北師大版數(shù)學(xué)必修四：《任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義與周期性》導(dǎo)學(xué)案(含解析).docx

第3課時(shí)任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義與周期性1.理解通過單位圓引入任意角的正弦函數(shù)的意義.2.掌握任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義,能利用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)寫出正弦函數(shù)值與余弦函數(shù)值.掌握特殊角的正弦、余弦函數(shù)值.3.理解并掌握終邊相同的角的正弦、余弦函數(shù)值相等.4.了解周期函數(shù)的定義,并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.在初中由于學(xué)習(xí)的知識(shí)不夠深入和認(rèn)知的差異,為了便于理解銳角三角函數(shù)的概念,我們以銳角為其中一個(gè)角構(gòu)造一個(gè)直角三角形,利用不同邊的比值定義了該銳角的三角函數(shù)(正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)),但這種定義顯然不適應(yīng)任意角的三角函數(shù)的定義,這節(jié)課我們將要探尋任意角的三角函數(shù)的本質(zhì)是什么?并能對(duì)任意角的三角函數(shù)給出一個(gè)科學(xué)合理的定義.問題1:一般地,在直角坐標(biāo)系中(如圖),對(duì)任意角,它的終邊與圓交于點(diǎn)P(a,b),則比值叫作角的,記作:sin =;比值叫作角的,記作:cos =,r=.當(dāng)r=1時(shí),任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(a,b),我們可以唯一確定點(diǎn)P(a,b),點(diǎn)P的縱坐標(biāo)b是的函數(shù),稱為函數(shù),記作:;點(diǎn)P的橫坐標(biāo)a是的函數(shù),稱為余弦函數(shù),記作:.通常我們用x,y分別表示自變量與因變量,將正弦函數(shù)表示為,正弦函數(shù)值有時(shí)也叫正弦值;將余弦函數(shù)表示為,余弦函數(shù)值有時(shí)也叫余弦值.問題2:終邊相同的角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值,即若=+2k(kZ),則sin sin ,cos cos .問題3:正、余弦函數(shù)值的符號(hào)(1)表格表示象限三角函數(shù)第一象限第二象限第三象限第四象限sin cos 問題4:周期函數(shù)的有關(guān)概念(1)一般地,對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在常數(shù)T,對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x值,都有 ,我們就把f(x)稱為周期函數(shù),T稱為這個(gè)函數(shù)的.(2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù),為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期.如-2,2,4等都是它們的周期.其中2是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中最小的一個(gè),稱為.1.若sin 0,則的終邊(不含端點(diǎn))在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-6,8),則cos 的值為().A.-B.C.-D.3.若點(diǎn)P在角的終邊上,且|OP|=2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.4.在時(shí)鐘鐘面上,分針從如圖位置開始順時(shí)針走動(dòng),當(dāng)分針走過1125時(shí),求分針針尖到分針起始位置OA的距離(即A到OA的距離,設(shè)分針長(zhǎng)為r cm).判斷正弦、余弦函數(shù)值的符號(hào)判斷下列各式的符號(hào).(1)cos(-345);(2)sin 175 cos 248.周期函數(shù)的證明已知f(x+2)=-f(x),求證:f(x)是周期函數(shù),并求出它的一個(gè)周期.利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義求值已知角的終邊在直線y=-x上,求cos -的值.若角的終邊落在直線y=-x上,求+的值.若函數(shù)f(x)是以為周期的奇函數(shù),且f()=1,求f(-)的值. 已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x,-) (x0),且cos =x,求sin +的值. 1.等于().A.B.C.-D.2.已知cos sin 0,那么角是().A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第二或第四象限角D.第一或第四象限角3.求下列式子的值:(1)sin=;(2)cos 405=.4.已知函數(shù)f(x)在其定義域上都有f(x+1)=-,求證:f(x)是以2為周期的周期函數(shù).(2011年江西卷)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸的正半軸,若P(4,y)是角終邊上一點(diǎn),且sin =-,則y=.考題變式(我來改編):第3課時(shí)任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義與周期性知識(shí)體系梳理問題1:正弦余弦角正弦y=sin (R)角y=cos (R)y=sin x(xR)y=cos x(xR)問題2:相同相同=問題3:正正負(fù)負(fù)正負(fù)負(fù)正問題4:(1)非零f(x+T)=f(x)周期(2)2k(kZ,k0)最小正周期基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.Dsin 0,可知在第一、四象限及x軸的正半軸上,故在第四象限.2.Acos =-.3.(-1,)x=|OP|cos =2(-)=-1,y=|OP|sin =.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,).4.解:1125=3603+45,d=rsin 45=r(cm).重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】(1)-345=-360+15是第一象限角,cos(-345)0.(2)175是第二象限角,248是第三象限角,sin 1750,cos 2480,sin 175 cos 2480)進(jìn)行分類討論.于是,正確解答如下:在角的終邊上取一點(diǎn)P1(4,-3).則r=|OP1|=5.于是sin =-,cos =,cos -=.在角的終邊上取一點(diǎn)P2(-4,3).則r=|OP2|=5.于是sin =,cos =-,cos -=-=-.綜上,cos -的值為或-.【小結(jié)】(1)在角的終邊上取點(diǎn),利用定義求sin ,cos ;(2)若終邊落在直線上,則需分兩種情況討論.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:當(dāng)?shù)慕K邊落在第二象限時(shí),+=+=0;當(dāng)?shù)慕K邊落在第四象限時(shí),+=+=0.+=0.應(yīng)用二:f(x)是以為周期的奇函數(shù),f(-)=-f()=-f(3+)=-f()=-1.應(yīng)用三:P(x,-)(x0),點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r=.又cos =x,cos =x.x0,x=,r=2.當(dāng)x=時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,-),由三角函數(shù)的定義,有sin =-,=-,sin +=-=-;當(dāng)x=-時(shí),同理,可求得sin +=.基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.B=|sin 120|=.2.C若cos 0,sin 0,則在第四象限;若cos 0,則在第二象限.故選C.3.(1)1(2)(1)sin=sin(+6)=sin=1.(2)cos 405=cos(45+360)