高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3 向量的坐標(biāo)表示導(dǎo)學(xué)案 蘇教版必修4.doc

2.3 向量的坐標(biāo)表示課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析1.平面向量基本定理的理解與應(yīng)用【例1】已知a（1，-2）、b（2，1）、c（3，2）和d（-2，3），以、為一組基底來(lái)表示+.思路分析：本題主要考查向量的坐標(biāo)表示、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量基本定理以及待定系數(shù)法等知識(shí).求解時(shí)首先由點(diǎn)a、b、c、d的坐標(biāo)求得向量、等的坐標(biāo)，然后根據(jù)平面向量基本定理得到等式+=m+n，再列出關(guān)于m、n的方程組，進(jìn)而解方程求出所表示的系數(shù).解：=（1，3），=（2，4），=（-3，5），=（-4，2），=（-5，1），+=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).根據(jù)平面向量基本定理，一定存在實(shí)數(shù)m、n使得+=m+n，（-12，8）=m(1,3)+n(2,4).也就是（-12，8）=（m+2n,3m+4n）.可得解得+=32-22.溫馨提示 用一組基底e1、e2表示平面內(nèi)的任何一個(gè)向量a，應(yīng)首先根據(jù)平面向量基本定理寫(xiě)成：a=1e1+2e2,然后代入各向量的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化成方程組，解得待定系數(shù)1、2，這就是常用的待定系數(shù)法.2向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則與對(duì)向量平行的應(yīng)用【例2】 平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).（1）若（a+kc）(2b-a).求實(shí)數(shù)k的值.（2）設(shè)d=(x,y)滿(mǎn)足（d-c）(a+b)且|d-c|=1.求d.思路分析：（1）將a、b、c的坐標(biāo)代入a+kc和2b-a并分別求出其坐標(biāo)，利用兩向量共線的條件即可求得k值.（2）利用d-c與a+b共線與|d-c|=1列出兩個(gè)關(guān)于x、y的方程，解方程即可.解：（1）（a+kc）(2b-a),又a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3,2)+(4k,k)=(3+4k,2+k),2b-a=2(-1,2)-(3,2)= (-2,4)-(3,2) =(-5,2).2(3+4k)-(-5)(2+k)=0.k=.（2）d-c=(x,y)-(4,1)=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,解之得或d=(,)或（,）.溫馨提示 向量的加減及實(shí)數(shù)與向量的積，兩向量共線的等價(jià)條件、向量的模都可用于列方程求未知數(shù)的值.【例3】平面內(nèi)已知三個(gè)點(diǎn)a（1，-2），b（7，0），c（-5，6）.求，+，+.思路分析：本題主要涉及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入相應(yīng)的公式運(yùn)算即可得.解：a(1,-2),b(7,0),c(-5,6),=(7-1,0+2)=(6,2),=(-5-1,6+2)=(-6,8),+=(6-6,2+8)=(0,10),+=(6,2)+(-6,8)=(6,2)+(-3,4)=(3,6)溫馨提示 對(duì)于向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)及向量所對(duì)應(yīng)的三組坐標(biāo)中，可知二求一.對(duì)于向量的坐標(biāo)運(yùn)算，均需正確掌握其運(yùn)算法則.3.向量坐標(biāo)形式的綜合應(yīng)用【例4】 已知a（-1，2），b（3，4）連結(jié)a、b并延長(zhǎng)至p，使|ap|=3|bp|，求p點(diǎn)求標(biāo).