量子博弈論及其應(yīng)用.doc

第 22 卷第 12 期2003 年 12 月大 學(xué) 物 理COLL E GE P H YSICSVol . 22 No . 12Dec. 2003專論量子博弈論及其應(yīng)用威1 ,趙紅敏2 ,林家逖1李(11 天津大學(xué) 應(yīng)用物理系 ,天津 300072 ;21 北京交通大學(xué) 理學(xué)院 ,北京 100044)摘要 :介紹了量子博弈理論及與經(jīng)典博弈理論的關(guān)系 ,指出了量子博弈理論的優(yōu)越性 ,及對現(xiàn)實物理世界的意義 .關(guān)鍵詞 :量子博弈論 ;量子策略 ;量子物理中圖分類號 :O 413 . 1文獻標(biāo)識碼 :A文章編號 :100020712 (2003) 1220003206玩家無論是想把他的決定告訴給其他的玩家還是告訴給莊家 ,都要通過交流信息 ,那么在我們所處的這個量 子世界中 ,我們有理由考慮他們交流的信息是量子信 息的情況 . 比如 ,量子通信的各方與竊聽者的對抗 , 對 抗雙方可以采用量子及經(jīng)典策略 . 4) 量子力學(xué)可能為某些不公平的游戲提供使游戲公平的策略 . 那么如果將游戲推廣到量子領(lǐng)域 ,即允許存在量子策略 ,會得到 什么結(jié)果呢 ? 一個很自然的結(jié)論是量子策略不會比經(jīng) 典策略差 ,因為經(jīng)典策略集是量子策略集的子集 . 實際 研究表明 ,由于量子力學(xué)的糾纏和疊加等特性 ,量子游 戲要比經(jīng)典游戲豐富多彩得多 . 因此 ,近些年來人們對 量子博弈論及其應(yīng)用展開了廣泛的研究 .本文首先概括地介紹幾個經(jīng)典的游戲 , 然后量子 化其中的一個游戲 ,在文章的最后 ,我們會給出游戲?qū)?現(xiàn)實世界的意義 .1 引言博弈論 ,即游戲理論 ,是數(shù)學(xué)體系當(dāng)中一個成熟的分支 . 它是一種關(guān)于人們?nèi)绾螐馁€博或游戲當(dāng)中獲得 最大收益的理論 . 而實際上 ,游戲理論的實際意義已經(jīng)不單純地局限于游戲本身 ,許多社會問題 、經(jīng)濟問題和 生物問題中的核心問題都與某種游戲有關(guān) ,都可以在游戲當(dāng)中 找 到 答 案 . 那 么 , 游 戲 和 物 理 又 有 什 么 關(guān) 系 呢 ? 雖然諸如象棋 、撲克之類的游戲在很大程度上需 要玩家的詭計和推測等等一些非物理的要素存在 ,但是 ,Vo n Neumann 和 Morgenstern 指出 1 : 對 于 游 戲 理論 ,有意識的選擇不是最基本的 . 所以游戲當(dāng)中可能還 存在 著 某 種 客 觀 的 、物 理 的 規(guī) 律 . 而 且 , Frieden 曾 指出 2,物理學(xué)當(dāng)中的拉格朗日量可以從一種由人類和大自然玩的游戲當(dāng)中直接推導(dǎo)出來 . 因此 ,游戲與物理學(xué)是密切相關(guān)的 . 而對于一個量子物理學(xué)家來說 ,通過 引入量子線性疊加態(tài)而得到的量子化了的游戲可能是更具有研究價值的游戲 . 這體現(xiàn)在以下幾個方面 3 : 1)經(jīng)典游戲是建立在應(yīng)用數(shù)學(xué)原理基礎(chǔ)之上的 . 應(yīng)用數(shù) 學(xué)已經(jīng)在經(jīng)濟學(xué) 、心理學(xué) 、社會學(xué)和生物學(xué)當(dāng)中得到了 廣泛的應(yīng)用 ,而它在很大程度上是建立在概率論基礎(chǔ) 之上的 . 