高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.7 拋物線課件 文 新人教A版.ppt

第七節(jié)拋物線 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 1 拋物線的定義滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線 在平面內(nèi) 動點(diǎn)到定點(diǎn)f的距離與到定直線l的距離 定點(diǎn) 定直線上 相等 不在 2 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py o 0 0 y 0 x軸 x 0 y軸 x 0 y r x 0 y r y 0 x r y 0 x r 2 必備結(jié)論教材提煉記一記拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)ab是過拋物線y2 2px p 0 焦點(diǎn)f的弦 若a x1 y1 b x2 y2 則 1 x1x2 y1y2 2 弦長 ab 為弦ab的傾斜角 3 以弦ab為直徑的圓與準(zhǔn)線相切 4 通徑 過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦 長等于2p p2 x1 x2 p 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 待定系數(shù)法 點(diǎn)差法 定義法 設(shè)而不求 2 數(shù)學(xué)思想 數(shù)形結(jié)合思想 分類討論思想 方程思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)f和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線 2 方程y ax2 a 0 表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線 且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是 0 準(zhǔn)線方程是x 3 拋物線既是中心對稱圖形 又是軸對稱圖形 解析 1 錯(cuò)誤 當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí) 軌跡為過定點(diǎn)f與定直線l垂直的一條直線 而非拋物線 2 錯(cuò)誤 方程y ax2 a 0 可化為x2 y 是焦點(diǎn)在y軸上的拋物線 且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是 0 準(zhǔn)線方程是y 3 錯(cuò)誤 拋物線是只有一條對稱軸的軸對稱圖形 答案 1 2 3 2 教材改編鏈接教材練一練 1 選修1 1p59t3 1 改編 設(shè)拋物線y2 8x上一點(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離是4 則點(diǎn)p到該拋物線焦點(diǎn)的距離是 解析 如圖所示 拋物線的準(zhǔn)線l的方程為x 2 f是拋物線的焦點(diǎn) 過點(diǎn)p作pa y軸 垂足是a 延長pa交直線l于點(diǎn)b 則 ab 2 由于點(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離為4 則點(diǎn)p到準(zhǔn)線l的距離 pb 4 2 6 所以點(diǎn)p到焦點(diǎn)的距離 pf pb 6 答案 6 2 選修1 1p63t1 1 改編 已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn) 對稱軸為坐標(biāo)軸 并且經(jīng)過點(diǎn)p 2 4 則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 解析 很明顯點(diǎn)p在第三象限 所以拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸負(fù)半軸上或y軸負(fù)半軸上 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時(shí) 設(shè)方程為y2 2px p 0 把點(diǎn)p 2 4 的坐標(biāo)代入得 4 2 2p 2 解得p 4 此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 8x 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上時(shí) 設(shè)方程為x2 2py p 0 把點(diǎn)p 2 4 的坐標(biāo)代入得 2 2 2p 4 解得p 此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 y 綜上可知 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 8x或x2 y 答案 y2 8x或x2 y 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 安徽高考 拋物線y x2的準(zhǔn)線方程是 a y 1b y 2c x 1d x 2 解析 選a y x2 x2 4y 所以拋物線的準(zhǔn)線方程是y 1 2 2014 新課標(biāo)全國卷 