高中數(shù)學(xué) 探究導(dǎo)學(xué)課型 第一章 集合與函數(shù)的概念 1.2.2 函數(shù)的表示法 第2課時(shí) 分段函數(shù)及映射課件 新人教版必修1.ppt

第2課時(shí)分段函數(shù)及映射 自主預(yù)習(xí) 主題1 分段函數(shù)某市空調(diào)公共汽車的票價(jià)按下列規(guī)則制定 1 5千米以內(nèi) 含5千米 票價(jià)2元 2 5千米以上 每增加5千米 票價(jià)增加1元 不足5千米的按5千米計(jì)算 已知兩個(gè)相鄰的公共汽車站間相距1千米 沿途 包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站 有11個(gè)汽車站 請(qǐng)根據(jù)以上內(nèi)容 回答下面的問(wèn)題 1 從起點(diǎn)站出發(fā) 公共汽車的行程x 千米 與票價(jià)y 元 間的函數(shù)關(guān)系是什么 提示 當(dāng)0 x 5時(shí) y 2 當(dāng)5 x 10時(shí) y 3 故y 2 這種函數(shù)關(guān)系的特征是什么 用文字語(yǔ)言描述 函數(shù)式是 呈現(xiàn)的 分段函數(shù)的定義 分段 在函數(shù)的定義域內(nèi) 對(duì)于自變量x的 不同取值范圍 函數(shù)有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù) 主題2 映射觀察下面的對(duì)應(yīng) 它們有何共同特點(diǎn) 用文字語(yǔ)言描述 對(duì)于集合a中 一個(gè)元素 在集合b中都有 的元素與之對(duì)應(yīng) 用符號(hào)語(yǔ)言描述 任何 唯一 f a b 映射的定義 設(shè)a b是兩個(gè)非空的集合 如果按某一 個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f 使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)元素 x 在集合b中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng) 那么就 稱對(duì)應(yīng)f a b為從集合a到集合b的一個(gè)映射 深度思考 結(jié)合教材p22例7你認(rèn)為怎樣判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否是映射 第一步 第二步 集合a中的每一元素 在集合b中是否都有元 素與之對(duì)應(yīng) 集合a中任一元素在集合b中對(duì)應(yīng)唯一元素 預(yù)習(xí)小測(cè) 1 下列對(duì)應(yīng)是從集合a到集合b映射的是 a n b n f x x a n b n f y x 1 a b 1 f x x2 a 1 2 3 4 5 b 1 7 17 31 49 f y 2x2 1 a b c d 解析 選c a中元素0在集合b中無(wú)元素與之對(duì)應(yīng) 故不是映射 a中元素1在b中無(wú)元素與之對(duì)應(yīng) 故不是映射 符合定義 是映射 中x 1 2 3 4 5時(shí) y分別是1 7 17 31 49 符合定義 是映射 2 已知f x y 是從集合a到集合b的映射 在集合b中與集合a中元素 1 2 對(duì)應(yīng)的元素是 a 1 2 b c 2 1 d 解析 選b 因?yàn)榧蟖中的元素 x y 與集合b中的元素對(duì)應(yīng) 故a中元素 1 2 與b中元素對(duì)應(yīng) 3 已知f x 則f f 2 解析 因?yàn)? 1 所以f 2 4 3 1 1 所以f f 2 f 1 1 1 2 答案 2 4 函數(shù)f x 的定義域?yàn)?解析 分段函數(shù)的定義域?yàn)楦鞫味x域的并集 即定義域?yàn)?0 1 1 2 2 0 答案 0 5 已知a 1 2 3 9 b r 從集合a到集合b的映射f x 1 與a中元素1相對(duì)應(yīng)的b中的元素是 2 與b中元素相對(duì)應(yīng)的a中的元素是 解析 1 因?yàn)閤 1 所以相對(duì)應(yīng)b中的元素為 2 由得x 4 答案 1 2 4 6 已知f x 且f a 4 求a的值 解析 當(dāng)a 0時(shí) 由2 a 4 得a 2 當(dāng)a 0時(shí) 由a 1 4 得a 3 所以a 2或3 互動(dòng)探究 1 分段函數(shù)的定義域 值域與每段的定義域 值域有何關(guān)系 提示 分段函數(shù)的定義域是每段定義域的并集 分段函數(shù)的值域是每段值域的并集 2 從集合a到集合b的映射f a b與從集合b到集合a的映射f b a是不是相同映射 提示 映射f a b與映射f b a不是相同映射 3 映射一定是函數(shù)嗎 函數(shù)一定是映射嗎 提示 當(dāng)集合a b為非空數(shù)集時(shí) 映射就是函數(shù) 