二次函數(shù)動點問題解答方法技巧分析.doc

函數(shù)解題思路方法總結： 求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉化為頂點式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)ax+bx+c=0中a,b,c的符號，或由二次函數(shù)中a,b,c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結合； 二次函數(shù)的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與x軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標. 與二次函數(shù)有關的還有二次三項式，二次三項式ax+bx+ca0本身就是所含字母x的二次函數(shù)；下面以a0時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯(lián)系：二、 拋物線上動點5、（湖北十堰市）如圖， 已知拋物線（a0）與軸交于點A(1，0)和點B (3，0)，與y軸交于點C(1) 求拋物線的解析式；(2) 設拋物線的對稱軸與軸交于點M ，問在對稱軸上是否存在點P，使CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由 (3) 如圖，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標 注意：第（2）問按等腰三角形頂點位置分類討論畫圖再由圖形性質求點P坐標-C為頂點時，以C為圓心CM為半徑畫弧，與對稱軸交點即為所求點P，M為頂點時，以M為圓心MC為半徑畫弧，與對稱軸交點即為所求點P，P為頂點時，線段MC的垂直平分線與對稱軸交點即為所求點P。 第（3）問方法一，先寫出面積函數(shù)關系式，再求最大值（涉及二次函數(shù)最值）； 方法二，先求與BC平行且與拋物線相切點的坐標（涉及簡單二元二次方程組），再求面積。070809動點個數(shù)兩個 一個兩個問題背景特殊菱形兩邊上移動特殊直角梯形三邊上移動拋物線中特殊直角梯形底邊上移動考查難點探究相似三角形探究三角形面積函數(shù)關系式探究等腰三角形考點菱形性質特殊角三角函數(shù)求直線、拋物線解析式相似三角形不等式求直線解析式四邊形面積的表示動三角形面積函數(shù)矩形性質求拋物線頂點坐標探究平行四邊形探究動三角形面積是定值探究等腰三角形存在性特點菱形是含60的特殊菱形；AOB是底角為30的等腰三角形。一個動點速度是參數(shù)字母。探究相似三角形時，按對應角不同分類討論；先畫圖，再探究。通過相似三角形過度，轉化相似比得出方程。利用a、t范圍，運用不等式求出a、t的值。觀察圖形構造特征適當割補表示面積動點按到拐點時間分段分類畫出矩形必備條件的圖形探究其存在性直角梯形是特殊的（一底角是45）點動帶動線動線動中的特殊性（兩個交點D、E是定點；動線段PF長度是定值，PF=OA）通過相似三角形過度，轉化相似比得出方程。探究等腰三角形時，先畫圖，再探究（按邊相等分類討論）共同點： 特殊四邊形為背景；點動帶線動得出動三角形；探究動三角形問題（相似、等腰三角形、面積函數(shù)關系式）；求直線、拋物線解析式；探究存在性問題時，先畫出圖形，再根據(jù)圖形性質探究答案。二次函數(shù)的動態(tài)問題（動點）1.如圖，已知拋物線與坐標軸的交點依次是，（1）求拋物線關于原點對稱的拋物線的解析式；（2）設拋物線的頂點為，拋物線與軸分別交于兩點（點在點的左側），頂點為，四邊形的面積為若點，點同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運動；與此同時，點，點同時以每秒2個單位的速度沿堅直方向分別向下、向上運動，直到點與點重合為止求出四邊形的面積與運動時間之間的關系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）當為何值時，四邊形的面積有最大值，并求出此最大值；（4）在運動過程中，四邊形能否形成矩形？若能，求出此時的值；若不能，請說明理由解 （1）點，點，點關于原點的對稱點分別為， 設拋物線的解析式是，則解得所以所求拋物線的解析式是 （2）由（1）可計算得點 過點作，垂足為當運動到時刻時， 根據(jù)中心對稱的性質，所以四邊形是平行四邊形所以所以，四邊形的面積 因為運動至點與點重合為止，據(jù)題意可知所以，所求關系式是，的取值范圍是 （3），（）所以時，有最大值 提示：也可用頂點坐標公式來求（4）在運動過程中四邊形能形成矩形 由（2）知四邊形是平行四邊形，對角線是，所以當時四邊形是矩形所以所以 所以解之得（舍）所以在運動過程中四邊形可以形成矩形，此時 點評本題以二次函數(shù)為背景，結合動態(tài)問題、存在性問題、最值問題，是一道較傳統(tǒng)的壓軸題，能力要求較高。