于是我們就有理由把這種建立在概率論基礎(chǔ) 上的經(jīng)典游戲推廣到量子概率領(lǐng)域去 . 2) 如果真的存 在“自私的基因”的話 ,那么就很可能在由量子力學(xué)支 配的分子世界里存在著某種“幸存者游戲”. 3) 游戲理 論和量子通信理論是密切聯(lián)系的 . 實際上 ,游戲的一個2 經(jīng)典游戲近些年來 ,量子物理學(xué)家感興趣的游戲主要集中于以下幾個 : 擲硬幣游戲 4 、Mo nt y Hall 游戲 5 、PQ 翻 硬幣游戲 6 、囚徒怪圈游戲 3 等等 .經(jīng)典的擲硬幣游戲中 ,玩家 (假設(shè)叫 Bob) 無法知道莊家 (假設(shè)叫 Alice) 是否作弊 ,但在采用了量子策略及 量子測量并使用了量子態(tài)的量子游戲中 ,Bob 就可以知 道 Alice 是否作弊 . 而經(jīng)典的 Mo nt y Hall 游戲根本就無 法做到公平 ,但在量子化了的 Mo nt y Hall 游戲當(dāng)中 ,參 與者就可 以 采 用 量 子 策 略 及 量 子 測 量 來 做 到 公 平 游收稿日期 :2002 - 06 - 17 ;修回日期 :2002 - 12 - 11作者簡介 :李威 ( 1978 ) ,男 ,天津人 ,天津大學(xué)應(yīng)用物理系碩士生.戲 . 對于 PQ 翻硬幣游戲 , 經(jīng) 典 的 情 況 下 , 可 以 做 到 公平 ,但在量子情況下 ,就可以做到讓代號為 P 的人永遠 都輸 ,讓代號為 Q 的人永遠都贏 . 上面談到的 PQ 翻硬 幣游戲和 Mo nt y Hall 游戲是一類游戲雙方收益之和為 零的游戲 (即輸?shù)囊环降闹С稣玫扔谮A的一方的收 益) ,對于二人收益之和為零的游戲 ,類比于經(jīng)典游戲 , Meyer 提出并證明了如下三個定理 6 ,7 :定理 一 在 二 人 收 益 之 和 為 零 的 游 戲 中 的 對 弈 者 ,使用最優(yōu)化量子策略的收益期望值不低于使用最 優(yōu)經(jīng)典混合策略的收益期望值 . ( 證明 : 因為經(jīng)典混合策略都可以找到一個量子策略來表示)定理二 在二人收益之和為零的游戲中并不一定 存在雙方都采用單純量子策略的平衡點 .定理三 在二人收益之和為零的游戲中總存在雙 方均采取混合量子策略的平衡點 .以上這三個定理 ,由于目前人們只是集中于對其 游戲本身的研究 ,所以我們就不做詳細介紹了 ,具體情況可以參考文獻 4 6 . 下面我們要詳細介紹一下與物理學(xué)可能會有很大關(guān)系的囚徒怪圈游戲 ,它是一 種游戲雙方收益之和不為零的游戲.囚徒怪圈 游 戲 3 描 述 的 是 游 戲 雙 方 Alice 和 Bob分別被關(guān)在兩間牢房里 ,他們不能互相交流任何信息 . 兩個警察分別審問他們兩個人 ,并告訴他們 ,如果一方 指控 ( defence) 另一方而另一方選擇合作 ( cooperatio n) , 則指控方得到 5 美元 ,被指控方不得錢 ;如果雙方互相 指控 ,則雙方都只能得到 1 美元 ;如果雙方都采用合作 的策略 ,則雙方都可以得到 3 美元 . 這樣依據(jù)雙方策略 的不同 ,各自的收益也就不同 ,具體形式可參見表 1 ,表 中括號里的第一個數(shù)代表 Alice 的收益 ,第二個數(shù)代表 Bob 的收益 . 那么對于游戲的任何一方來講 ,最好的策 略 (無論對方選擇什么策略 ,自己使用最好的策略時 , 可以做到所得收益不比對方的少) 是什么呢 , 是指控 , 還是合作 ? 