否則不是 但函數(shù)都是映射 探究總結(jié) 知識(shí)歸納 方法總結(jié) 映射的判斷方法 1 在a中取元素的任意性 2 在b中對(duì)應(yīng)元素的唯一性 注意事項(xiàng) 1 分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù) 而不是幾個(gè)函數(shù) 2 作分段函數(shù)圖象時(shí)要注意銜接點(diǎn)的虛實(shí) 題型探究 類型一 分段函數(shù)的求值 典例1 2016 吉林高一檢測(cè) 函數(shù)f x 則的值為 解題指南 先求 再求 解析 f 3 32 3 3 3 所以所以答案 延伸探究 1 改變問(wèn)法 本例條件不變 求f a 的值 解析 當(dāng)a 1時(shí) f a 1 a2 當(dāng)a 1時(shí) f a a2 a 3 2 增加條件 本例若增加條件f a f 1 3 求a的值 解析 因?yàn)?11時(shí) f a f 1 a2 a 3 3 即a2 a 6 0 所以a 3或a 2 舍 所以a 3 規(guī)律總結(jié) 1 求分段函數(shù)值的方法先確定要求值的自變量屬于哪一段 然后代入該段的解析式求值 直到求出值為止 特別地 當(dāng)出現(xiàn)f f x0 的形式時(shí) 應(yīng)從內(nèi)到外依次求值 2 已知函數(shù)值求字母的值的四個(gè)步驟 1 討論 對(duì)字母的取值范圍分類討論 2 代入 由不同取值范圍 代入對(duì)應(yīng)的解析式中 3 求解 通過(guò)解方程求出字母的值 4 檢驗(yàn) 檢驗(yàn)所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi) 鞏固訓(xùn)練 2016 廣州高一檢測(cè) 已知f x 則f 2 f 2 的值為 a 8b 5c 4d 2 解析 選b f 2 22 4 f 2 f 2 1 f 1 f 1 1 f 0 f 0 1 f 1 1 所以f 2 f 2 4 1 5 類型二 分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用問(wèn)題 典例2 1 2016 周口高一檢測(cè) 下列圖象是函數(shù)y 的圖象的是 2 提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況 在一般情況下 大橋上的車流速度v 單位 千米 小時(shí) 是車流密度x 單位 輛 千米 的函數(shù) 當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛 千米時(shí) 造成堵塞 此時(shí)車流速度為0 當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛 千米時(shí) 車流速度為60千米 小時(shí) 研究表明 當(dāng)20 x 200時(shí) 車流速度v是車流密度x的一次函數(shù) 當(dāng)0 x 200時(shí) 求函數(shù)v x 的表達(dá)式 解題指南 1 根據(jù)當(dāng)x 0時(shí) y x2 為拋物線的一段 當(dāng)x 0時(shí) y x 1為射線判斷 2 分0 x 20和20 x 200兩種情況 分別求解析式 最后分段表示 解析 1 選c 當(dāng)x 0時(shí) y x2 為拋物線y x2在y軸左側(cè)的部分 當(dāng)x 0時(shí) y x 1 為射線且與y軸交于 0 1 2 由題意 當(dāng)0 x 20時(shí) v x 60 當(dāng)20 x 200時(shí) 設(shè)v x ax b 故函數(shù)v x 的表達(dá)式為 規(guī)律總結(jié) 1 作分段函數(shù)圖象的方法作分段函數(shù)的圖象時(shí) 分別作出各段的圖象 在作每一段圖象時(shí) 先不考慮范圍的限制 作出其圖象 再保留對(duì)應(yīng)范圍內(nèi)的一段圖象即可 作圖時(shí)要特別注意銜接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí) 保證不重不漏 2 利用分段函數(shù)求解實(shí)際應(yīng)用題的策略 明確條件 將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言 建立恰當(dāng)?shù)姆侄魏瘮?shù)模型解決問(wèn)題 鞏固訓(xùn)練 2015 松原高一檢測(cè) 水 這個(gè)曾經(jīng)被人認(rèn)為取之不盡 用之不竭的資源 竟然到了嚴(yán)重制約我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展 影響人民生活的程度 因?yàn)槿彼?