二次曲線的直徑.doc

5.5 二次曲線的直徑1二次曲線的直徑我們已經(jīng)討論了直線與二次曲線相交的各種情況當直線平行于二次曲線的某一非漸近方向時，這條直線與二次曲線總交于兩點（兩個不同的實點，兩個重合的實點或一對共軛的虛點），這兩點決定了二次曲線的一條弦現(xiàn)在我們來研究二次曲線上一族平行弦的中點軌跡命題5.5.1 二次曲線的一族平行弦的中點軌跡是一條直線證 設(shè)X : Y是二次曲線的一個非漸近方向，即F (X，Y) 0，而 (x0，y0 ) 是平行于方向X : Y的弦的中點，那么過 ( x0，y0 ) 的弦為它與二次曲線F (x，y) = 0的兩交點（即弦的兩端點）由如下二次方程 F (X，Y) F ( x0, y0 ) = 0(2)的兩根與所決定，因為 ( x0, y0 ) 為弦的中點，根據(jù)前面關(guān)于中心的有關(guān)討論，必有 = 0從而有這說明平行于方向X : Y的弦的中點 ( x0，y0 ) 的坐標滿足方程 (3)即也就是(5.51)反過來，如果點 ( x0，y0 ) 滿足方程（5.51），那么方程（2）將有絕對值相等而符號相反的兩個根，點 ( x0，y0 ) 就是具有方向XY的弦的中點，因此方程（5.51）為一族平行于某一非漸近方向XY的弦的中點軌跡的方程方程（5.51）的一次項系數(shù)不能全為零，這是因為當時，將有這與XY是非漸近方向的假設(shè)矛盾，所以（5.51）是一個二元一次方程，它是一條直線命題得證定義5.5.1 二次曲線的平行弦中點的軌跡叫做這個二次曲線的直徑，它所對應的平行弦，叫做共軛于這條直徑的共軛弦；而直徑也叫做共軛于平行弦方向的直徑如前所述，斜率k = Y / X對應方向X : Y，故有推論 如果二次曲線的一族平行弦的斜率為k，那么共軛于這族平行弦的直徑方程是(5.52)這里定義的二次曲線的直徑是一條實直線而不是一條線段，因為平行于某個非漸近方向的平行弦不論是兩實點的連線還是兩虛點的“連線”，它們的中點都是實點，這些實點構(gòu)成一條實直線而不僅僅是一條實線段認為直徑是一條直線，這與以往所說的圓的直徑是一條線段是有區(qū)別的在大多數(shù)情況下，把包括圓在內(nèi)的所有二次曲線的直徑都看成直線更便于進行理論討論由于二次曲線的非漸近方向X : Y一般有無窮多個，從方程（3）或（5.52）可以看出，如果F1 (x，y) = 0和F2 (x，y) = 0表示兩條不同的直線，方程（5.51）表示的直線就構(gòu)成一個平面直線束記此直線束為H，則H具有如下的性質(zhì)：當時H為中心直線束，當時H為平行直線束；如果F1(x，y) = 0和F2(x，y) = 0表示同一直線，這時，那么（3）或（5.52）只表示一條直線如果F1(x，y) = 0和F2(x，y) = 0中有一個為矛盾方程，比如F1(x，y) = 0中a11= a12 = 0，這時成立且（3）或（5.52）仍表示一平行直線束；若F1 (x, y) = 0和F2 (x, y) = 0中有一個為恒等式，比如F1 (x, y) = 0中a11 = a12 = a13= 0，則成立，（3）或（5.52）只表示一條直線因此當，即二次曲線為中心曲線時，它的全部直徑屬于一個中心直線束，這個直線束的中心就是二次曲線的中心；當，即二次曲線為無心曲線時，它的全部直徑屬于一個平行直線束，它的方向為二次曲線的漸近方向XY =:=:；當，即二次曲線為線心曲線時，二次曲線只有一條直徑，它的方程是 (或)即線心二次曲線的中心直線，因此我們有：命題5.5.2 中心二次曲線的直徑通過曲線的中心，無心二次曲線的直徑平行于曲線的漸近方向，線心二次曲線的直徑只有一條，就是曲線的中心直線圖5.5.1給出了三種二次曲線的直徑的情形，圖中直徑用粗線畫出（a）中心曲線，直徑是中心直線束（b）無心曲線，直徑是平行直線束（c）線心曲線，直徑是一條直線圖5.5.1例1 