m b a x2 x dx m lR 將上式同 1 2 兩式比較 得知式子左邊為 lC 右邊小于等于lR 故 lC lR 5 根據(jù)柯西不等式并考慮到實(shí)際物理模型 5 式中等號(hào)成立的條件為 x x x 或 x m x x0 即 x 1 或 x m x x0 顯然x 1是沒(méi)有意義的 因此將其舍去 1 而 x m x x0 即意味著剛體的質(zhì)量全 部集中在距轉(zhuǎn)軸的距離為x0處 且平行于轉(zhuǎn) 軸的一個(gè)平面上 取此條件和 2 式中等式成 立條件的公共部分 可知 5 式中等號(hào)成立的 條件為剛體的質(zhì)量全部集中在平行于轉(zhuǎn)軸的 一條直線(xiàn)上 1 最后來(lái)比較lR和lO 的大小 1 由 3 式得 lO I0 mlC I0 m 2 1