無窮級數(shù)求和問題的幾種方法.doc

目 錄摘要 21無窮級數(shù)求和問題的幾種方法 21.1利用級數(shù)和的定義求和 21.2利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求和 31.3利用逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo)定理求和 41.4逐項(xiàng)求極限 51.5利用級數(shù)求和 71.6構(gòu)建微分方程 91.7拆項(xiàng)法 91.8將一般項(xiàng)寫成某數(shù)列相鄰項(xiàng)之差 102總結(jié) 123參考文獻(xiàn) 12 無窮級數(shù)求和問題的幾種方法摘要：無窮級數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要內(nèi)容，同時(shí)無窮級數(shù)求和問題，也是學(xué)生學(xué)習(xí)級數(shù)過程中較難掌握的部分.然而，無窮級數(shù)求和沒有一個(gè)固定的方法可循.本文結(jié)合具體例子，根據(jù)無窮級數(shù)的不同特點(diǎn)，介紹幾種常用的求無窮級數(shù)的和的方法和技巧.關(guān)鍵詞：數(shù)項(xiàng)級數(shù)；冪級數(shù)；級數(shù)求和無窮級數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要內(nèi)容，它是以極限理論為基礎(chǔ)，用以表示函數(shù)，研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種重要工具.然而數(shù)學(xué)分析中注重函數(shù)的斂散問題，卻對無窮級數(shù)求和問題的方法介紹的比較少，所以求和問題是學(xué)生學(xué)習(xí)級數(shù)過程中較難掌握的部分.無窮級數(shù)求和沒有一個(gè)固定的方法可循.本文結(jié)合具體例子，根據(jù)不同的無窮級數(shù)的不同特點(diǎn)，介紹幾種常用的求無窮級數(shù)的和的方法和技巧.1利用級數(shù)和的定義求和定義 若級數(shù)的部分和數(shù)列收斂于有限值S，即,則稱級數(shù)收斂，記為，此時(shí)S稱為級數(shù)的和數(shù)；若部分和數(shù)數(shù)列發(fā)散，則稱級數(shù)發(fā)散. 例1 求級數(shù)，的和 . 解： (1) (2)（1）-（2）得：即級數(shù)和 .2利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求和利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式可以解決某些級數(shù)的求和問題.下面是幾個(gè)重要的冪級數(shù)展開式：例等等.例2 求的和.解 : =注意到得.3利用逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo)定理求和定理 設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為,其和函數(shù)為，則在內(nèi)冪級數(shù)可以逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)微分.即：對內(nèi)任意一點(diǎn)，有：并且逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級數(shù)（顯然是冪級數(shù)），其收斂半徑仍為.例3 計(jì)算無窮級數(shù)之和.解：對于級數(shù).兩邊從0積分到得,，兩邊從0積分到得,上式右邊是原級數(shù).故級數(shù)和,.例4 求冪級數(shù)的和函數(shù).解：令，冪函數(shù)的收斂半徑故原函數(shù)的收斂半徑，從而收斂區(qū)間為，而知級數(shù)，記，且于是，對上式，從0到作積分得,=因此.4逐項(xiàng)求極限如果函數(shù)在端點(diǎn)處無定義，那么可用求極限的方法討論在端點(diǎn)處的和函數(shù).例5 求冪級數(shù)的和函數(shù).解：（1）容易驗(yàn)證該冪級數(shù)的收斂域?yàn)?（2）再求冪級數(shù)在其收斂區(qū)間上的和函數(shù)，下面用逐項(xiàng)求導(dǎo)的方法求解.設(shè)，則有再設(shè)，又有于是對上式兩邊進(jìn)行積分，得并有.再進(jìn)行積分，又得（3）最后討論冪級數(shù)在其收斂域上的和函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)在處左連續(xù)，而冪級數(shù)在處收斂，所以等式在處也成立.但因在處無定義，故要改用逐項(xiàng)求極限來確定該冪級數(shù)在處的值，即由得到所以原冪級數(shù)的和函數(shù)為.5利用級數(shù)求和求某些數(shù)值級數(shù)的和可選擇某個(gè)特殊的函數(shù)在或上展成傅里葉級數(shù)，然后再去適當(dāng)?shù)闹祷蛑痦?xiàng)積分即可.例6 求的和.解：可以看作是余弦函數(shù)在時(shí)的值，因此可以考慮適當(dāng)選取一個(gè)偶函數(shù)，滿足對于上式左端利用分部積分，得到=注意到有取，則同時(shí)，這樣在上的級數(shù)為令，得例7 證明: .證明:將函數(shù)展成傅里葉級數(shù)，是由柏塞瓦爾等式（函數(shù)連續(xù)）,有即.6構(gòu)建微分方程如果某些級數(shù)的一般項(xiàng)的分母類似于階乘的級數(shù)時(shí)，可以利用經(jīng)過逐項(xiàng)積分或逐項(xiàng)積分后得到的級數(shù)之和函數(shù)與原級數(shù)的和函數(shù)構(gòu)成微分方程，然后解微分方程來求其和.例8 求級數(shù)之和.解：設(shè)冪級數(shù)則于是所得一階微分方程：,其通解為由得因此得從而.7拆項(xiàng)法無窮級數(shù)求和時(shí)，有時(shí)根據(jù)一般項(xiàng)的特點(diǎn)，將一般項(xiàng)進(jìn)行拆分來簡化運(yùn)算過程.例9 求冪級數(shù)的和函數(shù).解:先求冪級數(shù)的收斂域.因?yàn)?，且級?shù)與都發(fā)散，所以冪級數(shù)的收斂域?yàn)?由于因此,因?yàn)閮缂墧?shù)的收斂域?yàn)?，所以所求和函?shù)為,.8將一般項(xiàng)寫成某數(shù)列相鄰項(xiàng)之差用這一方法求無窮級數(shù)的和，首先需要解決：已知，如何求？當(dāng)，其中形成公差為的等差數(shù)列時(shí)，（為待定因子）.于常數(shù)項(xiàng)級數(shù)，如果能將一般項(xiàng)寫某數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差:且極限存在，則，所以.例10 求級數(shù)之和.解：一般項(xiàng)=令則，.例11 求的和.解: 則 .總之，窮級數(shù)求和沒有一個(gè)固定的方法可循，其實(shí)無窮級數(shù)求和方法很多，我們要善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié).這里只介紹了一些常用的方法和技巧，希望對大家計(jì)算求和問題有一定的幫助.參考文獻(xiàn) ：陳傳璋.數(shù)學(xué)分析.北京：高等教育出版社.1983.裘兆泰.王承國.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo).北京：科學(xué)出版社.2004.李素峰.關(guān)于無窮級數(shù)求和問題的探討.邢臺(tái)學(xué)院學(xué)報(bào),2008,23(4):100-101.吳良森.毛羽輝.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書.北京：高等教育出版.2004.劉玉璉.楊奎元.數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書.北京：高等教育出版社.1987.Several Methods of Problem of Infinite Series SummationLiuYanhong 20071115051Mathematical sciences college,mathematics and applied mathematicsAdvisor Liu GuantingAbstract: The infinite series is an important part of mathematical analysis, and infinite series summation problem is a difficult part to master for students. However, infinite series summation has not a fixed method to follow. Combined with a concrete example, according to the different characteristics of the infinite series, we introduce s