正比例和反比例(含試題和答案).doc

年級(jí)六年級(jí)科目數(shù)學(xué)主講老師崔小兵【同步教育信息】一、本周主要內(nèi)容正比例和反比例二、本周學(xué)習(xí)目標(biāo)1、使學(xué)生結(jié)合實(shí)際情境認(rèn)識(shí)成正比例和反比例的量，能根據(jù)正、反比例的意義判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例或反比例。2、使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)正比例的圖像是一條直線，能利用給出的具有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫出相應(yīng)的直線，能根據(jù)具有正比例關(guān)系的一個(gè)量的數(shù)值看圖估計(jì)另一個(gè)量的數(shù)值。3、使學(xué)生在認(rèn)識(shí)成正比例、反比例的量的過程中，初步體會(huì)數(shù)量之間相依互變的關(guān)系，感受有效表示數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律的不同數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步提升思維水平。4、使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系，增強(qiáng)探索數(shù)學(xué)知識(shí)和規(guī)律的意識(shí)，養(yǎng)成積極主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的習(xí)慣，提高學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。三、考點(diǎn)分析1、兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們之間的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。如果用字母和分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用這樣的式子來表示： = K（一定）。2、用“描點(diǎn)法”可以得到正比例的圖像，正比例的圖像是一條直線。對照圖像，能根據(jù)一種量的值，估計(jì)另一種量相對應(yīng)的值。3、兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們之間的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。如果用字母和分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用表示它們的積，反比例關(guān)系可以用這樣的式子來表示： = K（一定）。4、兩個(gè)變量的比值一定，這兩個(gè)變量成正比例；兩個(gè)變量的積一定，這兩個(gè)變量成反比例；沒有上述兩種關(guān)系，這兩個(gè)變量不成比例?！镜湫屠}】例1、（正比例的意義）一列火車行駛的時(shí)間和路程如下表。這兩種量有什么關(guān)系？時(shí)間/時(shí)123456路程/千米120240360480600720分析與解：（1）從上表可以看出，表中有時(shí)間和路程兩種量。（2）從左往右看，時(shí)間擴(kuò)大，路程也擴(kuò)大；從右往左看，時(shí)間縮小，路程也縮小。所以它們是兩種相關(guān)聯(lián)的量。（3）路程和時(shí)間的比值始終不變， = 120， = 120， = 120這個(gè)比值就是火車的行駛速度。通過觀察和計(jì)算，我們對路程和時(shí)間的關(guān)系有兩點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：第一點(diǎn)路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，也就是時(shí)間變化，路程也隨著變化；第二點(diǎn)路程和對應(yīng)的時(shí)間的比的比值（也就是速度）是一定的，有這樣的關(guān)系： = 速度（一定）。具備了這兩個(gè)條件，我們就可以得到結(jié)論：行駛的路程和時(shí)間成正比例關(guān)系；行駛的路程和時(shí)間成正比例的量。點(diǎn)評：判斷兩種量是不是成正比例，分三步：一看它們是不是相關(guān)聯(lián)的兩種量；二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著變化；滿足了前面兩個(gè)條件，再看它們的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母和分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用這樣的式子來表示： = K（一定）。例2、（判斷是否成正比例）練習(xí)本的單價(jià)一定，買練習(xí)本的數(shù)量和總價(jià)是不是成正比例？為什么？分析與解：根據(jù)正比例的意義，看兩個(gè)變量的比值是否一定，如果兩個(gè)變量的比值一定，那么這兩個(gè)變量就成正比例，反之，則不成正比例。