在這個游戲當(dāng)中 ,雙方的策略空間 (即 Alice 或 Bob 可以選擇的策略的集合) 就是指控與合作的集 合 ,用 D , C表示 ,其中 D 表示指控 , C 表示合作 . 顯 然這個游戲?qū)﹄p方都是公平的 . 那么 ,Alice 會想 “: 如果 Bob 選擇合作 ,我只要選擇指控就會獲得最大的收益 ; 如果Bob選擇指控 ,我最好的選擇仍然是指控 . ”當(dāng) 然表 1 二體囚徒怪圈游戲的收益矩陣Bob 也會這么想 . 由此我們可以看到 ,由于他們不能互相交流信息 ,因此 ,指控對方成為他們最好的選擇 . 如 果雙方都選擇了指控對方 ,那么任何一方都只能得到 1 美元 . 他 們 的 這 個 策 略 對 就 是 所 謂 的 Nash 平 衡 點 . Nash 平衡點是這樣一個策略對 ,即游戲的任何一方都 不能通過自己單方面的調(diào)整自己的策略偏離該平衡點而獲得更大的收益 . 但是 ,顯然這不如他們選擇相互合作而獲得的收益大 ( 都選擇合作時 ,每一方都能獲得 3美元) . 下面 ,引入 Pareto 最優(yōu)化策略對概念 ,它是指這 樣一對策略 ,游戲中任何一方對該策略對的偏離都不 能在不減少對方收益的前提下增加自己的收益 . 顯然 ,在囚徒怪圈游戲中 ,雙方都選擇合作這樣一個策略對 就是 Pareto 最優(yōu)化策略對 . 于是在經(jīng)典游戲中 ,我們可 以看出 Pareto 最優(yōu)化策略對并不是 Nash 平衡點 ,但他 們?yōu)榱瞬蛔屪约旱睦媸軗p而必然會選擇指控策略 , 這樣雙方就得不到更大的收益 . 那么他們到底是選擇 指控對 方 還 是 選 擇 與 對 方 合 作 呢 ? 囚 徒 們 ( Alice 和 Bob) 陷入 了 怪 圈 , 他 們 進 退 維 谷 . 但 在 量 子 化 的 游 戲 中 ,我們可以使 Nash 平衡點和 Pareto 最優(yōu)化策略對變 成同一個策略對 ,這樣 ,囚徒們 (Alice 和 Bob) 的怪圈就 會消失 . 囚徒怪圈游戲也被推廣到多體的情況 . 三體囚8徒怪圈游戲 的具體情況參見表 2 ,表中 : |中由左到右分別為三個參與者的狀態(tài) ,1 代表指控 , 0 代表合作 . ( ) 中由左到右分別表示三個參與者的收益情況 .從收益情況我們可以看出 ,每個人的最好的策略是選 擇指控 ,但這樣的話 ,每個人只能得到 2 美元 ; 而如果每個人都采用 80 %的概率選擇指控策略的話 ,他們會 得到更大 的 收 益 . 他 們 究 竟 是 選 擇 指 控 還 是 合 作 呢 ?他們依然進退維谷 ,依然陷入怪圈 . 而在量子化的游戲當(dāng)中 ,他們可以通過采用量子策略而跳出怪圈 ,從而獲 得最大的收益 .表 2 三體囚徒怪圈游戲中參與者的收益情況Bob : C Bob : DAlice : C(3 ,3) (0 ,5)Alice : D(5 ,0) (1 ,1)被測狀態(tài)游戲參與者的收益情況| 0 0 0| 1 0 0| 0 1 0| 0 0 1| 0 1 1| 1 0 1| 1 1 0| 1 1 1(0 ,0 ,0)(1 , - 9 , - 9) ( - 9 ,1 , - 9) ( - 9 , - 9 ,1) (1 ,9 ,9)(9 ,1 ,9) (9 ,9 ,1)(2 ,2 ,2)2P = | | f | ,其中 , = C , D . 