設(shè)f為拋物線c y2 3x的焦點(diǎn) 過f且傾斜角為30 的直線交c于a b兩點(diǎn) 則 ab 解析 選c 設(shè) af 2m bf 2n f 0 則由拋物線的定義和直角三角形知識可得 ab af bf 2m 2n 12 故選c 3 2015 廣州模擬 設(shè)拋物線y2 2px p 0 的焦點(diǎn)為f 點(diǎn)a 0 2 若線段fa的中點(diǎn)b在拋物線上 則b到該拋物線準(zhǔn)線的距離為 解析 依題意知 拋物線y2 2px p 0 的焦點(diǎn)f 0 又a 0 2 所以fa的中點(diǎn)b 1 又b在拋物線上 所以1 2p 所以答案 4 2014 上海高考 若拋物線y2 2px的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合 則該拋物線的準(zhǔn)線方程為 解析 根據(jù)橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)f 2 0 得p 4 所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x 2 答案 x 2 考點(diǎn)1拋物線的定義及其應(yīng)用 典例1 1 2014 新課標(biāo)全國卷 已知拋物線c y2 x的焦點(diǎn)為f a x0 y0 是c上一點(diǎn) af x0 則x0 a 1b 2c 4d 8 2 已知拋物線y2 2x的焦點(diǎn)是f 點(diǎn)p是拋物線上的動點(diǎn) 又有點(diǎn)a 3 2 求 pa pf 的最小值 并求出取最小值時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo) 解題提示 1 由y2 x可知 拋物線的準(zhǔn)線方程為x 從而可得a到拋物線準(zhǔn)線的距離為x0 然后利用拋物線的定義即可求得x0的值 2 利用拋物線的定義可知 pf 即為點(diǎn)p到準(zhǔn)線的距離 從而將 pa pf 的最小值轉(zhuǎn)化為p到點(diǎn)a和到準(zhǔn)線的距離之和最小問題 規(guī)范解答 1 選a 根據(jù)拋物線的定義可知 af 解之得x0 1 2 將x 3代入拋物線方程y2 2x 得y 因?yàn)?2 所以a在拋物線內(nèi)部 如圖 設(shè)拋物線上點(diǎn)p到準(zhǔn)線l x 的距離為d 由定義知 pa pf pa d 當(dāng)pa l時(shí) pa d最小 最小值為即 pa pf 的最小值為此時(shí)p點(diǎn)縱坐標(biāo)為2 代入y2 2x 得x 2 所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為 2 2 互動探究 在本例 1 中 若a點(diǎn)在x軸上方 且af的延長線交拋物線于點(diǎn)b 求b點(diǎn)的坐標(biāo) 求 aob的面積 解析 由例題可知a 1 1 f 0 所以所以直線af的方程為即4x 3y 1 0 由即 4y 1 y 1 0 所以或y 1 又因?yàn)閍在x軸上方 所以b在x軸下方 即 規(guī)律方法 1 與拋物線定義有關(guān)的兩個(gè)線段拋物線的焦半徑 焦點(diǎn)弦 2 拋物線定義的作用將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離 變式訓(xùn)練 2015 玉溪模擬 已知拋物線方程為y2 4x 直線l的方程為x y 4 0 在拋物線上有一動點(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離為d1 p到直線l的距離為d2 則d1 d2的最小值是 解析 選d 因?yàn)閽佄锞€的方程為y2 4x 所以焦點(diǎn)坐標(biāo)f 1 0 準(zhǔn)線方程為x 1 因?yàn)辄c(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離為d1 所以到準(zhǔn)線的距離為d1 1 又d1 1 pf 所以d1 d2 d1 1 d2 1 pf d2 1 焦點(diǎn)到直線的距離d 而 pf d2 d 所以d1 d2 pf d2 1 1 選d 加固訓(xùn)練 1 拋物線y 4x2上的一點(diǎn)m到焦點(diǎn)的距離為1 則點(diǎn)m的縱坐標(biāo)是 解析 選b 拋物線方程可化為x2 其準(zhǔn)線方程為y 設(shè)m x0 y0 則由拋物線的定義 可知 2 2015 濰坊模擬 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 對稱軸為y軸 拋物線上一點(diǎn)q 3 m 到焦點(diǎn)的距離是5 則拋物線的方程為 解析 設(shè)拋物線方程為x2 ay a 0 則準(zhǔn)線為y 因?yàn)閝 3 m 在拋物線上 所以9 am 而點(diǎn)q到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)q到準(zhǔn)線的距離 解得 a 2 或a 18 所以所求拋物線的方程為x2 2y 或x2 18y 答案 x2 2y或x2 18y 3 2015 天津模擬 設(shè)拋物線x2 4y的焦點(diǎn)為f 經(jīng)過點(diǎn)p 1 4 的直線l與拋物線相交于a b兩點(diǎn) 點(diǎn)p為線段ab的中點(diǎn) 則的值為 解析 如圖 設(shè)a x1 y1 b x2 y2 則 aa1 bb1 y1 1 y2 1 y1 y2 2 8 2 10 