2. （06福建龍巖卷）如圖，已知拋物線與坐標軸交于三點，點的橫坐標為，過點的直線與軸交于點，點是線段上的一個動點，于點若，且（1）確定的值：；（2）寫出點的坐標（其中用含的式子表示）：；（3）依點的變化，是否存在的值，使為等腰三角形？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由解 （1）（2）（3）存在的值，有以下三種情況當時，則當時，得當時，如圖解法一：過作，又則又解法二：作斜邊中線則，此時解法三：在中有（舍去）又當或或時，為等腰三角形解法四： 數(shù)學往往有兩個思考方向：代數(shù)和幾何，有時可以獨立思考，有時需要綜合運用。代數(shù)討論：計算出PQB三邊長度，均用t表示，再討論分析RtPHQ中用勾股定理計算PQ長度，而PB、BQ長度都可以直接直接用t表示，進行分組討論即可計算。點評此題綜合性較強，涉及函數(shù)、相似性等代數(shù)、幾何知識，1、2小題不難，第3小題是比較常規(guī)的關于等腰三角形的分類討論，需要注意的是在進行討論并且得出結論后應當檢驗，在本題中若求出的t值與題目中的矛盾，應舍去3.如圖1，已知直線與拋物線交于兩點（1）求兩點的坐標；（2）求線段的垂直平分線的解析式；（3）如圖2，取與線段等長的一根橡皮筋，端點分別固定在兩處用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖在直線上方的拋物線上移動，動點將與構成無數(shù)個三角形，這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時點的坐標；如果不存在，請簡要說明理由PA圖2圖1解 （1）解：依題意得解之得 （2）作的垂直平分線交軸，軸于兩點，交于（如圖1）圖1DMACB第26題 由（1）可知： 過作軸，為垂足 由，得：， 同理： 設的解析式為 的垂直平分線的解析式為：（3）若存在點使的面積最大，則點在與直線平行且和拋物線只有一個交點的直線上，并設該直線與軸，軸交于兩點（如圖2）PA圖2HGB 拋物線與直線只有一個交點， ， 在直線中，設到的距離為， 到的距離等于到的距離另解：過P做PCy軸，PC交AB于C，當PC最大時PBA在AB邊上的高h最大（h與PC 夾角固定），則SPBA最大 問題轉化為求PC最大值，設P（x, ）,C（x, ）,從而可以表示PC長度，進行極值求取。 最后，以PC為底邊，分別計算SPBC和SPAC即可。點評這是一道涉及二次函數(shù)、方程、幾何知識的綜合壓軸題，有一定的能力要求，第3小題是一個最值問題，解此類題時需數(shù)形結合方可較輕松的解決問題。4.如圖，正方形的頂點的坐標分別為，頂點在第一象限點從點出發(fā)，沿正方形按逆時針方向勻速運動，同時，點從點出發(fā)，沿軸正方向以相同速度運動當點到達點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為秒（1）求正方形的邊長 （2）當點在邊上運動時，的面積（平方單位）與時間（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖所示），求兩點的運動速度 （3）求（2）中面積（平方單位）與時間（秒）的函數(shù)關系式及面積取最大值時點的坐標 （4）若點保持（2）中的速度不變，則點沿著邊運動時，的大小隨著時間的增大而增大；沿著邊運動時，的大小隨著時間的增大而減小當點沿著這兩邊運動時，使的點有個 （拋物線的頂點坐標是圖圖解 （1）作軸于，（2）由圖可知，點從點運動到點用了10秒又兩點的運動速度均為每秒1個單位（3）方法一：作軸于，則，即， 即，且，當時，有最大值此時，點的坐標為（8分）方法二：當時，設所求函數(shù)關系式為拋物線過點， ，且，當時，有最大值此時，點的坐標為 （4） 點評本題主要考查函數(shù)性質的簡單運用和幾何知識，是近年來較為流行的試題，解題的關鍵在于結合題目的要求動中取靜，相信解決這種問題不會非常難。5. 如圖，中，它的頂點的坐標為，頂點的坐標為，點從點出發(fā)，沿的方向勻速運動，同時點從點出發(fā)，沿軸正方向以相同速度運動，當點到達點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為秒（1）求的度數(shù)（2）當點在上運動時，的面積（平方單位）與時間（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，（如圖），求點的運動速度（3）求（2）中面積與時間之間的函數(shù)關系式及面積取最大值時點的坐標（4）如果點保持（2）中的速度不變，那么點沿邊運動時，的大小隨著時間的增大而增大；沿著邊運動時，的大小隨著時間的增大而減小，當點沿這兩邊運動時，使的點有幾個？