假設(shè) ,他們的策略空間都被限制為 2 參數(shù)的 2 2 幺正矩陣的集合 ,即3 量子游戲ei cos sin 前面我們已經(jīng)介紹了囚徒怪圈游戲的經(jīng)典形式 ,并在第一節(jié)里闡述了將經(jīng)典游戲量子化的幾個原因 ,下面我們要量子化上面提到的這個游戲 . 無論是經(jīng)典 游戲還是量子游戲 ,他們的收益計算規(guī)則是不變的 . 量 子游戲和相應(yīng)的經(jīng)典游戲的區(qū)別在于 : 經(jīng)典游戲的輸 入態(tài)是經(jīng)典態(tài) ,策略也是經(jīng)典的策略 (盡管有些游戲也包含了概率在里面 ,但那是經(jīng)典的概率) ; 而量子游戲的輸入態(tài)是量子疊加態(tài) ,甚至是糾纏態(tài) ,相應(yīng)的策略則 變成了一個個的算符 .最早提出囚徒怪圈游戲量子化形式的是 J ens Eis2ert 等人 3 ,依據(jù)該游戲的經(jīng) 典 形 式 , 他 們 提 出 該 游 戲 的量子形式包含 : 1) 能提供兩個量子 bit ( 即 qubit ) 的 源 ,兩 個 qubit 分 別 給 Alice 和 Bob ; 2) 能 夠 讓 Alice 和 Bob 操作他們各自 qubit 的裝置 ;3) 從最后的輸出態(tài)中 計算 Alice 和 Bob 的收益情況的裝置 . Alice 和 Bob 都十122U (, ) =,其中 0 ,0 - sin e - i cos 22 2 . 于 是 選 擇“合 作 ”的 算 符 為 C U ( 0 , 0 ) =1 0,選 擇“指 控 ”的 算 符 為 D U (, 0 ) =0 10 1- 1 0. 在 J ens Eisert 的 文 章 中 , J 被 選 擇 為 J =expiD D2 ,其中 0 , / 2 . 前面提到 J 可以使Alice 和 Bob 的 qubit 糾纏起來 ,由 J 的具體形式可以看 出 標(biāo)識了糾纏度的大小 . 當(dāng) = 0 時 ,糾纏度為零 ,游 戲退化到經(jīng)典情形 . 當(dāng) =/ 2 時 ,糾纏度為 1 ,達到了 最大 ,這時 D D 不再是 Nash 平衡點 ,新的 Nash 平衡i0點為 Q Q ,其中 Q U ( 0 ,2) =,相應(yīng)的0 - i雙方的收益從經(jīng)典游戲中的 1 美元變?yōu)榱孔佑螒蛑械? 美元. 我們同樣可以看到 , Q Q 既是 Nash 平衡點也 是 Pareto 最優(yōu)化策略對 ,于是囚徒們通過使用量子策略 走出了怪圈. 對一般的幺正變換 U ,研究表明 9 不存在 單純的策略構(gòu)成的平衡點 ,雙方都要采用混合量子策 略. 不同的文獻分別考察了糾纏度不同時游戲的變化情況 10 ,以及不公平的游戲 (即一方的策略空間小于另一方的策略空間) 的情況 3 ,這里就不一一贅述了.多體的囚徒怪圈游戲 8 裝置與二體的差不多 . 只 是有多個輸入端和多個輸出端以及讓游戲的多個參與者操作自己的 qubit 的裝置 ,這里的 J = ( 1 2 ) ( I N +i F N ) ,其中 N 表示 N 個算符直積 , I 為不變操作 ,而 F = x . 這里 J 的作用仍然是讓參與者的 qubit 糾纏起來 . 考慮三體游戲的情況 ,即 N = 3 ,如圖 2 所示 . 如 果輸入端為狀態(tài)| 000) ,按先后的順序分別表示三個游 戲參與者的 qubit . 這樣經(jīng)過 J 操作 ,輸入態(tài)變?yōu)?( 1 2 )(| 000+ i| 111) ,這是三個 qubit 的最大糾纏態(tài) . 