高中數(shù)學(xué) 1.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)課件 新人教A版選修22.ppt

1 3 2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 1 掌握極值的概念 了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件 2 會(huì)用導(dǎo)數(shù)求一些函數(shù)的極大值和極小值 本節(jié)重點(diǎn) 函數(shù)極值的概念與求法 本節(jié)難點(diǎn) 函數(shù)極值的求法 1 曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0 曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正 右側(cè)為負(fù) 曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù) 右側(cè)為正 據(jù)此得到可導(dǎo)函數(shù)極值的概念 對(duì)此概念的幾點(diǎn)說(shuō)明如下 1 函數(shù)f x 在點(diǎn)x0及其附近有定義 是指在點(diǎn)x0及其左右鄰域都有意義 2 極值是一個(gè)局部概念 是僅對(duì)某一點(diǎn)的左右兩側(cè)鄰域而言的 3 極值總是函數(shù)f x 定義域的某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)的點(diǎn) 因而端點(diǎn)絕不是函數(shù)的極值點(diǎn) 4 連續(xù)函數(shù)f x 在其定義域上的極值點(diǎn)可能不止一個(gè) 也可能沒(méi)有 函數(shù)的極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系 函數(shù)的一個(gè)極小值也不一定比極大值小 2 求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 1 確定函數(shù)的定義域 2 求導(dǎo)數(shù)f x 3 求方程f x 0的全部實(shí)根 4 檢查f x 在f x 0的根左 右兩側(cè)值的符號(hào) 如果左正右負(fù) 或左負(fù)右正 那么f x 在這個(gè)根處取得極大值 或極小值 3 極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的關(guān)系 1 導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn) 如函數(shù)f x x3在x 0處的導(dǎo)數(shù)是0 但它不是極值點(diǎn) 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù) 極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)必為0 因此對(duì)于可導(dǎo)函數(shù) 導(dǎo)數(shù)為0是點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要而不充分條件 2 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn) 如函數(shù)f x x 在x 0處 左側(cè) x 0時(shí) f x 1 0 右側(cè) x 0時(shí) f x 1 0 當(dāng)x 0時(shí)f x 0是f x 的極小值點(diǎn) 但f 0 不存在 1 極值點(diǎn)與極值 1 極小值與極小值點(diǎn) 對(duì)可導(dǎo)函數(shù) 如圖 若a為極小值點(diǎn) f a 為極小值 則必須滿足 f a f x0 f x0 表示f x 在x a附近的函數(shù)值 f a 在x a附近的左側(cè)f x 0 函數(shù)單調(diào)遞 在x a附近的右側(cè)f x 0 函數(shù)單調(diào)遞 0 減 增 2 極大值與極大值點(diǎn) 對(duì)可導(dǎo)函數(shù) 如圖 若b為極大值點(diǎn) f b 為極大值 則必須滿足 f b f x0 f x0 表示f x 在x b附近的函數(shù)值 f b 在x b附近的左側(cè) f x 0 函數(shù)單調(diào)增 在x b附近的右側(cè) f x 0 函數(shù)單調(diào) 極小值點(diǎn) 極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn) 極大值和極小值統(tǒng)稱為極值 極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況 刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì) 0 減 2 求可導(dǎo)函數(shù)y f x 的極值的方法是 解方程f x 0 當(dāng)f x0 0時(shí) 1 如果在x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那么f x0 是極大值 2 如果在x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那么f x0 