思路分析：本題主要涉及定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式.首先確定用哪一個(gè)點(diǎn)作分點(diǎn)、起點(diǎn)和終點(diǎn)，正確確定定比的值，代入公式即可求得p點(diǎn)坐標(biāo).解：選定p為分點(diǎn)，a為起點(diǎn)，b為終點(diǎn)，則p分所成的兩個(gè)向量為和，由圖可知，與方向相反，=.由定比分點(diǎn)公式，設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）.則所以p點(diǎn)坐標(biāo)為（5，5）.溫馨提示 一般地，a、b、p三點(diǎn)中選哪一個(gè)點(diǎn)作起點(diǎn)、分點(diǎn)或終點(diǎn)都可以，但一經(jīng)確定兩點(diǎn).第三點(diǎn)也隨之確定.雖然對(duì)各種情況的定比不同，但計(jì)算結(jié)果都一樣，可根據(jù)題目條件恰當(dāng)選擇起點(diǎn)、分點(diǎn)和終點(diǎn)，確定相應(yīng)的定比的值，優(yōu)化解題過(guò)程.而此類(lèi)題目最大的弊病是分不清起點(diǎn)與終點(diǎn)，致使公式用錯(cuò).各個(gè)擊破類(lèi)題演練1如圖，在abcd中，ah=hd，bf=mc=bc，且=a，=b，沿向量，分解向量，.解：“沿向量，分解向量”，就是用向量，表示該向量.=-=b-b=b,=+=a+b,=-=b-(a+b)=-a-b,=+=a+b,=a+b,=hd-=b-(a+b)=-a+b.=a+b,=-a-b,=a+b,=-a+b.變式提升1已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(5,-3)，試用a和b來(lái)表示c.思路分析：設(shè)c=ma+nb,然后利用待定系數(shù)法求出m、n的值.解：設(shè)c=ma+nb,即（5，-3）=m(3,-2)+n(-2,1)=(3m-2n,-2m+n),于是有解得所以c=a-b.類(lèi)題演練2已知點(diǎn)a、b的坐標(biāo)分別為（2，-2），（4，3），向量p的坐標(biāo)為（2k-1,7），且p，則k的值為多少？解：=（2，5），p=(2k-1,7).共線的條件為x1y2-x2y1=0,27-(2k-1)5=0,解得k=.變式提升2(1)已知：a（-2，-3），b（2，1），c（1，4），d（-7，-4），判斷與是否共線？解：=（2，1）-（-2，-3）=（4，4）,=（-7，-4）-（1，4）=（-8，-8）,4(-8)-4(-8)=0,即與共線，或=-2，與共線.(2)若向量a=(2,-1),b=(x,2),c=(-3,y),且abc,求x,y的值.解法1：abc,b=1a,c=2a.則有解得解法2：ab，4+x=0.x=-4.又ac,2y-3=0y=.類(lèi)題演練3已知a（1，-2），b（2，1），c（3，2）和d（-2，3），以、為一組基底來(lái)表示+.解：=（1，3），=（2，4），（-3，5），=（-4，2），=（-5，1），+=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).根據(jù)平面向量基本定理，一定存在實(shí)數(shù)m、n，使得+=m+n，(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),也就是（-12，8）=(m+2n,3m+4n),可得解得+=32-22.變式提升3若點(diǎn)o（0，0）、a（1，2）、b（-1，3），且=2,=3,則點(diǎn)a的坐標(biāo)為_(kāi)，點(diǎn)b的坐標(biāo)為_(kāi)，向量的坐標(biāo)為_(kāi).解：o(0,0)，a（1，2），b（-1，3），=（1，2），=（-1，3），=2(1,2)=(2,4), =3(-1,3)=(-3,9).a(2,4),b(-3,9), =(-3-2,9-4)=(-5,5).答案：（2，4） （-3，9） （-5，5）類(lèi)題演練4已知a（-2，1），b（1，3），求線段ab中點(diǎn)m和三等分點(diǎn)p、q的坐標(biāo).解析：因?yàn)?-=（1，3）-（-2，1）=（3，2）所以=(+)=(-2,1)+(1,3)=(-,2).=+=(-2,1)+(3,2)=(-1,).=+=(-2,1)+(3,2)=(0,).因此m（-,2）,p(-1,),q(0,).變式