在經(jīng) 典游戲當(dāng)中 ,游戲的參與者要么保留自己的輸入態(tài)為 0分清 楚 地 知 道 以 上 這 3 項 . 用 | C=和 | D =001分別表示合作態(tài)和指控態(tài). 游戲的裝置如圖 1 所示 . 游 戲 開 始 時 , 兩 個 qubit 都 被 制 備 在 合 作 態(tài) , 即| CC(其中 ,前一個字母代表 Alice 的 qubit 的狀態(tài) ,后 一個字母代表 Bob 的 qubit 的狀態(tài) ,以下相同) . J 是一個二位門 操 作 , 它 的 作 用 是 使 得 Alice 和 Bob 的 qubit糾纏起來 . U A 和 UB 代表 Alice 和 Bob 對各自 qubit 的 操作 . 由圖可見 , U A 和 UB 是局域操作 ( 注意局域操作 不會改變一個態(tài)的糾纏度) . J + 是 J 的共軛算符. J + 之后的裝置是輸出裝置 ,它用來計算 Alice 和 Bob 的收益情況 . 這樣游戲的末態(tài)就是 U A 和 UB 的函數(shù) ,即 | f += | f ( U A UB ) = J ( U A UB ) J | CC, 其中 為直積符號 . 末態(tài)的觀察結(jié)果產(chǎn)生相應(yīng)的收益 , 例如 , 若 末態(tài)為| f = | CD則 Alice 得到 0 美元 ,Bob 得到 5 美 元 . 對于一般的末態(tài) ,Alice 收益的期望值為 A = r PCC+ p PDD + t PDC + s PCD ,Bob 的收益期望值為 B = r PCC+ p PDD + s PDC + t PCD ,其中 r = 3 , p = 1 , t = 5 , s = 0 ,而圖 1 二體量子囚徒怪圈游戲示意圖圖 2 三體量子囚徒怪圈游戲示意圖不變 ,要么翻轉(zhuǎn)自己的輸入態(tài)為 1 ,他們的首選策略必然是翻轉(zhuǎn) ,但這時只能各自得到 2 美元 ,即 ( 2 , 2 , 2) 是 他們首選策略的收益 . 假如他們可以以一定的概率選 擇翻轉(zhuǎn) ,我們定義不翻轉(zhuǎn)輸入態(tài)的概率為 p , p 可以取從 0 到 1 之間的任何一個數(shù) . 為了簡便 ,我們只考慮 p= 0 ,1/ 2 ,1 三種情況 . 這樣會有 33 = 27 種可能的策略 ,可以分為 10 個類 ,在每個類當(dāng)中交換參與者的標(biāo)記 ,所得的結(jié)果不變 . 這樣收益情況 可 以 參 見 表 3 ( 表 中 :何一個操作來操作自己的 qubit ,但我們?yōu)榱伺c經(jīng)典游戲?qū)?yīng) ,我們限制每個參與者的策略空間均為 I 、x 和(1/ 2 ) (x + z ) 三種操作的集合 , 分別與經(jīng)典的 p =1 ,0 ,1/ 2 對應(yīng) ,可以分別表示為 p 1 , p 0 , p 1/ 2 .相應(yīng)的收益情況可以參見表 4 (表中 “: a”代表游戲參與者 . p 0 代表 x ; p 12 代表 ( 1 2 ) (x + z ) ; p 1 代表 I . ( ) 中表示的是輸入態(tài)為 0 態(tài)的時候 ,參與者 的平均收益 . 中表示的是輸入態(tài)為 1 態(tài)的時候 ,參 與者的平均收益 . 輸入態(tài)有 12 的概率是 0 ,12 概率是1 的時候的平均收益由不用括號的數(shù)字表示 . 