ula-GF——基于股票股票指數(shù)外匯市場期權(quán)的實(shí)證研究.doc

Copula擬合優(yōu)度檢驗(yàn)有什么實(shí)際用途？基于股票、商品、外匯期權(quán)的實(shí)驗(yàn)證據(jù)摘要：在文中，最優(yōu)Copula-VaR模型和幾個(gè)Copula擬合優(yōu)度測試的用處在于對股票、商品、外匯期貨實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)全面實(shí)證研究的分析。實(shí)際上，我試圖回答兩個(gè)問題：（1）那個(gè)參數(shù)估計(jì)Copula函數(shù)是給定線性資產(chǎn)組合的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)值（VaR）估計(jì)和最優(yōu)期望損失（ES）估計(jì)；（2）如何在給定樣本條件下確定最優(yōu)VaR和ES參數(shù)Copula函數(shù)。為了回答這些問題，從超過8種不同時(shí)間窗口的435組線性資產(chǎn)組合估計(jì)12，000組二元投資組合的VaR和ES。結(jié)果顯示，雖然GARCH邊際Copula模型VaR估計(jì)比相關(guān)基礎(chǔ)模型估計(jì)好，但是最優(yōu)Copula參數(shù)形式的確定還是一個(gè)未解決的嚴(yán)重問題。對三個(gè)國家Copula模型擬合優(yōu)度測試方法的分析表明，沒有一個(gè)測試能夠明確的確定最優(yōu)參數(shù)形式。除這些結(jié)論之外，超過80%的組合認(rèn)為，所有五個(gè)參數(shù)Copula模型ES估計(jì)比實(shí)際組合高估或低估的相關(guān)基礎(chǔ)估計(jì)差。而且，回顧測試表明，最優(yōu)參數(shù)Copula既依靠風(fēng)險(xiǎn)的措施，又依靠時(shí)間的變化。1.介紹Copula模型已經(jīng)成為統(tǒng)計(jì)依賴結(jié)構(gòu)之間建模和分析的主要工具，隨機(jī)變量之間遵從一個(gè)事實(shí)：與線性相關(guān)相反，Copula完全抓住了隨機(jī)向量內(nèi)在結(jié)構(gòu)之間的獨(dú)立性。特別在金融領(lǐng)域，Copula常被運(yùn)用于市場風(fēng)險(xiǎn)組合的價(jià)值風(fēng)險(xiǎn)（VaR）計(jì)算或信用違約風(fēng)險(xiǎn)建模。許多研究都試圖回答這些問題：參數(shù)Copula是最優(yōu)的組合價(jià)值風(fēng)險(xiǎn)（VaR）估計(jì)以及這個(gè)最優(yōu)參數(shù)Copula如何通過擬合優(yōu)度測試（GoF）事先預(yù)測。然而，以前幾乎所有基于Copula-VaR模型的實(shí)證研究只是通過相對較少的資產(chǎn)數(shù)量提供零星的數(shù)據(jù)在二元情況下進(jìn)行分析。另外，基于Copula擬合優(yōu)度測試（GoF）的模擬研究大多假設(shè)邊際是知道的，而沒有考慮擬合優(yōu)度測試（GoF）對VaR計(jì)算的失效性。如果邊際不明或者指定錯(cuò)誤，這些在實(shí)際中是常有的情況，那么，這些對VaR估計(jì)的Copula擬合優(yōu)度測試（GoF）的作用則保持相對的未知。在文中，我分析了最優(yōu)的二元Copula-VaR模型以及通過各種資產(chǎn)分類在全面實(shí)證研究的基礎(chǔ)上分析對Copula一些擬合優(yōu)度測試（GoF）的用處。實(shí)際上，我試圖回答兩個(gè)問題：（1）那個(gè)參數(shù)估計(jì)Copula函數(shù)是給定線性資產(chǎn)組合的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)值（VaR）估計(jì)和最優(yōu)期望損失（ES）估計(jì)；（2）如何在給定樣本條件下確定最優(yōu)VaR和ES參數(shù)Copula函數(shù)。為了回答這些問題，從超過8種不同時(shí)間窗口的435組線性資產(chǎn)組合估計(jì)12，000組二元投資組合的VaR和ES。具體而言，我使用了美國、歐洲、亞洲的股票、股票指數(shù)、外匯期權(quán)和商品價(jià)格，在組合風(fēng)險(xiǎn)分散的眾多機(jī)會中進(jìn)行實(shí)證研究。在每一個(gè)組合中，來自1000個(gè)交易日滾動(dòng)時(shí)間窗口和往回的750個(gè)交易日，至少有五個(gè)不同的Copula-GARCH模型進(jìn)行估計(jì)。在這些模型中，假定邊際服從GARCH模型（1,1）過程交代的可能條件異方差數(shù)據(jù)。本文的貢獻(xiàn)或創(chuàng)新很多，并且通過幾方面擴(kuò)展了以前的實(shí)證研究。第一，這篇文章第一次實(shí)證研究評估了對最優(yōu)VaR、ES參數(shù)Copula選擇的特定Copula擬合優(yōu)度測試（GoF）的適用性。這項(xiàng)研究第一次表明，在參數(shù)Copula對金融數(shù)據(jù)的設(shè)置擬合中，大部分GoF測試不能選擇參數(shù)Copula最優(yōu)的VaR和ES估計(jì)。