買練習(xí)本的數(shù)量和總價(jià)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，它們與練習(xí)本的單價(jià)有下面的關(guān)系： = 練習(xí)本的單價(jià)（一定）所以練習(xí)本的數(shù)量和總價(jià)成正比例。例3、（正比例的圖像）磁懸浮列車勻速行駛時(shí)，路程與時(shí)間的關(guān)系如下。時(shí)間/分123456 7路程/千米7142128354249（1）圖中的點(diǎn)A表示時(shí)間為1分鐘時(shí)，磁懸浮列車駛過的路程為7千米。請你試著描出其他各點(diǎn)。（2）連接各點(diǎn)，它們在一條直線上嗎？（3）根據(jù)圖像判斷，列車運(yùn)行2分半鐘時(shí)，行駛的路程是多少千米？行駛30千米大約需要幾分鐘？ 路程/千米42 35 28 21 14 7 A0 1 2 3 4 5 6 7 時(shí)間/分分析與解：根據(jù)提供的各組數(shù)據(jù)描出圖像的許多個(gè)點(diǎn)，再依次連成直線。路程和時(shí)間相對應(yīng)的數(shù)的比值都是7，即速度一定，路程和時(shí)間成正比例，圖像是一條直線。對照圖像，可以根據(jù)時(shí)間的值估計(jì)出路程的值，也可以根據(jù)路程的值估計(jì)出時(shí)間的值，估計(jì)時(shí)允許有一定的出入。（1）描點(diǎn)、連線如圖。 路程/千米42 35 28 21 14 7 A0 1 2 3 4 5 6 7 時(shí)間/分（2）在一條直線上，因?yàn)槁烦毯蜁r(shí)間成正比例，正比例的圖像是一條直線。（3）根據(jù)圖像，列車運(yùn)行2分半鐘時(shí)，行駛的路程是17.5千米；行駛30千米大約需要4.3分鐘。例4、（辨析）圓的周長和直徑成正比例，圓的面積和半徑成正比例？分析與解：圓的周長和直徑成正比例，而圓的面積和半徑卻不成正比例?？闪斜砼袛?。半徑/cm123456直徑/cm24681012周長/cm6.2812.5618.8425.1231.437.68面積/cm3.1412.5628.2650.2478.5113.04圓的周長和直徑的相對應(yīng)的數(shù)的比值都是3.14，所以圓的周長和直徑成正比例。而圓的面積和半徑的相對應(yīng)的數(shù)的比值是變化的，所以圓的面積和半徑不成正比例。圓的周長和直徑成正比例，圓的面積和半徑卻不成正比例。例5、（反比例的意義）下表是王師傅加工一批零件時(shí)，每小時(shí)加工零件個(gè)數(shù)隨時(shí)間變化的情況。這兩種量有什么關(guān)系？每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)/個(gè)20304060 80加工的時(shí)間/時(shí)128643分析與解：（1）從上表可以看出，表中有每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)和加工的時(shí)間兩種量。（2）從左往右看，每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)擴(kuò)大，加工的時(shí)間反而縮??；從右往左看，每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)縮小，加工的時(shí)間反而擴(kuò)大。所以它們是兩種相關(guān)聯(lián)的量。（3）每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)和相對應(yīng)的加工的時(shí)間的積都始終不變，如20 12 = 240，30 8 = 240，40 6 = 240而這個(gè)積就是這批零件的總個(gè)數(shù)。通過觀察和計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)：每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)和加工的時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)隨著加工的時(shí)間變化而變化，但無論它們怎么變化，相對應(yīng)的積是一定的，有這樣的關(guān)系：每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù) 加工的時(shí)間 = 零件的總個(gè)數(shù)（一定）。所以每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)和加工的時(shí)間成反比例的量，它們之間的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。點(diǎn)評：判斷兩種量是不是成反比例，和正比例一樣，分三步：一看它們是不是相關(guān)聯(lián)的兩種量；二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著變化；滿足了前面兩個(gè)條件，再看它們的乘積是否一定，進(jìn)行判斷。不要省去任何一步。如果用字母和分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用這樣的式子來表示： = K（一定）。例6、（判斷是否成反比例）總產(chǎn)量一定，每公頃的產(chǎn)量和公頃數(shù)是不是成反比例？為什么？