解析法巧解中考數(shù)學壓軸題.doc

解析法巧解中考壓軸題 在平面幾何題中，適當?shù)慕⒅苯亲鴺讼?，利用代?shù)的方法解決幾何問題，即解析法，有時會顯得更簡潔高效現(xiàn)以近年中考壓軸題為例，分析說明解析法之妙 例1 （2013泰州）如圖1，在矩形ABCD中，點P在邊CD上，且與C、D不重合，過點A作AP的垂線與CB的延長線相交于點Q，連結(jié)PQ，M為PQ中點 若AD10，ABa，DP8，隨著a的大小的變化，點M的位置也在變化當點M落在矩形ABCD外部時，求a的取值范圍 分析 本題將矩形、三角形、動點、參數(shù)相結(jié)合，考察學生利用相似解決問題的綜合能力，難度較大，區(qū)分度高，按照參考答案給出的解題思路，如圖2所示，當點M落在矩形ABCD外部時，須滿足的條件是“BEMN”分別求出BE與MN的表達式，列不等式求解，即可求出a的取值范圍 由ADPABQ，解得QBa 由QBEQCP，同樣由比例關系得出BE 又因為MN為QCP的中位線，得出 MNPC（a8） 再由BEMN，即 得出a 12.5 當點M落在矩形ABCD外部時，a的取值范圍為a12.5 這種解法不僅要想到添加輔助線，還兩次運用了相似比，計算量大，易出錯比較穩(wěn)妥而簡潔的做法是將圖形放進直角坐標系中，利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決此類問題一如何建立合適、恰當?shù)淖鴺讼的?？通常需要考慮以下兩點： 第一，讓盡可能多的點落在直角坐標系上，這些點的坐標含有數(shù)字O，可以起到簡化運算的功效； 第二，考慮圖形的對稱性，同樣，也能起到簡化運算的作用解答 如圖3所示，建立以B點為原點，BC方向為x軸正半軸，BA方向為y軸正半軸的直角坐標系 則A(0，a)，P(0，a8) 直線AP的斜率為kAP， 直線AQ為yxa， 直線AQ與x軸交于點Q， Q(a，0)又M為線段QP上的中點，M（5a，4）因為M點落在矩形ABCD的外部，所以M點在第二象限，解得a12.5 這樣，通過建立合適的直角坐標系，使圖形上各點得到確定，讓問題變得清晰明了，避免了運用相似而產(chǎn)生的復雜計算 例2（2014連云港）某數(shù)學興趣小組對線段上的動點問題進行探究，已知AB8 問題思考： 如圖4，點P為線段AB上的一個動點，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC、BPEF(1)分別連結(jié)AD、DF、AF，AF交DP于點K，當點P運動時，在APK、ADK、DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由 問題拓展： (2)如圖5，在“問題思考”中，若點M、N是線段AB上的兩點，且AMBN1，點G、H分別是邊CD、EF的中點，請寫出點P從M到N的運動過程中，GH的中點D所經(jīng)過的路徑的長 (3)在第二問的情況下，求OMOB的最小值 分析 這是一道關于正方形的綜合題，難度較大，解題難點在于分析動點的運動軌跡，需要很好的空間想象能力和作圖分析能力；此外本題還綜合考查了二次函數(shù)、整式的運算、四邊形、中位線、相似、軸對稱與勾股定理等眾多知識點但是，如果我們建立直角坐標系，用解析幾何的方法就可以避開相似，省去很多不必要的麻煩在第(1)問根據(jù)點的坐標，求得PKa，進而求得DKPDPK，然后根據(jù)面積公式即可求得，第(2)(3)問涉及點的運動軌跡，GH中點O的運動路徑是與AB平行且距離為3的線段XY上，如圖6所示；然后利用軸對稱的性質(zhì)，求出OMOB的最小值解答 (1)如圖6所示，以A點為原點，AB方向為x軸正半軸，AC方向為y軸正半軸，建立直角坐標系設APa 又P在M到N之間運動， 1a7 a經(jīng)過的路徑是一條與AB平行的線段，長為3 (3)如圖7所示，作點M關于直線XY的對稱點M，連結(jié)BM 由軸對稱性質(zhì)可知，M(1，8)， 由兩點之間線段最短可知，此時OMOBBM最小