微分幾何試題庫.doc

微分幾何一、判斷題1 、兩個向量函數之和的極限等于極限的和（ ）2、二階微分方程總表示曲面上兩族曲線. （ ）3、若和均在a,b連續(xù)，則他們的和也在該區(qū)間連續(xù)（ ）4、向量函數具有固定長的充要條件是對于t的每一個值，的微商與平行（ ）5、等距變換一定是保角變換.（ ）6、連接曲面上兩點的所有曲線段中，測地線一定是最短的.（ ）7、常向量的微商不等于零（ ）8、螺旋線x=cost,y=sint,z=t在點（1，0，0）的切線為X=Y=Z（ ）9、對于曲線s=上一點（t=t0）,若其微商是零，則這一點為曲線的正常點（ ）10、曲線上的正常點的切向量是存在的（ ）11、曲線的法面垂直于過切點的切線（ ）12、單位切向量的模是1（ ）13、每一個保角變換一定是等距變換 （ ）14、空間曲線的形狀由曲率與撓率唯一確定.（ ）15、坐標曲線網是正交網的充要條件是，這里是第一基本量.（ ）二、填空題16、曲面上的一個坐標網，其中一族是測地線17、螺旋線x=2cost,y=2sint,z=2t,在點（1，0，0）的法平面是_ y+z=0, .18.設給出類曲線:,則其弧長可表示為19、已知，則， ， ，。20、曲面的在曲線，如果它上面每一點的切點方向都是漸近方向，則稱為漸進曲線。21、旋轉面r=,他的坐標網是否為正交的?_是_(填“是”或“不是”).22、過點平行于法方向的直線叫做曲面在該點的_法線_線.23.任何兩個向量的數量積24、保持曲面上任意曲線的長度不便的變稱為_等距(保長)變換_.25、圓柱螺線的曲率和撓率都是_常數_數(填“常數”或“非常數”).26.若曲線(c)用自然參數表示,則曲線(c)在點的密切平面的方程是27.曲線的基本三棱形由三個基本向量和密切平面、法平面、從切平面28.杜邦指標線的方程為29、已知曲面，則它的第一基本形式為 ，第二基本形式為 ，高斯曲率 ，平均曲率 0 ，點處沿方向的法曲率 ，點處的兩個主曲率分別為 。30、（Cohn-Voeeen定理）兩個卵形面之間如果存在一個保長映射，則這個映射一定是R中的合同或對稱。31、球面上正規(guī)閉曲線的全撓率等于零。32.一個曲面為可展曲面的充分必要條件為此曲面為單參數平面族的包絡三、綜合題33求曲線在原點的密切平面，法平面，切線方程。解：在原點處 在原點處切平面的方程為:即 法平面的方程為:即 切線方程為即 34、求曲面的漸近曲線。解 設則， 因漸近曲線的微分方程為即或漸近曲線為或 35.求雙曲拋物面的第一基本形式解: ,36.計算球面的第二基本形式.解:由此得到 =又由于所以 因而得到37.如果曲面的第一基本形式計算第二類克力斯托費爾符號.解:因為, , 所以所以,38、已知曲面的第一基本形式為，求坐標曲線的測地曲率。解 ， u-線的測地曲率 v-線的測地曲率 39、問曲面上曲線的切向量沿曲線本身平行移動的充要條件是曲面上的曲線是測地線嗎？為什么？答：曲面上曲線的切向量沿曲線本身平行移動的充要條件是曲面上的曲線是測地線. 事實上，設，則的切向量為 記，則曲線的切向量沿平行移動為測地線 40.求證在正螺面上有一族漸近線是直線,另一族是螺旋線.解:因為 由于所以,正螺面的曲紋坐標網是漸進網,則一族漸近線是這是螺旋線,另一族漸近線是這是直線.41、設空間兩條曲線和的曲率處處不為零，若曲線和可以建立一一對應，且在對應點的主法線互相平行，求證曲線和在對應點的切線夾固定角.證設，則由知，從而，即這表明曲線和在對應點的切線夾固定角. 42、證明具有固定方向的充要條件是證明:必要性 設(為常單位向量),則所以 充分性: (為單位向量函數),則,因為,當,從而有即,因為(根據),因此即為常向量,所以有固定方向43、給出曲面上一條曲率線，設上每一點處的副法向量和曲面在該點的法向量成定角. 求證是一條平面曲線.證設，其中是的自然參數，記，則，兩邊求導，得， 由為曲率線知，即， 因此 . 若，則為平面曲線； 若，則因為曲面上的一條曲率線， 故. 而，所以，即為常向量. 于是為平面曲線. 44、求圓柱螺線在處的切線方程。解 時，有所以切線的方程為 即 如果用坐標表示，則得切線方程為 即45、求雙曲螺線從t=0起計算的弧長。解：從t=0起計算的弧長為 =46、求球面 解：由 由此得到曲面的第一類基本量 因而 47、曲面上一點（非臍點）的主曲率是曲面在點所有方向在法曲率中的最大值和最小值。證明 設于是 因此 同樣又可以得到 由此 即 這就是說，主曲率是法曲率的最大值和最小值。48、曲面的第一基本形式為 。求證：（1）u-曲線是測地線； （2）v-曲線是測地線，當且僅當證明：得到 所以 代入劉維爾公式得因此得到。（2）若曲線為測地線，由 ，即 49、中全體合同變換構成一個群，稱為空間合同變換群。 證明：因為（1）空間兩個合同變換的組合還是一個空間合同變換；（2）空間三個合同變換的組合滿足合里律；（3）恒同變換與空間任何合同變換T的組合因此I對于空間合同變換的組合來說是單位元素；（4）空間任何合同變換一定有逆變換，而且這個逆變換還是空間合同變換。50、沿曲線面上一條曲線平行移動時，保持向量的內積不變。證明：沿曲線（C）給出兩個平行的向量場，在曲面上取正交坐標網（） 所以 51、設曲線 是具有周期的閉的正規(guī)平面曲線，如果把參數換成自然參數，則它的周期是L的閉曲線的周長.證明 =因為 ，所以 我們得到 s,所以有.52、對于空間簡單的、正規(guī)閉曲線，至少存在一條切線與給定的方向正交.證明 取為坐標系的軸方向.設曲線的自然參數表示是 因而單位切向量為 .根據微積分中值定理，存在