2020版新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式2.2.4.1均值不等式課件新人教B版必修1.pptx

2 2 4均值不等式及其應(yīng)用第1課時均值不等式 1 均值不等式 基本不等式 1 算術(shù)平均值與幾何平均值 2 均值不等式 思考 1 算術(shù)平均值的實質(zhì)是什么 提示 數(shù)a b在數(shù)軸上對應(yīng)的點的中點坐標(biāo) 2 均值不等式中的a b只能是具體的某個數(shù)嗎 提示 a b既可以是具體的某個數(shù) 也可以是代數(shù)式 3 均值不等式的敘述中 正數(shù) 兩個字能省略嗎 請舉例說明 提示 不能 如是不成立的 2 均值不等式與最值兩個正數(shù)的積為常數(shù)時 它們的和有最小值 兩個正數(shù)的和為常數(shù)時 它們的積有最大值 思考 通過以上結(jié)論可以得出 利用均值不等式求最值要注意哪幾方面 提示 求最值時 要注意三個條件 即 一正 二定 三相等 素養(yǎng)小測 1 思維辨析 對的打 錯的打 1 兩個不等式a2 b2 2ab與成立的條件是相同的 2 當(dāng)a 0 b 0時a b 2 3 當(dāng)a 0 b 0時ab 4 函數(shù)y x 的最小值是2 提示 1 不等式a2 b2 2ab成立的條件是a b R 不等式成立的條件是a 0 b 0 2 均值不等式的變形公式 3 均值不等式的變形公式 4 當(dāng)x 0時 x 是負數(shù) 2 下列不等式正確的是 解析 選C 因為a2 0 所以成立 3 不等式a2 1 2a中等號成立的條件是 解析 當(dāng)a2 1 2a 即 a 1 2 0時 成立 此時a 1 答案 a 1 類型一對均值不等式的理解 典例 1 若a b R 且ab 0 則下列不等式中 恒成立的是 A a2 b2 2abB a b 2C D 2 不等式a 1 2 a 0 中等號成立的條件是 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號A a 0B a C a 1D a 2 思維 引 利用均值不等式時需注意使用條件 解析 1 選D 對于A項 當(dāng)a b時 應(yīng)有a2 b2 2ab 所以A項錯 對于B C 條件ab 0 只能說明a b同號 當(dāng)a b都小于0時 B C錯誤 對于D項 因為ab 0 所以 所以 2 選C 因為a 0 根據(jù)均值不等式 當(dāng)且僅當(dāng)a b時等號成立 故a 1 2中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a 1 內(nèi)化 悟 1 使用均值不等式的前提條件是什么 提示 a 0 b 0 2 均值不等式中 等號成立的條件是什么 提示 a b 類題 通 在均值不等式應(yīng)用過程中要注意 一正 二定 三相等 一正 a b均為正數(shù) 二定 不等式一邊為定值 三相等 不等式中的等號能取到 即a b有解 習(xí)練 破 設(shè)0 a b 則下列不等式中正確的是 解析 選B 因為0 a b 所以 所以a 同樣由0 a b得 所以 b 由均值不等式可得 綜上 類型二直接利用均值不等式求最值 典例 1 設(shè)x 0 y 0 且x y 18 則xy的最大值為 A 80B 77C 81D 82 2 當(dāng)x 1時 的最小值為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號 思維 引 根據(jù)已知條件 直接利用均值不等式求最值 解析 1 選C 因為x 0 y 0 所以 即xy 81 當(dāng)且僅當(dāng)x y 9時 xy max 81 2 令t 因為x 1 0 所以t 2 8 當(dāng)且僅當(dāng)x 1 即x 4時 t的最小值為8 答案 8 內(nèi)化 悟 能利用均值不等式求最值的題目的原型是什么樣的 提示 一般條件中有 和為定值 或 積為定值 要求的結(jié)論是 積的最大值 或 和的最小值 類題 通 利用均值不等式求最值的兩種類型和一個關(guān)注點1 兩種類型 1 若a b p 兩個正數(shù)a b的和為定值 則當(dāng)a b時 積ab有最大值 可以用均值不等式求得 2 若ab S 兩個正數(shù)的積為定值 則當(dāng)a b時 和a b有最小值2 可以用均值不等式a b 求得 2 一個關(guān)注點不論哪種情況都要注意等號取得的條件 習(xí)練 破 已知a 0 b 0 ab 4 m b n a 求m n的最小值 解析 因為m b n a 所以m n b a 由ab 4 那么b 所以b a 5 當(dāng)且僅當(dāng)即a 2時取等號 所以m n的最小值是5 加練 固 已知a 0 b 0 則的最小值是 A 2B 2C 4D 5 解析 選C 因為a 0 b 0 所以 4 4 當(dāng)且僅當(dāng)即a b 1時 等號成立 類型三間接利用均值不等式求最值角度1 不正 問題 典例 已知x 0 則3x 的最大值為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號 思維 引 變形為各項均大于0后利用均值不等式求最值 解析 因為x0 則 12 當(dāng)且僅當(dāng) 3x 即x 2時 3x 取得最大值為 12 答案 12 內(nèi)化 悟 使用均值不等式的前提條件必須是所給的式子均大于0嗎 提示 當(dāng)所給式子均小于0 也可以利用均值不等式求最值 但是要注意不等號方向的變化 角度2 不定 問題 典例 1 已知x 2 求x 的最小值 2 已知0 x 求x 1 2x 的最大值 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號 思維 引 先對式子變形 湊定值后再利用均值不等式求最值 解析 1 因為x 2 所以x 2 0 所以x x 2 2 2 4 所以當(dāng)且僅當(dāng)x 2 x 2 即x 3時 x 的最小值為4 2 因為00 所以x 1 2x 2x 1 2x 所以當(dāng)且僅當(dāng)2x 1 2x 即x 時 x 1 2x 的最大值為 素養(yǎng) 探 本例考查利用均值不等式求最值 突出考查了邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng) 若把本例 1 改為 已知x 試求4x 2 的最大值 解析 因為x0 所以4x 5 3 1 當(dāng)且僅當(dāng)5 4x 時等號成立 又5 4x 0 所以5 4x 1 x 1時 4x 2 的最大值是1 類題 通 通過拼湊法利用均值不等式求最值的策略拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形 拼系數(shù) 湊常數(shù)是關(guān)鍵 利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個方面的問題 1 拼湊的技巧 以整式為基礎(chǔ) 注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整 做到等價變形