答案 10 考點(diǎn)2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì) 典例2 1 點(diǎn)m 5 3 到拋物線y ax2的準(zhǔn)線的距離為6 那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 2 2014 湖南高考 如圖 正方形abcd和正方形defg的邊長分別為a b a0 經(jīng)過c f兩點(diǎn) 則 解題提示 1 只要確定a的值 即可求出拋物線的方程 利用點(diǎn)m到拋物線準(zhǔn)線的距離即可求出a 2 根據(jù)正方形的邊長及o為ad的中點(diǎn) 求出點(diǎn)c f的坐標(biāo) 將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程求解 規(guī)范解答 1 選d 將y ax2化為x2 y 當(dāng)a 0時(shí) 準(zhǔn)線y 由已知得3 6 所以 12 所以a 當(dāng)a 0時(shí) 準(zhǔn)線y 由已知得 3 6 所以所以拋物線方程為x2 12y或x2 36y 故選d 答案 1 易錯(cuò)警示 解答本例 1 有兩點(diǎn)容易出錯(cuò) 誤將y ax2認(rèn)為是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 從而誤認(rèn)為準(zhǔn)線方程為y 易忽視對a進(jìn)行分類討論 規(guī)律方法 1 拋物線幾何性質(zhì)的確定由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向 焦點(diǎn)位置 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 從而進(jìn)一步確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程 2 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法及流程 1 方法 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法 因?yàn)槲粗獢?shù)只有p 所以只需一個(gè)條件確定p值即可 2 流程 因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式 因此求拋物線方程時(shí) 需先定位 再定量 提醒 求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式 必要時(shí)要進(jìn)行分類討論 標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為y2 mx或x2 my m 0 變式訓(xùn)練 已知拋物線關(guān)于x軸對稱 它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)o 并且經(jīng)過點(diǎn)m 2 y0 若點(diǎn)m到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3 則 om 解析 選b 由題意設(shè)拋物線方程為y2 2px p 0 則m到焦點(diǎn)的距離為所以p 2 所以y2 4x 所以y02 4 2 所以y0 所以 om 加固訓(xùn)練 1 2015 鄭州模擬 拋物線y2 4x的焦點(diǎn)f到準(zhǔn)線l的距離為 a 1b 2c 3d 4 解析 選b 該拋物線的焦點(diǎn)f 1 0 準(zhǔn)線l為 x 1 所以焦點(diǎn)f到準(zhǔn)線l的距離為2 2 設(shè)拋物線y2 mx的準(zhǔn)線與直線x 1的距離為3 則拋物線的方程為 解析 當(dāng)m 0時(shí) 準(zhǔn)線方程為x 2 所以m 8 此時(shí)拋物線方程為y2 8x 當(dāng)m 0時(shí) 準(zhǔn)線方程為x 4 所以m 16 此時(shí)拋物線方程為y2 16x 所以所求拋物線方程為y2 8x或y2 16x 答案 y2 8x或y2 16x 3 2015 煙臺模擬 對于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線 給出下列條件 焦點(diǎn)在y軸上 過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為4 拋物線上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6 能滿足拋物線y2 8x的條件是 填序號 解析 錯(cuò) 拋物線的焦點(diǎn)在x軸上 設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線為x my 2 代入y2 8x 得y2 8my 16 0 設(shè)兩交點(diǎn)為 x1 y1 x2 y2 則y1y2 16 所以x1x2 4 故 正確 錯(cuò) 拋物線上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線x 2的距離 即d 2 2 4 答案 考點(diǎn)3直線與拋物線的綜合問題知 考情直線與拋物線的綜合問題是解析幾何的重要內(nèi)容 也是高考命題的亮點(diǎn) 題型以解答題為主 有時(shí)也會以選擇題 填空題的形式出現(xiàn) 重點(diǎn)考查拋物線的定義 標(biāo)準(zhǔn)方程 幾何性質(zhì) 