322 函數(shù)模型的應(yīng)用實例 學(xué)案3(人教A版必修1)(teacher).doc

3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實例【課標要求】1了解幾種現(xiàn)實生活中普遍使用的函數(shù)模型2能夠利用給定的函數(shù)模型或建立函數(shù)模型解決實際問題【核心掃描】1利用已知函數(shù)模型解決實際問題(重點)2建立函數(shù)模型解決實際問題(難點)3選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型解決實際問題(易錯點)新知導(dǎo)學(xué)1解決函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟利用函數(shù)知識和函數(shù)觀點解決實際問題時，一般按以下幾個步驟進行：(一)審題；(二)建模；(三)求模；(四)還原這些步驟用框圖表示如圖：2數(shù)學(xué)模型就是把實際問題用數(shù)學(xué)語言抽象概括，再從數(shù)學(xué)角度來反映或近似地反映實際問題，得出關(guān)于實際問題的數(shù)學(xué)描述互動探究探究點1 解決函數(shù)實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是什么？提示關(guān)鍵是選擇或建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型探究點2 數(shù)據(jù)擬合時，得到的函數(shù)為什么要檢驗？提示因為根據(jù)已給的數(shù)據(jù)，作出散點圖，根據(jù)散點圖，一般是從我們比較熟悉的、最簡單的函數(shù)作模型，但所估計的函數(shù)有時可能誤差較大或不切合客觀實際，此時就要改選其他函數(shù)模型. 類型一二次函數(shù)模型的應(yīng)用【例1】 某公司以每噸10萬元的價格銷售某種化工品，每年可售出1 000噸若該產(chǎn)品每噸的價格上漲x%，則每年的銷售量將減少mx%(m0)(1)當m時，求銷售額的最大值；(2)如果漲價能使銷售額增加，求m的取值范圍思路探索先建立銷售額與x的函數(shù)關(guān)系即函數(shù)模型，再利用函數(shù)模型解決實際問題解當價格上漲x%，即價格為10萬元時，銷售量為1 000噸，銷售總額為y(1 00010mx)mx2100(1m)x10 000.(1)當m時，yx250x10 000(x50)211 250(0x200)所以x50時銷售額最大，最大值為11 250萬元(2)漲價能使銷售額增加，也就是x0時， y101 000，即mx2100(1m)x0，mx100(1m)0.又m0，x0，解得0m1.所以m的取值范圍是(0,1)規(guī)律方法(1)第一小題關(guān)鍵在于建立y關(guān)于x的二次函數(shù)；(2)第二小題要理解“漲價且使銷售額增加”的意義，從而得到關(guān)于m的不等式(3)二次函數(shù)模型是冪函數(shù)中的最重要的函數(shù)模型，根據(jù)實際問題建立函數(shù)關(guān)系式后，可以利用配方法、換元法、單調(diào)性等方法求其最值，從而解決實際問題中的最大、最小等問題【活學(xué)活用1】 某企業(yè)生產(chǎn)一種機器的固定成本(即固定投入)為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺時，又需可變成本(即另增加投入)0.25萬元，市場對此商品的年需求量為500臺，銷售收入(單位：萬元)函數(shù)為：R(x)5xx2(0x5)，其中x是產(chǎn)品生產(chǎn)的數(shù)量(單位：百臺)(1)把利潤表示為產(chǎn)量的函數(shù)；(2)年產(chǎn)量為多少時，企業(yè)所獲得的利潤最大？解(1)由題意，得總成本為0.50.25x，從而利潤為f(x)5xx2(0.50.25x) x24.75x0.5 x2x(0x5)(2)f(x)(x)2，當x時，f(x)有最大值.年產(chǎn)量為475臺時，利潤最大為萬元類型二分段函數(shù)模型的應(yīng)用【例2】 通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，專家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生注意力隨著老師講課時間的變化而變化設(shè)f(t)表示學(xué)生注意力隨時間t(分鐘)的變化規(guī)律，其中f(t)越大，表明學(xué)生注意力越集中經(jīng)過實驗分析得知f(t)(1)講課開始后5分鐘與25分鐘比較，何時學(xué)生的注意力更集中？(2)講課開始后多少分鐘，學(xué)生注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？