陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 等比數(shù)列課件 北師大版必修5.ppt

等比數(shù)列 國際象棋起源于印度 關(guān)于國際象棋有這樣一個傳說 國王要獎勵國際象棋的發(fā)明者 問他有什么要求 發(fā)明者說 請在棋盤上的第一個格子上放1粒麥子 第二個格子上放2粒麥子 第三個格子上放4粒麥子 第四個格子上放8粒麥子 依次類推 直到第64個格子放滿為止 國王慷慨地答應(yīng)了他 你認(rèn)為國王有能力滿足上述要求嗎 左圖為國際象棋的棋盤 棋盤有8 8 64格 12345678 12345678 情景展示 1 1844 6744 0737 0955 1615 給你一張足夠大的紙 假設(shè)其厚度為0 1毫米 那么當(dāng)你把這張紙對折了51次的時候 所達(dá)到的厚度有多少 猜一猜 把一張紙折疊51次 得到的大約是地球與太陽之間的距離 曰 一尺之棰 日取其半 萬世不竭 莊子 意思 一尺長的木棒 每日取其一半 永遠(yuǎn)也取不完 如果將 一尺之棰 視為一份 則每日剩下的部分依次為 某種汽車購買時的價格是36萬元 每年的折舊率是10 求這輛車各年開始時的價格 單位 萬元 36 36 0 9 36 0 92 36 0 93 各年汽車的價格組成數(shù)列 等比數(shù)列 等比數(shù)列 回憶 一般地 如果一個數(shù)列從第2項起 每一項與前一項的差等于同一個常數(shù) 那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差 用d表示 比較下列數(shù)列 共同特點 從第2項起 每一項與前一項的比都等于同一常數(shù) 1 2 3 9 92 93 94 95 96 97 36 36 0 9 36 0 92 36 0 93 4 等比數(shù)列定義 一般的 如果一個數(shù)列從第2項起 每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù) 這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列 這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比 公比通常用字母q表示 或 其數(shù)學(xué)表達(dá)式 q 0 問 如果an 1 anq n n q為常數(shù) 那么數(shù)列 an 是否是等比數(shù)列 為什么 答 不一定是等比數(shù)列 這是因為 1 若an 0 等式an 1 anq對n n恒成立 但從第二項起 每一項與它前一項的比就沒有意義 故等比數(shù)列中任何一項都不能為零 2 若q 0 等式an 1 anq 對n n仍恒成立 此時數(shù)列 an 從第二項起均為零 顯然也不符合等比數(shù)列的定義 故等比數(shù)列中的公比q不能為零 所以 如果an 1 anq n n q為常數(shù) 數(shù)列 an 不一定是等比數(shù)列 如果一個數(shù)列從第2項起 每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù) 那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差 用d表示 如果一個數(shù)列從第2項起 每一項與它前一項的比都等于同一個非0常數(shù) 那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列 這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比 用q表示 注意 1 公比是等比數(shù)列 從第2項起 每一項與前一項的比 不能顛倒 2 對于一個給定的等比數(shù)列 它的公比是同一個非零常數(shù) 1 判別下列數(shù)列是否為等比數(shù)列 2 1 2 2 4 4 8 9 6 3 2 2 2 2 4 1 0 1 0 練習(xí) 是 不是 是 不是 q q 思考 等比數(shù)列中 1 公比q為什么不能等于 首項能等于 嗎 2 公比q 1時是什么數(shù)列 3 q 0數(shù)列遞增嗎 q 0數(shù)列遞減嗎 說明 1 公比q 0 則an 0 n n 2 既是等差又是等比數(shù)列為非零常數(shù)列 3 q 1 常數(shù)列 q 0 擺動數(shù)列 例1 求出下列等比數(shù)列中的未知項 1 2 a 8 2 4 b c 解 解得a 4或a 4 如果在a與b中間插入一個數(shù)g 使a g b成等比數(shù)列 那么g叫做a與b的等比中項 等比中項 觀察如下的兩個數(shù)之間 插入一個什么數(shù)后者三個數(shù)就會成為一個等比數(shù)列 1 1 9 2 1 4 3 12 3 4 1 1 3 2 6 1 小結(jié) 等比數(shù)列的概念 方程的思想 類比 知識內(nèi)容 研究方法 思想方法 通項公式 數(shù)學(xué)式子表示 定義 等比數(shù)列 等差數(shù)列 名稱 如果一個數(shù)列從第2項起 每一項與前一項的差等于同一個常數(shù) 那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差 用d表示 an 1 an d an a1 n 1 d 如果一個數(shù)列從第2項起 每一項與它前一項的比都等于同一個常數(shù) 那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列 這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比 用q表示 當(dāng)n 1時 等比數(shù)列通項公式 如果等比數(shù)列 an 的首項是a1 公比是q 那么這個等比數(shù)列的第n項an如何表示 猜一猜 想一想 證明 將等式左右兩邊分別相乘可得 化簡得 即 此式對n 1也成立 疊乘法推導(dǎo) 一般形式 等比數(shù)列的通項公式練習(xí)1 求下列等比數(shù)列的第4 5項 2 1 2 2 4 4 8 1 5 15 45 解得 因此 例1在等比數(shù)列 an 中 已知求an 解 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q 由題意得 變形 等比數(shù)列 an 中 a1 2 q 3 求a8與an 變形2 等比數(shù)列 an 中 a1 2 a9 32 求q 變形 等比數(shù)列 an 中 a1 a3 10 a4 a6 5 4 求q的值 變形 等比數(shù)列 an 中 a3 a6 36 a4 a7 18 an 1 2 求n 例題講解 世界雜交水稻之父 袁隆平 從1976年至1999年在我國累計推廣種植雜交水稻35億多畝 增產(chǎn)稻谷3500億公斤 年增稻谷可養(yǎng)活6000萬人口 西方世界稱他的雜交稻是 東方魔稻 并認(rèn)為是解決下個世紀(jì)世界性饑餓問題的法寶 例2袁隆平在培育某水稻新品種時 培育出第一代120粒種子 并且從第一代起 由以后各代的每一粒種子都可以得到下一代的120粒種子 到第5代時大約可以得到這個新品種的種子多少粒 保留兩位有效數(shù)字 由于每代的種子數(shù)是它的前一代種子數(shù)的120倍 因此 逐代的種子數(shù)組成等比數(shù)列 記為 答 到第5代大約可以得到這種新品種的種子2 5 1010粒 解 練一練 某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中 每半個小時分裂一次 一個分裂為兩個 經(jīng)過 小時 這種細(xì)菌由一個可繁殖成 個 4 2 已知等比數(shù)列的通項公式 求首項為 公比為 256 3 在等比數(shù)列中 已知首項為 末項為 公比為 則項數(shù)等于 10 an 1 an d d叫公差 q叫公比 an 1 an d an 1 anq an a1 n 1 d an a1qn 1 an am n m d an amqn m 歸納 例題講解 例 已知 an bn 是項數(shù)相同的等比數(shù)列 試證 anbn 是等比數(shù)列 變形1 已知 an bn 為等比數(shù)列 c是非零常數(shù) 則 ca