直線與拋物線的位置關(guān)系以及學(xué)生的運(yùn)算能力 分析問題 解決問題的能力 明 角度命題角度1 直線與拋物線交點(diǎn)問題 典例3 2014 遼寧高考 已知點(diǎn)a 2 3 在拋物線c y2 2px的準(zhǔn)線上 過點(diǎn)a的直線與c在第一象限相切于點(diǎn)b 記c的焦點(diǎn)為f 則直線bf的斜率為 解題提示 由拋物線的定義知p的值 也就確定了拋物線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo) 進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)b的坐標(biāo) 利用直線的斜率公式求出直線bf的斜率 規(guī)范解答 選d 根據(jù)已知條件得 2 所以p 4 所以拋物線方程為y2 8x 其焦點(diǎn)f 2 0 設(shè)切點(diǎn)b x0 y0 由題意 在第一象限內(nèi)y2 8x 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線的斜率為kab 而切線的斜率也可以為kab 又因?yàn)榍悬c(diǎn)b x0 y0 在曲線上 所以y02 8x0 由上述條件解得x0 y0 8 即b 8 8 所以直線bf的斜率為 命題角度2 與拋物線弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題 典例4 2014 浙江高考 已知 abp的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線c x2 4y上 f為拋物線c的焦點(diǎn) 點(diǎn)m為ab的中點(diǎn) 1 若 pf 3 求點(diǎn)m的坐標(biāo) 2 求 abp面積的最大值 解題提示 1 根據(jù)拋物線的定義 利用條件 pf 3 建立方程關(guān)系即可求點(diǎn)m的坐標(biāo) 2 設(shè)直線ab的方程為y kx m 利用直線和拋物線聯(lián)立結(jié)合弦長公式以及點(diǎn)到直線的距離公式 利用導(dǎo)數(shù)即可求出三角形面積的最值 規(guī)范解答 由題意知焦點(diǎn)f 0 1 準(zhǔn)線方程為y 1 設(shè)p x0 y0 1 由拋物線的定義可知 pf y0 1 解得y0 2 2 由題意設(shè)直線ab的方程為y kx m a x1 y1 b x2 y2 由得x2 4kx 4m 0 于是 16k2 16m 0 x1 x2 4k x1 x2 4m 即ab的中點(diǎn)m的坐標(biāo)為 2k 2k2 m 由得 x0 1 y0 3 2k 2k2 m 1 解得 所以s abp 4s abf 則f m 9m2 10m 1 令f m 9m2 10m 1 0 悟 技法解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的常用方法 1 直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓 雙曲線的位置關(guān)系類似 一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系 2 有關(guān)直線與拋物線的弦長問題 要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn) 若過拋物線的焦點(diǎn) 可直接使用公式 ab x1 x2 p 若不過焦點(diǎn) 則必須用一般弦長公式 3 涉及拋物線的弦長 中點(diǎn) 距離等相關(guān)問題時(shí) 一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用 設(shè)而不求 整體代入 等解法 提醒 涉及弦的中點(diǎn) 斜率時(shí) 一般用 點(diǎn)差法 求解 通 一類1 2015 長沙模擬 拋物線c y2 2px p 0 的焦點(diǎn)為f m是拋物線c上的點(diǎn) 若 ofm的外接圓與拋物線c的準(zhǔn)線相切 且該圓面積為36 則p a 2b 4c 6d 8 解析 選d 因?yàn)?ofm的外接圓的圓心在線段of的中垂線上 所以圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為由圓的面積公式得p 8 2 2015 杭州模擬 拋物線y2 x的焦點(diǎn)為f 點(diǎn)p x y 為該拋物線上的動點(diǎn) 又點(diǎn)a 0 則的最小值是 解析 選c 點(diǎn)a是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn) 過p作拋物線準(zhǔn)線的垂線 記垂足為b 則由拋物線定義可得當(dāng) pab最小時(shí) 的值最小 此時(shí) 直線pa與拋物線相切 可求得直線pa的斜率k 1 所以 pab 45 的值最小為 3 2015 沈陽模擬 已知過拋物線y2 2px p 0 的焦點(diǎn) 斜率為的直線交拋物線于a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 兩點(diǎn) 且 ab 9 1 求該拋物線的方程 2 o為坐標(biāo)原點(diǎn) c為拋物線上一點(diǎn) 若求 的值 解析 1 由題意得直線ab的方程為與y2 2px聯(lián)立 從而有4x2 5px p2 0 所以x1 x2 由拋物線定義得 ab x1 x2 p p 9 所以p 4 從而該拋物線的方程為y2 8x 2 由 1