思路探索由于f(t)是關(guān)于t的分段函數(shù)，計算時應(yīng)分清f(t)滿足的關(guān)系式，分段求解，并加以比較，得出結(jié)論解(1)f(5)52245100195.f(25)725380205.講課開始后25分鐘學(xué)生的注意力更集中(2)當0t10時，f(t)(t12)2244，此時，當t10時，f(t)max240；當10t20時，f(t)240；當20t45時，f(t)maxf(20)240.講課開始后10分鐘到20分鐘，學(xué)生注意力最集中，能持續(xù)10分鐘規(guī)律方法(1)對于分段函數(shù)，一定要注意對各個定義區(qū)間內(nèi)的表達式進行分析，特別是區(qū)間的端點，以保證在各區(qū)間端點“不重不漏”(2)求解分段函數(shù)問題，必須分段處理，注意在有限制條件的前提下，如何進行分類討論解決問題【活學(xué)活用2】 某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水超過4噸時，每噸為1.80元，當用水超過4噸時，超過部分每噸3.00元某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x,3x(噸)(1)求y關(guān)于x的函數(shù)；(2)若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月用水量和水費解(1)當甲的用水量不超過4噸時，即5x4，乙的用水量也不超過4噸，y1.8(5x3x)14.4x；當甲的用水量超過4噸，乙的用水量不超過4噸，即3x4，且5x4時，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.當甲乙的用水量都超過4噸，即3x4時，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.所以y(2)由于yf(x)在各段區(qū)間上均單調(diào)遞增，當x時，yf26.4；當x時，yf26.4；當x時，令24x9.626.4，解得x1.5.所以甲戶用水量為5x7.5噸，付費S141.83.5317.70(元)；乙戶用水量為3x4.5噸，付費S241.80.538.70(元)類型三數(shù)據(jù)擬合型函數(shù)的應(yīng)用問題【例3】 某個體經(jīng)營者把開始六個月試銷A，B兩種商品的逐月投資金額與所獲純利潤列成下表：投資A種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.651.391.8521.841.40投資B種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.300.590.881.201.511.79該經(jīng)營者準備第七個月投入12萬元經(jīng)營這兩種商品，但不知A，B兩種商品各投入多少萬元才合算請你幫助制定一個資金投入方案，使得該經(jīng)營者能獲得最大純利潤，并按你的方案求出該經(jīng)營者第七個月可獲得的最大純利潤(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)思路探索先作出散點圖，根據(jù)散點圖設(shè)出擬合函數(shù)，然后檢驗判定，選擇恰當擬合函數(shù)解決問題解以投資額為橫坐標，純利潤為縱坐標，在平面直角坐標系中畫出散點圖，如下圖所示觀察散點圖可以看出，A種商品所獲純利潤y與投資額x之間的變化規(guī)律可以用二次函數(shù)模型進行模擬，如圖(1)所示取(4,2)為最高點，則ya(x4)22(a0)，再把點(1,0.65)代入，得0.65a(14)22，解得a0.15，所以y0.15(x4)22.B種商品所獲純利潤y與投資額x之間的變化規(guī)律是線性的，可以用一次函數(shù)模型進行模擬設(shè)ykxb(k0)，取點(1,0.30)和(4,1.20)代入，得解得所以y0.3x.設(shè)第七個月投入A，B兩種商品的資金分別為x萬元，(12x)萬元，總利潤為W萬元，那么WyAyB0.15(x4)220.3(12x)，所以W0.15(x3)20.1593.2.當x3時，W取最大值，約為4.55萬元，此時B商品的投資為9萬元故該經(jīng)營者下個月把12萬元中的3萬元投資A種商品，9萬元投資B種商品，可獲得最大利潤，約為4.55萬元規(guī)律方法解此類實際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，再解決數(shù)學(xué)問題，最后驗證并結(jié)合問題的實際意義作出回答這個過程就是先擬合函數(shù)，再利用函數(shù)解題【活學(xué)活用3】 某地西紅柿從2月1日起開始上市通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/102kg)與上市時間t(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：時間t50110250種植成本Q150108150(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系：Qatb；Qat2btc；Qabt；Qalogb t.