是極小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 例1 判斷函數(shù)y x3在x 0處能否取得極值 分析 可由極值的定義來(lái)判斷 也可由導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷 解析 解法1 當(dāng)x 0時(shí) f x 0 在x 0的附近區(qū)域內(nèi) f x 有正有負(fù) 不存在f 0 f x 或f 0 0 當(dāng)y 0時(shí) f x 0 因此y x3在 上是增函數(shù) 因?yàn)閱握{(diào)函數(shù)沒(méi)有極值 所以y x3在x 0處取不到極值 點(diǎn)評(píng) 1 f x0 0是函數(shù)y f x 在x x0處有極值的必要條件而不是充分條件 如果再加上x0附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反 才能判定在x x0處取得極值 2 在區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)是沒(méi)有極值的 像這樣的重點(diǎn)結(jié)論可記熟 判斷函數(shù)y ax b a 0 在其定義域內(nèi)是否存在極值 例2 求下列函數(shù)的極值 1 y x2 7x 6 2 y x3 27x 分析 求函數(shù)極值需求f x 0的解及f x f x 的變化情況 當(dāng)x 3時(shí) y有極大值 且y極大值 54 當(dāng)x 3時(shí) y有極小值 且y極小值 54 點(diǎn)評(píng) 1 判斷可導(dǎo)函數(shù)極值的基本方法 設(shè)函數(shù)y f x 在點(diǎn)x0及其附近可導(dǎo) 且f x0 0 1 如果f x 的符號(hào)在點(diǎn)x0的左右由正變負(fù) 則f x0 為函數(shù)f x 的極大值 2 如果f x 的符號(hào)在點(diǎn)x0的左右由負(fù)變正 則f x0 為函數(shù)f x 的極小值 3 如果f x 的符號(hào)在點(diǎn)x0的左右不變號(hào) 則f x0 不為函數(shù)f x 的極值 2 求可導(dǎo)函數(shù)極值的基本步驟 1 確定函數(shù)的定義域 2 求導(dǎo)數(shù)f x 3 求方程f x 0的全部實(shí)根 4 檢查f x 在方程f x 0的根左 右兩側(cè)值的符號(hào) 如果左正右負(fù) 或左負(fù)右正 那么f x 在這個(gè)根處取得極大值 或極小值 總之 求可導(dǎo)函數(shù)的極值的核心是 解方程f x 0 列表 模擬圖象 確定極大值或極小值 求y 4x3 x2 2x的極值點(diǎn)和相應(yīng)的極值 解析 y 12x2 2x 2 2 6x2 x 1 2 3x 1 2x 1 例3 已知f x ax5 bx3 c在x 1處的極大值為4 極小值為0 試確定a b c的值 分析 本題的關(guān)鍵是理解 f x 在x 1處的極大值為4 極小值為0 的含義 即x 1是方程f x 0的兩個(gè)根且在根x 1處f x 取值左右異號(hào) 解析 f x 5ax4 3bx2 x2 5ax2 3b 由題意 f x 0應(yīng)有根x 1 故5a 3b 于是f x 5ax2 x2 1 1 當(dāng)a 0時(shí) 點(diǎn)評(píng) 緊扣導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系對(duì)題目語(yǔ)言進(jìn)行恰當(dāng)合理的翻譯 轉(zhuǎn)化是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵 函數(shù)f x x3 ax2 bx a2 在x 1時(shí)有極值10 則a b的值為 a a 3 b 3 或a 4 b 11b a 4 b 1 或a 4 b 11c a 1 b 5d 以上都不正確 答案 d 解析 f x 3x2 2ax b x 1是函數(shù)f x 的極值點(diǎn) 且在x 1處的極值為10 f 1 3 2a b 0 f 1 1 a b a2 10 當(dāng)a 3 b 3時(shí)f x 3x2 6x 3 3 x 1 2當(dāng)x 1時(shí) f x 0當(dāng)x 1時(shí) f x 0 當(dāng)x 1時(shí)函數(shù)不存在極值 當(dāng)a 4 b 11時(shí)符合題意 故應(yīng)選d 例4 求函數(shù)f x x3 3x2 2在 a 1 a 1 內(nèi)的極值 a 0 解析 由f x x3 3x2 2得f x 3x x 2 令f x 0得x 0或x 2 當(dāng)x變化時(shí) f x f x 的變化情況如下表 由此可得 當(dāng)0 a 1時(shí) f x 在 a 1 a 1 內(nèi)有極大值f 0 2 無(wú)極小值 當(dāng)a 1時(shí) f x 在 a 1 a 1 內(nèi)無(wú)極值 當(dāng)1 a 3時(shí) f x 在 a 1 a 1 內(nèi)有極小值f 2 6 無(wú)極大值 當(dāng)a 3時(shí) f x 在 a 1 a 1 內(nèi)無(wú)極值 綜上得 當(dāng)0 a 1時(shí) f x 有極大值 2 無(wú)極小值 當(dāng)1 a 3時(shí) f x 有極小值 6 無(wú)極大值 當(dāng)a 1或a 3時(shí) f x 無(wú)極值 點(diǎn)評(píng) 