每年給我國(guó)工業(yè)造成的損失達(dá)2000億元 給我國(guó)農(nóng)業(yè)造成的損失達(dá)1500億元 嚴(yán)重缺水困擾著全國(guó)三分之二的城市 為了節(jié)約用水 某市打算出臺(tái)一項(xiàng)水費(fèi)政策 規(guī)定每季度每人用水量不超過(guò)5噸時(shí) 每噸水費(fèi)1 2元 若超過(guò)5噸而不超過(guò)6噸時(shí) 超過(guò)部分的水費(fèi)按原價(jià)的200 收費(fèi) 若超過(guò)6噸而不超過(guò)7噸時(shí) 超過(guò)部分的水費(fèi)按原價(jià)的400 收費(fèi) 如果某人本季度實(shí)際用水量為x x 7 噸 試計(jì)算本季度他應(yīng)交的水費(fèi)y 單位 元 解析 由題意知 當(dāng)0 x 5時(shí) y 1 2x 當(dāng)5 x 6時(shí) y 1 2 5 x 5 1 2 2 2 4x 6 當(dāng)6 x 7時(shí) y 1 2 5 6 5 1 2 2 x 6 1 2 4 4 8x 20 4 所以 y 類型三 映射的概念及應(yīng)用 典例3 1 2016 重慶高一檢測(cè) 設(shè)集合a x 1 x 2 b y 1 y 4 則下述對(duì)應(yīng)關(guān)系f中 不能構(gòu)成a到b的映射的是 a f x y x2b f x y 3x 2c f x y x 4d f x y 4 x2 2 2016 吉安高一檢測(cè) 已知集合a b r x a y b f x y ax b 若6和9在f作用下分別與4和10對(duì)應(yīng) 則19在f作用下與對(duì)應(yīng) 解題指南 1 根據(jù)映射的定義 判斷a中的每一個(gè)元素在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下 在集合b中是否都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng) 2 根據(jù)6和9在f作用下與4和10對(duì)應(yīng) 建立關(guān)于a b的方程組 求出y ax b的解析式 再將x 19代入可解y的值 解析 1 選d f x y x2 1 4 f x y 3x 2 1 4 f x y x 4 2 3 1 4 f x y 4 x2 0 3 2 由題意可得解得所以y 2x 8 當(dāng)x 19時(shí) y 30 答案 30 規(guī)律總結(jié) 判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是不是映射的方法判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是不是映射 看兩點(diǎn) 1 任意性 集合a中任一元素在b中都有元素與之對(duì)應(yīng) 2 唯一性 對(duì)應(yīng)應(yīng)是多對(duì)一或一對(duì)一 鞏固訓(xùn)練 2016 惠陽(yáng)高一檢測(cè) 下列分別為集合a到集合b的對(duì)應(yīng) 其中 是從a到b的映射的是 a 1 2 b 1 2 3 c 1 2 4 d 1 2 3 4 解析 選a 映射關(guān)系中可以是一對(duì)一的關(guān)系 可以是多對(duì)一的關(guān)系 不能是一對(duì)多的關(guān)系 因此 1 2 構(gòu)成映射關(guān)系 鞏固訓(xùn)練 a b為實(shí)數(shù) 集合a b a 0 f x 2x表示把集合a中的元素x映射到集合b中為2x 求a b的值 解析 由題意 a中的元素1只能對(duì)應(yīng)集合b中的a 故a 2 所以b 2 0 而a中的可能對(duì)應(yīng)b中的2或0 當(dāng)對(duì)應(yīng)2時(shí) 1 此時(shí)a中有兩個(gè)相同元素 不合題意 當(dāng)對(duì)應(yīng)0時(shí) 應(yīng)有 0 則b 0 此時(shí)a 0 1 符合題意 綜上 a 2 b 0 a b 2 拓展類型 映射與函數(shù)的關(guān)系 典例 判斷下列對(duì)應(yīng)是不是從集合a到集合b的映射 是不是從集合a到集合b的函數(shù) 1 a n b n 對(duì)應(yīng)關(guān)系f x x 3 2 a 平面內(nèi)的圓 b 平面內(nèi)的矩形 對(duì)應(yīng)關(guān)系f 作圓的內(nèi)接矩形 3 a 高一 1 班的男生 b r 對(duì)應(yīng)關(guān)系f 每個(gè)男生對(duì)應(yīng)自己的身高 4 a x 0 x 2 b y 0 y 6 對(duì)應(yīng)關(guān)系f x y x 解題指南 根據(jù)映射與函數(shù)的概念 對(duì)每一小題逐一判斷 解析 1 a中元素3在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下為0 而0 b 故不是映射 也不是函數(shù) 2 因?yàn)橐粋€(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接矩形 即集合a中任何一個(gè)元素在