求橢圓或雙曲線的直徑解 F (x，y)， F1(x，y)， F2(x，y)根據(jù)（3），共軛于非漸近方向XY的直徑方程是顯然，直徑通過曲線的中心（0，0）例2 求拋物線2px的直徑解F (x，y)2px 0F1(x，y)p，F(xiàn)2(x，y) y共軛于非漸近方向XY的直徑為X p Y y0即y所以拋物線2px的直徑平行于它的漸近方向10注 這里的XY是拋物線2px的任一非漸近方向拋物線2px的漸近方向是滿足齊次方程= 0的解當Y = 0時，X 0，因而解是1 : 0而直徑y(tǒng) = pX / Y的方向恰是10，這也是x軸的方向例3 求二次曲線F (x，y)的共軛于非漸近方向XY的直徑解 F1 (x，y)x y 1，F(xiàn)2 (x，y) x y 1 直徑方程為X (x y 1) Y ( x y 1)0即(X Y )(x y 1)0因為已知曲線F (x，y)0的漸近方向為X Y 11，所以對于非漸近方向XY一定有X Y,因此曲線的共軛于非漸近方向XY的直徑為x y 10它只有一條直徑事實上，所給的曲線是線心二次曲線，所以只有一條直徑2共軛方向與共軛直徑二次曲線的與非漸近方向XY共軛的直徑方程總可以寫成（5.51）的形式，而（5.51）的方向是XY (5.53)我們稱這個方向為非漸近方向XY的共軛方向根據(jù)（5.53），存在非零實數(shù)t，使得X t，Yt因此有因XY為非漸近方向，F(xiàn) (X, Y ) 0，而由所設(shè)t 0，因此當I2 0，即二次曲線為中心二次曲線時，F(xiàn) (X , Y ) 0；當I20，即二次曲線為非中心二次曲線時，F(xiàn) (X, Y )0因此有命題5.5.3 中心二次曲線的非漸近方向的共軛方向仍然是非漸近方向，而非中心二次曲線的非漸近方向的共軛方向是漸近方向由（5.53）得二次曲線的非漸近方向XY與它的共軛方向XY 之間的關(guān)系是(5.54)從（5.54）式看出，兩個方向XY與XY 是對稱的，因此對中心曲線來說，非漸近方向XY的共軛方向為非漸近方向X : Y，而: Y 的共軛方向就是XY任意給定一個非漸近方向XY，作一組平行于這個方向的平行弦，它們的中點就確定一條共軛于非漸近方向XY的直徑l，設(shè)其方向為X : Y若X : Y也是非漸近方向，則同樣由X : Y 也確定一條直徑l，l的方向必然是XY定義5.5.2 中心二次曲線的一對具有相互共軛方向的直徑叫做一對共軛直徑設(shè)，代入（5.54），得(5.55)這就是一對共軛直徑的斜率滿足的關(guān)系式例如橢圓的一對共軛直徑的斜率k與k 有關(guān)系即(4)而雙曲線的一對共軛直徑的斜率k與k 有關(guān)系(5)在（5.54）中，如果設(shè)XYXY那么有顯然此時XY為二次曲線的漸近方向因此如果對二次曲線的共軛方向從（5.54）作代數(shù)的推廣，那么漸近方向可以看成自共軛方向，從而漸近線也就可以看成與自己共軛的直徑從（14）看出，橢圓的任何一對共軛直徑的斜率k與k 都具有相反的符號（假定k與k 皆不為零），所以這一對共軛直徑不能在同一象限里（圖5.5.2）并且當k 0而k值增大時，k 0而k值增大時，k 0而絕對值跟著減小這表示當雙曲線的一條直徑繞中心逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，它的共軛直徑繞著中心順時針方向旋轉(zhuǎn)此外，如果一條直徑的斜率趨近于（或 ），其共軛直徑的斜率也趨近于（或 因此，雙曲線的漸近線是它的一對共軛直徑的極限位置這就更詳盡地說明了可以把雙曲線的漸近線看成它的直徑，即兩條重合的自共軛直徑圖5.5.2圖5.5.3由于例子中的討論是在標準坐標系中進行的，若k與k 中有一個為零，則另一個必為無窮大，實際上此時一對共軛直徑是中心二次曲線的對稱軸，也就是坐標軸若根