分析與解：根據(jù)反比例的意義，看兩個(gè)變量的乘積是否一定，如果兩個(gè)變量的積一定，那么這兩個(gè)變量就成反比例，反之，則不成反比例。每公頃的產(chǎn)量和公頃數(shù)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，它們與總產(chǎn)量有下面的關(guān)系：每公頃的產(chǎn)量 公頃數(shù) = 總產(chǎn)量（一定）所以每公頃的產(chǎn)量和公頃數(shù)成反比例。例7、（辨析）和一定，一個(gè)加數(shù)和另一個(gè)加數(shù)成反比例。分析與解：判斷兩個(gè)變量是否成反比例，關(guān)鍵是看兩個(gè)變量的乘積是否一定。很明顯，和一定，兩個(gè)加數(shù)的積是變化的，所以它們不成反比例。和一定，一個(gè)加數(shù)和另一個(gè)加數(shù)不成反比例。因?yàn)樗鼈兊姆e不一定。點(diǎn)評：有些相關(guān)聯(lián)的量，雖然也是一種量變化，另一種量也隨著變化，但它們不是積一定，也不是比值一定，它們就不成比例。像這樣的還有：人的跳高高度和身高；減數(shù)一定，被減數(shù)和差等。例8、（綜合題1）（1）長方形的面積一定，長和寬成反比例嗎？為什么？（2）長方形的周長一定，長和寬成反比例嗎？為什么？分析與解：判斷時(shí)可以用列表的方式列舉數(shù)據(jù)，也可以根據(jù)計(jì)算的公式來推導(dǎo)。（1）因?yàn)殚L方形的長 寬 = 長方形的面積（一定），所以長和寬成反比例。（2）長方形的周長 = （長+寬） 2 ，長方形的周長一定，長+寬的和一定，但不是積一定，所以長和寬不成反比例。例9、（綜合題2）分別說明大米的總千克數(shù)、每天吃的千克數(shù)和天數(shù)這三種量中，每兩種量的比例關(guān)系。（1）大米的總千克數(shù)一定，每天吃的千克數(shù)和天數(shù)；（2）每天吃的千克數(shù)一定，大米的總千克數(shù)和天數(shù)；（3）天數(shù)一定，大米的總千克數(shù)和每天吃的千克數(shù)。分析與解：在大米的總千克數(shù)、每天吃的千克數(shù)和天數(shù)這三種量中，當(dāng)某一種量一定時(shí)，另外兩種量可能成正比例關(guān)系，也可能成反比例關(guān)系?？梢愿鶕?jù)數(shù)量關(guān)系式來判斷。（1）因?yàn)槊刻斐缘那Э藬?shù) 天數(shù) = 大米的總千克數(shù)（一定），所以大米的總千克數(shù)一定時(shí)，每天吃的千克數(shù)和天數(shù)成反比例。（2）因?yàn)?= 每天吃的千克數(shù)（一定），所以每天吃的千克數(shù)一定時(shí)，大米的總千克數(shù)和天數(shù)成正比例。（3）因?yàn)?= 天數(shù)（一定），所以天數(shù)一定時(shí)，大米的總千克數(shù)和每天吃的千克數(shù)成正比例。【模擬試題】1、仔細(xì)觀察每張表格，思考表格中兩種量之間有關(guān)系嗎？有什么關(guān)系？為什么？表格1數(shù)量/本13681020總價(jià)/元41224324080表格2單價(jià)/元1.523456總價(jià)/元6812162024表格3 用60元錢購買筆記本，筆記本的單價(jià)和可以購買的數(shù)量如下表：單價(jià)/元1.523456數(shù)量/本4030201512102、用一批紙裝訂練習(xí)本，每本25頁，可以裝訂400本。如果要裝訂500本，每本有X頁。題中（ ）量一定，關(guān)系式：（ ）（ ）（ ）（一定），（ ）和（ ）成（ ）比例。3、一間會(huì)客室地面用邊長0.3米的正方形地磚鋪，需要640塊。如果改用邊長0.4米的正方形地磚，需要Y塊。題中（ ）量一定，關(guān)系式：（ ）（ ）（ ）（一定），（ ）和（ ）成（ ）比例。4、在圓柱的側(cè)面積、底面周長、高這三種量中 當(dāng)?shù)酌嬷荛L一定時(shí)，（ ）與（ ）成（ ）比例； 當(dāng)高一定時(shí)，（ ）與（ ）成（ ）比例； 當(dāng)側(cè)面積一定時(shí)，（ ）與（ ）成（ ）比例。5、在被除數(shù)、除數(shù)、商這三種量中， 當(dāng)（ ）一定時(shí)，（ ）與（ ）成正比例； 當(dāng)（ ）一定時(shí)，（ ）與（ ）成反比例；6、當(dāng) a b c（ a、b、c 為三種量，且均不為0）。 ( )一定，（ ）與（ ）成（ ）比例；（ ）一定，（ ）與（ ）成（ ）比例；（ ）一定，（ ）與（ ）成（ ）比例；7、判斷。（1）、工作總量一定，工作效率和工作時(shí)間成反比例。（ ）（2）、圖上距離和實(shí)際距離成正比例。（ ）（3）、X和Y表示兩種變化的相關(guān)聯(lián)的量，同時(shí)5X7Y0，X和Y不成比例。（ ）（4）、分?jǐn)?shù)的大小一定，它的分子和分母成正比例。 （ ）（5）、在一定的距離內(nèi)，車輪周長和它轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)成反比例。 （ ）（6）、兩種相關(guān)聯(lián)的量，不成正比例，就成反比例。 （ ）（7）訂閱小學(xué)數(shù)學(xué)評價(jià)手冊的份數(shù)與所需錢數(shù)成正比例。 ( )（8）在400米賽跑中，跑步的速度和所用時(shí)間成反比例。 ( )（9）工作總量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。 ( )（10）正方體的棱長和體積成正比例。 ( )（11）被除數(shù)一定，除數(shù)和商成反比例。 ( )（12）圓的周長和它的直徑成正比例。 ( )8、判斷下面每題中的兩種量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。（1）、裝配一批電視機(jī)，每天裝配臺(tái)數(shù)和所需的天數(shù)（ ）。（2）、正方形的邊長和周長（ ）。（3）、水池的容積一定，水管每小時(shí)注水量和所用時(shí)間（ ）。（4）、房間面積一定，每塊磚的面積和鋪磚的塊數(shù)（ ）。（5）、在一定時(shí)間里，加工每個(gè)零件所用的時(shí)間和加工零件的個(gè)數(shù)（ ）。（6）、在一定時(shí)間里，每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)和加工零件的個(gè)數(shù)（ ）。9、思考：明明三歲時(shí)體重12千克，十一歲時(shí)體重44千克。于是小張就說：“明明的體重和身高成正比例?！蹦阏J(rèn)為小張的說法對嗎？為什么？10、某造紙廠每小時(shí)造紙1.5噸，2小時(shí)、3小時(shí)各造紙多少噸？（1）把下表填寫完整。造紙時(shí)間/時(shí)1234造紙噸數(shù)/噸1.5（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在下圖中描出造紙時(shí)間和造紙噸數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)，再把它們連起來。 噸數(shù)/噸6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 時(shí)間/時(shí)（3）造紙噸數(shù)與造紙時(shí)間成正比例嗎？為什么？（4）根據(jù)圖像判斷， 5小時(shí)造紙多少噸？【試題答案】1、仔細(xì)觀察每張表格，思考表格中兩種量之間有關(guān)系嗎？有什么關(guān)系？為什么？表格1數(shù)量/本13681020總價(jià)/元41224324080 = 4， = 4， = 4 因?yàn)?= 單價(jià)（一定），所以單價(jià)一定時(shí)，總價(jià)和數(shù)量成正比例。表格2單價(jià)/元1.523456總價(jià)/元6812162024 = 4， = 4， = 4 因?yàn)?= 數(shù)量（一定），所以數(shù)量一定時(shí)，總價(jià)和單價(jià)成正比例。表格3 用60元錢購買筆記本，筆記本的單價(jià)和可以購買的數(shù)量如下表：單價(jià)/元1.523456數(shù)量/本4030201512101.5 40 = 60 ，2 30 = 60 ，4 15 = 60 因?yàn)閱蝺r(jià) 數(shù)量 = 總價(jià)（一定），所以總價(jià)一定時(shí)，單價(jià)和數(shù)量成反比例。2、用一批紙裝訂練習(xí)本，每本25頁，可以裝訂400本。如果要裝訂500本，每本有X頁。題中（ 紙的總頁數(shù) ）量一定，關(guān)系式：（ 每本頁數(shù) ） （ 裝訂本數(shù) ）（ 紙的總頁數(shù) ）（一定），（ 每本頁數(shù) ）和（ 裝訂本數(shù) ）成（ 反 ）比例。3、一間會(huì)客室地面用邊長0.3米的正方形地磚鋪，需要640塊。如果改用邊長0.4米的正方形地磚，需要Y塊。題中（ 會(huì)客室地面面積 ）量一定，關(guān)系式：（ 每塊磚的面積 ）（ 磚的塊數(shù) ）（ 會(huì)客室地面面積 ）（一定），（ 每塊磚的面積 ）和（ 磚的塊數(shù) ）成（ 反 ）比例。4、在圓柱的側(cè)面積、底面周長、高這三種量中 當(dāng)?shù)酌嬷荛L一定時(shí)，（ 側(cè)面積 ）與（ 高 ）成（正）比例； 當(dāng)高一定時(shí)，（ 側(cè)面積 ）與（ 底面周長 ）成（正）比例； 當(dāng)側(cè)面積一定時(shí)，（ 底面周長 ）與（ 高 ）成（ 反 ）比例。5、在被除數(shù)、除數(shù)、商這三種量中， 當(dāng)（ 除數(shù) ）一定時(shí)，（ 被除數(shù) ）與（ 商 ）成正比例； 當(dāng)（ 被除數(shù) ）一定時(shí)，（ 除數(shù) ）與（ 商 ）成反比例；6、當(dāng) a b c（ a、b、c 為三種量，且均不為0）。 ( c )一定，（ a ）與（ b ）成（ 反 ）比例；（ a ）一定，（ c ）與（ b ）成（ 正 ）比例；（ b ）一定，（ c ）與（ a ）成（ 正 ）比例；7、判斷。（1）、工作總量一定，工作效率和工作時(shí)間成反比例。 （ ）（2）、圖上距離和實(shí)際距離成正比例。 （ ）（3）、X和Y表示兩種變化的相關(guān)聯(lián)的量，同時(shí)5X7Y0，X和Y不成比例。（ ）（4）、分?jǐn)?shù)的大小一定，它的分子和分母成正比例。 （ ）（5）、在一定的距離內(nèi)，車輪周長和它轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)成反比例。 （ ）（6）、兩種相關(guān)聯(lián)的量，不成正比例，就成反比例。 （ ）（7）訂閱小學(xué)數(shù)學(xué)評價(jià)手冊的份數(shù)與所需錢數(shù)成正比例。 ( )（8）在400米賽跑中，跑步的速度和所用時(shí)