請說明理由（第29題圖）ACBQDOPxy3010O5tS（第29題圖）解: （1）（2）點的運動速度為2個單位/秒（3）（）當時，有最大值為，此時（4）當點沿這兩邊運動時，的點有2個當點與點重合時，當點運動到與點重合時，的長是12單位長度，作交軸于點，作軸于點，由得：，所以，從而第29題圖所以當點在邊上運動時，的點有1個同理當點在邊上運動時，可算得而構成直角時交軸于，所以，從而的點也有1個所以當點沿這兩邊運動時，的點有2個6. （本題滿分14分）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、和點.（1）求該二次函數(shù)的關系式；（2）設該二次函數(shù)的圖象的頂點為，求四邊形的面積；（3）有兩動點、同時從點出發(fā)，其中點以每秒個單位長度的速度沿折線 按的路線運動，點以每秒個單位長度的速度沿折線按的路線運動，當、兩點相遇時，它們都停止運動.設、同時從點出發(fā)秒時，的面積為S .請問、兩點在運動過程中，是否存在，若存在，請求出此時的值；若不存在，請說明理由；請求出S關于的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；設是中函數(shù)S的最大值，那么 = .解：（1）令，則；令則二次函數(shù)的圖象過點，可設二次函數(shù)的關系式為又該函數(shù)圖象過點解之，得，所求二次函數(shù)的關系式為 （2）=頂點M的坐標為 過點M作MF軸于F=四邊形AOCM的面積為10 （3）不存在DEOC 若DEOC，則點D，E應分別在線段OA，CA上，此時，在中，設點E的坐標為， ， 2，不滿足不存在根據(jù)題意得D，E兩點相遇的時間為（秒）現(xiàn)分情況討論如下：）當時，；）當時，設點E的坐標為， ）當2 時，設點E的坐標為，類似可得設點D的坐標為，= 7.關于的二次函數(shù)以軸為對稱軸，且與軸的交點在軸上方（1）求此拋物線的解析式，并在下面的直角坐標系中畫出函數(shù)的草圖；（2）設是軸右側拋物線上的一個動點，過點作垂直于軸于點，再過點作軸的平行線交拋物線于點，過點作垂直于軸于點，得到矩形設矩形的周長為，點的橫坐標為，試求關于的函數(shù)關系式；（3）當點在軸右側的拋物線上運動時，矩形能否成為正方形若能，請求出此時正方形的周長；若不能，請說明理由參考資料：拋物線的頂點坐標是，對稱軸是直線解：（1）據(jù)題意得：，當時，當時，又拋物線與軸的交點在軸上方，拋物線的解析式為：函數(shù)的草圖如圖所示（只要與坐標軸的三個交點的位置及圖象大致形狀正確即可）（2）解：令，得不時，43211234（第26題）當時，關于的函數(shù)關系是：當時，；當時，（3）解法一：當時，令，得解得（舍），或將代入，得當時，令，得解得（舍），或將代入，得綜上，矩形能成為正方形，且當時正方形的周長為；當時，正方形的周長為解法二：當時，同“解法一”可得正方形的周長當時，同“解法一”可得正方形的周長綜上，矩形能成為正方形，且當時正方形的周長為；當時，正方形的周長為解法三：點在軸右側的拋物線上，且點的坐標為令，則，或由解得（舍），或；由解得（舍），或又，當時；當時綜上，矩形能成為正方形，且當時正方形的周長為；當時，正方形的周長為8.已知拋物線yax2bxc與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB0），則N（R+1，R），代入拋物線的表達式，解得 6分當直線MN在x軸下方時，設圓的半徑為r（r0），則N（r+1，r），代入拋物線的表達式，解得 7分圓的半徑為或 7分（4）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，易得G（2，3），直線AG為8分設P（x，），則Q（x，x1），PQ 9分當時，APG的面積最大此時P點的坐標為， 10分11（本小題12分）解：（1）解方程x210x160得x12，x28點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OBOC點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8）又拋物線yax2bxc的對稱軸是直線x2由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（6，0）A、B、C三點的坐標分別是A（6，0）、B（2，0）、C（0，8）（2）點C（0，8）在拋物線yax2bxc的圖象上c8，將A（6，0）、B（2，0）代入表達式y(tǒng)ax2bx8，得解得所求拋物線的表達式為yx2x8（3）AB8，OC8SABC 88=32（4）依題意，AEm，則BE8m，OA6，OC8， AC10EFAC BEFBAC即 EF過點F作FGAB，垂足為G，則sinFEGsinCAB FG8mSSBCESBFE（8m）8（8m）（8m）（8m）（88m）（8m）mm24m自變量m的取值范圍是0m8（5）存在 理由：Sm24m（m4）28且0，當m4時，S有最大值，S最大值8m4，點E的坐標為（2，0）BCE為等腰三角形 12.（12分）已知：如圖14，拋物線與軸交于點，點，與直線相交于點，點，直