表示對 于輸入態(tài)是 0 或 1 的時候 ,收益情況對三個參與者取“a”代表游戲參與者 . p 是不翻轉(zhuǎn)輸入態(tài)的概率 . ()中表示的是輸入態(tài)為 0 態(tài)的時候 ,參與者的平均收益 . 中表示的是輸入態(tài)為 1 態(tài)的時候 ,參與者的平均 收益 . 輸入態(tài)有 12 的概率是 0 ,12 概率是 1 的時候的平均收益由不用括號的數(shù)字表示 . 表示對于輸入態(tài)表示收益情況對輸入態(tài) 0 和 1 取平均 . ) . 可平均 .以看到他們會采取表中第 類策略 ,即相干量子平衡點 ,相應(yīng)的收益為 ( 5 ,9 ,5) . 文獻 11 討論了如果有一 個精靈在游戲參與者不知情的狀態(tài)下改變輸入態(tài)時 ,是 0 或 1 的時候 ,收益情況對三個參與者取平均 . 表示收益情況對輸入態(tài) 0 和 1 取平均 . ) . 與此對應(yīng) ,對于 游戲的量子情況 ,參與者可以使用屬于 SU ( 2) 群的任表 3經(jīng)典三體囚徒怪圈游戲中三個游戲參與者的平均收益表 4量子三體囚徒怪圈游戲中三個游戲參與者的平均收益類p 0 p 12 p 1 C aaa ( - 154) 19 4 1 2 1 ( - 154) 19 4 12 a ( - 154) 19 4 1 2 aa ( - 154) 19 4 1 2 3 ( - 154) 19 4 12 aa ( - 72) 9 2 1 2 a (32) 1 2 1 3 ( - 116) 19 6 23aaa (2) 0 1 1(2) 0 1 aaa (0) 2 1 1(0) 2 1a (1) 1 1 aa ( - 9) 9 0 3 ( - 173) 19 3 13 aa (9) - 9 0 a (1) 1 1 3 (193) - 17 3 13 a (5) - 4 1 2 a (9) - 9 0 a (5) - 4 1 2 6 (193) - 17 3 13 aa (194) - 15 4 1 2 a (194) - 15 4 1 2 3 (194) - 15 4 12a (32) 1 2 1 aa ( - 72) 9 2 1 2 3 ( - 116) 19 623類p = 0 p = 12 p = 1 C aaa (12) 1 2 1 2 1 (12) 1 2 12 a (214) - 17 4 1 2 aa (34) 1 4 1 23 (94) - 5 4 12 aa (112) - 9 2 1 2 a (32) 1 2 1 3 (256) - 17 6 23aaa (2) 0 1 1 (2) 0 1aaa (0) 2 11(0) 21a (1) 1 1 aa ( - 9) 9 0 3 ( - 173) 19 3 13 aa (9) - 9 0 a (1) 1 1 3 (193) - 17 3 13 a (5) - 4 1 2 a (0) 0 0 a ( - 4) 5 1 2 6 (13) 1 3 13 aa (14) 3 4 1 2 a ( - 174) 21 4 1 2 3 ( - 54) 9 4 12a (12) 3 2 1 aa ( - 92) 11 2 1 2 3 ( - 176) 25 623參與者所獲得收益的平均值的變化情況 . 如果精靈以 x的概率將輸入態(tài)由| 0變?yōu)?| 1,而以 ( 1 - x ) 的概率保 持輸入態(tài)不變 ,則收益情況會分成兩部分 , 在 0 x x cr 區(qū)間里 ,在量子游戲里得到的收益比在經(jīng)典游戲里得到的收益多 ;而在 x cr x 1 區(qū)間里 ,恰恰相反 ,其中 分界點 x cr = 13/ 30 = 0. 