判斷函數(shù)極值點(diǎn)的注意事項(xiàng) 1 函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部 區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn) 2 若f x 在 a b 內(nèi)有極值 那么f x 在 a b 內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù) 即在區(qū)間 a b 上的單調(diào)函數(shù)沒(méi)有極值 3 導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn) 如f x x 在x 0處不可導(dǎo) 但由圖象結(jié)合極小值定義知f x x 在x 0處取極小值 4 在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)可能有多個(gè)極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn) 且極大值不一定比極小值大 5 在討論可導(dǎo)函數(shù)f x 在定義域內(nèi)的極值時(shí) 若方程f x 0的實(shí)數(shù)根較多時(shí) 應(yīng)注意使用表格 使極值點(diǎn)的確定一目了然 6 極值情況較復(fù)雜時(shí) 注意分類討論 1 當(dāng)cos 0時(shí) 判斷函數(shù)f x 是否有極值 2 要使函數(shù)f x 的極小值大于零 求參數(shù) 的取值范圍 3 若對(duì) 2 中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù) 函數(shù)f x 在區(qū)間 2a 1 a 內(nèi)都是增函數(shù) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 分析 f x 是否有極值 需研究是否存在x0點(diǎn) 使f x0 0且在x0左 右f x 的符號(hào)相反 求參變量范圍注意其他條件 當(dāng)x變化時(shí) f x 的符號(hào)及f x 的變化情況如下表 點(diǎn)評(píng) 本例主要考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值 解不等式等基本知識(shí) 要注意分析題目 培養(yǎng)綜合分析和解決問(wèn)題的能力 2009 陜西文 20 已知函數(shù)f x x3 3ax 1 a 0 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間 2 若f x 在x 1處取得極大值 直線y m與y f x 的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn) 求m的取值范圍 分析 本小題主要考查函數(shù) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí) 考查分類整合思想 推理和運(yùn)算能力 解析 1 f x 3x2 3a 3 x2 a 當(dāng)a0 當(dāng)a 0時(shí) f x 的單調(diào)增區(qū)間為 f x x3 3x 1 f x 3x2 3 由f x 0解得x1 1 x2 1 由 1 中f x 的單調(diào)性可知 f x 在x 1處取得極大值f 1 1 在x 1處取得極小值f 1 3 直線y m與函數(shù)y f x 的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn) 又f 3 191 結(jié)合f x 的單調(diào)性可知 m的取值范圍是 3 1 一 選擇題1 若函數(shù)y f x 是定義在r上的可導(dǎo)函數(shù) 則f x0 0是x0為函數(shù)y f x 的極值點(diǎn)的 a 充分不必要條件b 必要不充分條件c 充要條件d 既不充分也不必要條件 答案 b 解析 如y x3 y 3x2 y x 0 0 但x 0不是函數(shù)y x3的極值點(diǎn) 2 函數(shù)y x3 1的極大值是 a 1b 0c 2d 不存在 答案 d 解析 y 3x2 0在r上恒成立 函數(shù)y x3 1在r上是單調(diào)增函數(shù) 函數(shù)y x3 1無(wú)極值 3 三次函數(shù)當(dāng)x 1時(shí) 有極大值4 當(dāng)x 3時(shí) 有極小值0 且函數(shù)過(guò)原點(diǎn) 則此函數(shù)是 a y x3 6x2 9xb y x3 6x2 9xc y x3 6x2 9xd y x3 6x2 9x 答案 b 解析 適合題意的函數(shù)滿足f 1 4 排除a c d 二 填空題4 若函數(shù)f x x3 ax在r上有兩個(gè)極值點(diǎn) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 答案 a 0 解析 f x 3x2 a由題設(shè)條件知f x 0應(yīng)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根 a 0 5 若x 2是函數(shù)f x x x m 2的極大值點(diǎn) 則函數(shù)f x 的極大值為 答案 32 解析 f x x m 2 2x x m 3x2 4mx m2 x m 3x m 三 解答題6 求下列函數(shù)的極值 1