高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 第2講 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值配套課件 理 新人教A版 .ppt

第2講用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值 考點(diǎn)梳理 函數(shù)f x 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) f x 在 a b 任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0 f x 0 f x 為 函數(shù) f x 0 f x 為 函數(shù) 1 判斷f x0 是極值的方法一般地 當(dāng)函數(shù)f x 在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí) 如果在x0附近的左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 那么f x0 是極大值 1 函數(shù)的單調(diào)性 2 函數(shù)的極值 增 減 如果在x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那么f x0 是極小值 2 求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 求f x 求方程f x 0的根 檢查f x 在方程f x 0的根左右值的符號(hào) 如果左正右負(fù) 那么f x 在這個(gè)根處取得 如果左負(fù)右正 那么f x 在這個(gè)根處取得極小值 如果左右兩側(cè)符號(hào)一樣 那么這個(gè)根不是極值點(diǎn) f x 0 f x 0 極大值 一個(gè)考情解讀本講內(nèi)容是高考的必考內(nèi)容 主要以解答題的形式考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 求函數(shù)的極值 也有可能以解答題的形式考查導(dǎo)數(shù)與解析幾何 不等式 三角函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合的問題 綜合題一般作為壓軸題出現(xiàn) 難度較大 助學(xué) 微博 考點(diǎn)自測(cè) 2 函數(shù)y 3x2 6lnx的單調(diào)增區(qū)間為 單調(diào)減區(qū)間為 答案 1 0 1 3 若函數(shù)f x ax3 3x2 x恰有3個(gè)單調(diào)區(qū)間 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 答案 3 0 0 解析f x 3x2 a 由f x 在 1 上是單調(diào)遞增函數(shù) 得f x 0在區(qū)間 1 上恒成立 即3x2 a 0 x 1 恒成立 故實(shí)數(shù)a 3x2在 1 上的最小值 即a 3 答案 3 4 已知a 0 函數(shù)f x x3 ax在 1 上是單調(diào)遞增函數(shù) 則a的取值范圍是 5 2012 啟東中學(xué)一模 若函數(shù)f x x3 x2 ax 4在區(qū)間 1 1 內(nèi)恰有一個(gè)極值點(diǎn) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 答案 1 5 考向一利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題 令g x ax2 x 1 a x 0 當(dāng)a 0時(shí) g x x 1 x 0 所以 當(dāng)x 0 1 時(shí) g x 0 此時(shí)f x 0 函數(shù)f x 單調(diào)遞增 當(dāng)a 0時(shí) 由f x 0 x 0 1 時(shí) g x 0 此時(shí)f x 0 函數(shù)f x 單調(diào)遞增 方法總結(jié) 討論函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)就是討論不等式的解集的情況 大多數(shù)情況下 這類問題可以歸結(jié)為一個(gè)含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論 在能夠通過因式分解求出不等式對(duì)應(yīng)方程的根時(shí)依據(jù)根的大小進(jìn)行分類討論 在不能通過因式分解求出根的情況時(shí)根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類討論 1 求f x 的單調(diào)增區(qū)間 2 若f x 在定義域r內(nèi)單調(diào)遞增 求a的取值范圍 解 1 f x ex ax 1 f x ex a 令f x 0 得ex a 當(dāng)a 0時(shí) 有f x 0在r上恒成立 當(dāng)a 0時(shí) 有x lna 綜上 當(dāng)a 0時(shí) f x 的單調(diào)增區(qū)間為 當(dāng)a 0時(shí) f x 的單調(diào)增區(qū)間為 lna 訓(xùn)練1 已知f x ex ax 1 2 f x ex ax 1 f x ex a f x 在r上單調(diào)遞增 f x ex a 0恒成立 即a ex x r恒成立 x r時(shí) ex 0 a 0 當(dāng)a 0時(shí) f x ex f x 0在r上恒成立 故當(dāng)a 0時(shí) f x 在定義域r內(nèi)單調(diào)遞增 考向二利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題 由表得函數(shù)f x 的單調(diào)減區(qū)間為 0 1 及 1 e 單調(diào)增區(qū)間為 e 所以存在極小值為f e e 無極大值 方法總結(jié) 1 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時(shí)要養(yǎng)成列表的習(xí)慣 可使問題直觀且有條理 減少失分的可能 2 導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)并不一定就是函數(shù)的極值點(diǎn) 所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后一定注意分析這個(gè)零點(diǎn)是不是函數(shù)的極值點(diǎn) 2 若f x 為r上的單調(diào)函數(shù) 則f x 在r上不變號(hào) 結(jié)合 與條件a 0 知ax2 2ax 1 0在r上恒成立 因此 4a2 4a 4a a 1 0 a 0 解得0 a 1 所以a的取值范圍為 0 1 例3 2011 江蘇 已知a b是實(shí)數(shù) 函數(shù)f x x3 ax g x x2 bx f x 和g x 分別是f x 和g x 的導(dǎo)函數(shù) 若f x g x 0在區(qū)間i上恒成立 則稱f x 和g x 在區(qū)間i上單調(diào)性一致 考向三利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題 1 設(shè)a 0 若f x 和g x 在區(qū)間 1 上單調(diào)性一致 求b的取值范圍 2 設(shè)a 0且a b 若f x 和g x 在以a b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致 求 a b 的最大值 解f x 3x2 a g x 2x b 1 由題意知f x g x 0在 1 上恒成立 因?yàn)閍 0 故3x2 a 0 進(jìn)而2x b 0 即b 2x在 1 上恒成立 所以b 2 因此b的取值范圍是 2 方法總結(jié) 若f x 在區(qū)間d上單調(diào)增 減 則對(duì)任意的x d 恒有f x 0 f x 0 由此可求出含參數(shù)的取值范圍 另外 還可由a f x a f x 恒成立 a f x min a f x max 由f x 單調(diào)性求出f x 的最大 小 值 從而可確定參數(shù)a的取值范圍 由于函數(shù)的單調(diào)性可以用來求最值 解不等式和求解恒成立問題 所以要靈活應(yīng)用單調(diào)性解題 要善于將有關(guān)問題轉(zhuǎn)化成單調(diào)性問題求解 比如分離參數(shù) 構(gòu)造函數(shù)等 規(guī)范解答4函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用 當(dāng)x 0 1 時(shí) g x 0 故 0 1 是g x 的單調(diào)減區(qū)間 當(dāng)x 1 時(shí) g x 0 故 1 是g x 的單調(diào)增區(qū)間 因此 x 1是g x 的唯一極值點(diǎn) 且為極小值點(diǎn) 從而是最小值點(diǎn) 所以最小值為g 1 1 4分 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 即如何利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和最值 1 2012 重慶卷改編 設(shè)函數(shù)f x 在r上可導(dǎo) 其導(dǎo)函數(shù)為f x 且函數(shù)y 1 x f x 的圖象如圖所示 則f x 的極值點(diǎn)分別為 高考經(jīng)典題組訓(xùn)練 解析當(dāng)x3 則f x 0 當(dāng) 22時(shí) 1 x0 所以函數(shù)有極小值f 2 答案2或 2 又由f x ex 1 x知 當(dāng)x 0 時(shí) f x 0 所以f x 在 0 上單調(diào)遞減 在 0 上單調(diào)遞增 1 當(dāng)a 1 b 2時(shí) 求曲線y f x 在點(diǎn) 2 f 2 處的切線方程 2 設(shè)x1 x2是f x 的兩個(gè)極值點(diǎn) x3是f x 的一個(gè)零點(diǎn) 且x3 x1 x3 x2 證明 存在實(shí)數(shù)x4 使得x1 x2 x3 x4按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列 并