433 . 這說明并不是在任何情況 下 ,量子策略都比經(jīng)典策略優(yōu)越 . 這里對現(xiàn)實物理世界 有啟發(fā)意義的是 :精靈可以想像成環(huán)境的溫度效應(yīng) ,如 果| 1態(tài)的能量比| 0態(tài)的能量高 E ,那么溫度的升高 就會導(dǎo)致輸入狀態(tài)由 | 0到 | 1的變化 . 以上的討論啟 發(fā)我們可以用多體囚徒怪圈游戲來描述多個粒子的相 互作用情況 ,可以把粒子的能量想像成囚徒們的收益 , 環(huán)境的影響可以想像成精靈的作用 , 多個粒子的動態(tài) 平衡過程可以想像成量子多體囚徒怪圈游戲的演化問 題 8 . 這或許是我們研究復(fù)雜物理問題的另一條路徑 .量子游戲可以幫助我們研究物理世界的本質(zhì). 眾所周知 ,物理學(xué)的第一原理是作用量最小原理 ,在這個原理 中 ,如果我們能知道系統(tǒng)的拉格朗日量的具體形式 ,那 么我們就能使用歐拉 - 拉格朗日方程來得到該物理系統(tǒng)滿足的微分方程 ,即得到了一個物理定律 . 但人們通常不能預(yù)先知道系統(tǒng)的拉格朗日量 , 而通常是先知道 物理定律 ,然后反推出拉格朗日量 . 然而 , Frieden 在他12一篇文章中曾指出 ,拉格朗日量可以從 Fisher 信息測量游戲中直接推導(dǎo)出 來 , 這 里 的 Fisher 信 息 被 定 義 1 成 I = d R2p ( R ) p ( R ) ,其中 p ( R ) 為概率密度函數(shù) ,且 p ( R ) = q2 ( R ) ,這里 q ( R ) 可以寫成不同模式N的疊加 ,即 q ( R ) = qn ( R ) . 他把對一個物理量的6n = 1測量過程看成是人類和大自然玩的一個游戲 , 人類和大自然被分別想像成測量者和精靈 . 測量者 ( 人類) 的 任務(wù)就是盡可能多的得 到 一 個 物 理 量 的 Fisher 信 息 ,而精靈 (大自 然 ) 的 任 務(wù) 就 是 盡 可 能 少 的 失 去 這 些 信4 量子游戲?qū)ΜF(xiàn)實世界的啟發(fā) 12 息 ,這要求不同的 qn ( R ) 不能有任何交疊,于是有 IN量子游戲是經(jīng)典游戲在量子世 界 的 推 廣 , 由 于 量子力學(xué)的糾纏和疊加等特性 , 量子游戲要比經(jīng)典游戲 豐富多彩得多 . 但它對現(xiàn)實世界的意義卻不只在其游戲本身 . 我們要從兩個方面來說明量子游戲?qū)ΜF(xiàn)實物理世界的意義 , 或許這兩方面就是今后人們使用量子 游戲來分析復(fù)雜物理系統(tǒng)和研究物理世界本質(zhì)的兩種 方式 .一方面 ,量子游戲可以幫助我們 分 析 復(fù) 雜 的 物 理 問題 . 假設(shè)一個物理系統(tǒng)內(nèi)包含有很多粒子 ,當(dāng)然這個 物理系統(tǒng)可以是一個裝有氣體的容器 、一個包含有許 多分子的細胞 、一定地域范圍內(nèi)的動物 、甚至是人類社 會 . 這個物理系統(tǒng)內(nèi)的眾多粒子之間存在著相互作用 , 他們可能彼此交換著信息 , 這種相互作用可能是很復(fù) 雜的形式 ,但這種相互作用會隨著粒子之間距離的加大而逐漸變小 . 對于這樣一個物理系統(tǒng) ,我們也許可以 用量子游戲理論進行描述 , 例如類似于多體囚徒怪圈游戲 ,我們可以通過對比經(jīng)典多體游戲和其相應(yīng)的量 子多體游戲 , 來揭示量子多體物理系統(tǒng)和經(jīng)典多體系 統(tǒng)中各種物理量的差異 . 