(2)利用你選取的函數(shù)，求西紅柿種植成本最低時的上市時間及最低種植成本解(1)由提供的數(shù)據(jù)知道，描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系的函數(shù)不可能是常數(shù)函數(shù)，從而用函數(shù)Qatb，Qabt，Qalogb t中的任意一個進行描述時都應(yīng)有a0，而上述三個函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格所提供的數(shù)據(jù)不吻合所以，選取二次函數(shù)Qat2btc進行描述將表格所提供的三組數(shù)據(jù)分別代入Qat2btc，得解之得a，b，c.所以，描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系的函數(shù)為Qt2t.(2)當t150時，西紅柿種植成本最低，最低為Q1502150100(元/102 kg)易錯辨析解決圖表信息問題沒能理解題意致錯【示例】 如圖所示，圓弧型聲波DFE從坐標原點O點外傳播若D是DFE與x軸的交點，設(shè)ODx(0xa)，圓弧型聲波DFE在傳播過程中掃過平行四邊形OABC的面積為y(圖中陰影部分)，則函數(shù)yf(x)的圖象大致是()錯解 觀察題圖可知，聲波掃過的面積先增大后減少，選項B符合題意，滿足圖象要求錯因分析本題的錯誤很明顯，y指的是聲波掃過的總面積，不是發(fā)展趨勢，所以掃過的面積始終是增大的，上述判斷是因主觀性太強而致錯正解 從題目所給的背景圖形中不難發(fā)現(xiàn)：在聲波未傳到C點之前，掃過圖形的面積不斷增大，而且增長得越來越快當?shù)竭_C點之后且離開A點之前，因為OABC，所以此時掃過圖形的面積呈勻速增長當離開A點之后，掃過圖形的面積會增長得越來越慢所以函數(shù)圖象剛開始應(yīng)是下凹的，然后是一條上升的線段，最后是上凸的故選A.答案A防范措施(1)注意細節(jié)變化，一些細節(jié)不能忽視，它往往起提示作用，如圖表下的“注”、“數(shù)字單位”等函數(shù)圖象的凸凹變化規(guī)律：上凸函數(shù)圖象若減，則從左到右減得越來越快；若增，則從左到右增得越來越慢(2)審清要求：圖表題往往對答題有明確的要求，根據(jù)考題要求進行回答，才能有的放矢題目要求往往包括字數(shù)句數(shù)限制、比較對象、變化情況等.課堂達標1.某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示，由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量時的收入是()A310元 B300元 C390元 D280元解析由圖象知，該一次函數(shù)過(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y(tǒng)500x300(x0)，當x0時，y300.答案B2某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來越嚴重，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數(shù)y公頃關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是()Ay0.2x By(x22x)Cy Dy0.2log16x解析當x1時，否定B；當x2時，否定D；當x3時，否定A，檢驗C項較為近似答案C3某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計算，計算公式為：y其中，x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)，若應(yīng)聘的面試人數(shù)為60人，則該公司擬錄用人數(shù)為_人解析若4x60，則x1510舍，若2x1060，則x25滿足題意若1.5x60，則x40100，不合題意因此，公司擬錄用25人答案254現(xiàn)測得(x，y)的兩組值為(1,2)，(2,5)，現(xiàn)有兩個擬合模型，甲：yx21，乙：y3x1，若又測得(x，y)的一組對應(yīng)值為(3,10.2)，則應(yīng)選用_作為擬合模型較好解析圖象法，即指出已知的三個點的坐標并畫出兩個函數(shù)的圖象，比較發(fā)現(xiàn)選甲更好答案甲5(2013長沙高一檢測)2012年我國人均國民生產(chǎn)總值約為a美元，若按年平均增長率8%的速度增長(1)計算2014年我國人均國民生產(chǎn)總值；(2)經(jīng)過多少年可達到翻一番？(lg1.080.033 4，lg 20.301 0)解(1)設(shè)經(jīng)過x年后，人均國民生產(chǎn)總值為y美元，由題意ya(10.08)x.所以，2014年我國的人均國民生產(chǎn)總值為ya(10.08)21