我們可以把粒子們想像成游 戲的參與者 ,他們有獨立的判斷能力 ,通過設(shè)定適當(dāng)?shù)?游戲規(guī)則 ,我們可能會得出許多有用的結(jié) 論 . 例 如 , 在分析簡單多粒子系統(tǒng)的各種物理問題時 , 我們可以把 粒子的能量想像成游戲參與者的收益 , 多體系統(tǒng)的波函數(shù)可以想像成多體游戲里的糾纏態(tài) , 環(huán)境的退相干 可以想像成游戲中精靈的作用 11 .另一方面可能是更有趣的 ,也可能是更本質(zhì)的 ,即n = 1 6= 4d R q q . 在 這 樣 的 游 戲 規(guī) 則 下 , Friedenn n得到了極端物理信息 (ext reme p hysical informatio n 簡稱EP I) 原理 ,即N6I = I - J = 4 d R qn qn -n = 1 d R F q ( R) , R = 0其中 I 為 Fisher 信息 , J d R F q ( R ) , R 為測量某一物理量時得到的 I 的極值 ,也就是說在具體的物理問題中 J 應(yīng)該為常量. 由這個原理并考慮到物理系統(tǒng)的一 些對稱性 ,就可以推導(dǎo)出一個物理系統(tǒng)的拉格朗日量 , 這樣就會得到物理定律及相應(yīng)的物理常量. 在 Frieden 的文章中 ,令時空坐標(biāo)為 x i = i x , x 2 = i y , x 3 = i z , x 4 = ct ,設(shè) n q2 n - 1 + i q2 n , n = 1 ,2 , K , N2 ,于是有N2Nn = 1 6n = 1 6I = 4d Rqn qn = 4 cd rd t 35n1- ) 3 n(1)n +n25 tc此處 R = (i r , ct ) = (i x ,i y ,i z , ct ) 為四維坐標(biāo). 注意到動量空間是實空間的傅里葉變換 , 即 (i r , ct ) (ih ,Ech) ,并設(shè) n 的傅里葉變換式為 n ,于是得到 ( n ,5n5 t ) ( - in h ,i Enh ) . 將其代入式 ( 1 ) 得到動 量空間 I 和 J 的表示式I J = (4 ch2 ) dd Ep (, E) ( - 2 + E2c2 ) =2 + E2c2 (2) - 4 ch255 tN2此游戲理論 ,尤其是量子游戲理論 ( 因為我們的世界是量子世界) 很可能成為研究各種復(fù)雜問題和認(rèn)識世界 的有益的工具 .其中 p (, E) = 3 為動量空間的概率密度 . 由6n nn = 1于在某一物理系統(tǒng)中 J 必為常量 ,而上面表達式中 4 ch2 和 - 2 + E2c2 是獨立變化的 ,因此要求這兩項分別為 常量 :若認(rèn)為光速 c 是常量 ,那么就可以定出普朗克常 量 h ; 由第二項為常量 ,我們可以得到 - 2 + E2c2 = A 2 ( m , c) ,考慮到量綱一致 ,可以認(rèn)為 A ( m , c) = mc , 于是得到著名的質(zhì)能關(guān)系式 E2 = c22 + m 2 c4 . 將質(zhì)能 關(guān)系式代入動量空間 I 和 J 的表示式 (2) 就得到N2參考文獻 :1Vo n Neumann J , Mo rgenstern O . 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