第二，本文是第一個(gè)在以前最優(yōu)家庭參數(shù)Copula建模市場風(fēng)險(xiǎn)選擇研究上進(jìn)行概括。第三，通過使用VaR、ES和幾個(gè)適合Copula模型的時(shí)間窗口，我試圖明晰這個(gè)問題：是否最優(yōu)參數(shù)Copula家庭和GoF測試的建議質(zhì)量獨(dú)立于時(shí)間和風(fēng)險(xiǎn)措施使用的選擇。結(jié)果顯示，ES估計(jì)是非常不好的。第四，基于使用更多靈活混合Copula的擴(kuò)張近期結(jié)果顯示，這些模型的大部分組合不能提高標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)Copula的結(jié)果。第五，通過Hobak Haff,Aas,Frigessi,Diks,Panchenko 和van Dijk選擇最優(yōu)Copula，采用了KullbackLeibler Information Criterion (KLIC)。本文剩下的部分是這樣安排的。第二部分介紹了相關(guān)的理論和基于Copula模型VaR估計(jì)的實(shí)證文獻(xiàn)，以及參數(shù)Copula家庭系數(shù)的選擇。第三部分討論了Copula-GARCH模型在實(shí)證研究中的應(yīng)用。第四部分介紹了數(shù)據(jù)以及實(shí)證研究的輪廓，第三小節(jié)給出了結(jié)果。第五部分結(jié)論。2.相關(guān)文獻(xiàn)以及假設(shè)發(fā)展基于對VaR估計(jì)參數(shù)Copula家庭的最優(yōu)選擇實(shí)證研究或多或少可以分為三組。第一組，作者常常發(fā)現(xiàn)橢圓（elliptical）Copula函數(shù)是最優(yōu)的。Malevergne和Sornette：第一個(gè)對直線資產(chǎn)依賴結(jié)果構(gòu)建最優(yōu)Copula模型的實(shí)證研究。第二組，研究發(fā)現(xiàn)最優(yōu)阿基米德（Arvhimedean）Copula函數(shù)。Junker與May(2005)在他們研究中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)與橢圓（elliptical）Copula相比時(shí)，用GARCH邊際轉(zhuǎn)變Frank Copula能提高VaR和ES的估計(jì)，但他們的結(jié)論是基于德國的單獨(dú)二元組合的分析。另外，他們只考慮對一般分布的GoF檢驗(yàn)而沒有考慮Copula函數(shù)的特性。Palaro和Hotta(2006)對構(gòu)成S&P500和NASDAQ指數(shù)的二元組合進(jìn)行研究也發(fā)現(xiàn)或多或少一樣的結(jié)論。他們發(fā)現(xiàn)，對稱Joe-Clayton Copula函數(shù)同GARCH邊際一起表現(xiàn)比橢圓(elliptical)Copula模型要好。第三組，近期研究發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)參數(shù)Copula函數(shù)以及資產(chǎn)回報(bào)之間的獨(dú)立性結(jié)構(gòu)和力量是隨時(shí)間變化的。為了研究這個(gè)問題，Rodriguez(2007)，Okimoto(2008)，Chollette，Heinen,和Valdesogo(2009)與Markwat，Kole和van Dijk（2010）開始的幾個(gè)研究利用混合Copula允許Copula參數(shù)形式隨時(shí)間變化。因此，我在實(shí)證研究中額外使用混合Copula為了檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè):與非條件Copula模型相比，是否越多靈活混合Copula模型，VaR和ES估計(jì)越好。以上幾個(gè)研究的共同特性是，當(dāng)用于VaR估計(jì)和最優(yōu)參數(shù)Copula家庭時(shí)Copula模型表現(xiàn)比相關(guān)基礎(chǔ)模型好。在提出假設(shè)前，我們首先要分清最優(yōu)Copula模型：第一個(gè)不等式表明：最優(yōu)Copula模型VaR和ES估計(jì)應(yīng)該接近預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)措施價(jià)值。第二個(gè)不等式表明：最優(yōu)Copula模型估計(jì)不應(yīng)該低于實(shí)際組合風(fēng)險(xiǎn)。假設(shè)1：對于每一個(gè)組合與每一個(gè)時(shí)間窗口估計(jì)，這里存在一個(gè)最優(yōu)參數(shù)Copula家庭（或混合Copula），這樣相應(yīng)的Copula-GARCH模型VaR與ES估計(jì)比相關(guān)基礎(chǔ)模型估計(jì)要好，因?yàn)闆]有低估組合風(fēng)險(xiǎn)。假設(shè)2：不管風(fēng)險(xiǎn)措施和時(shí)間估計(jì)的使用，對于每一個(gè)組合分析Gaussian/Student t/Clayton/Frank/Gumbel copula的VaR和ES估計(jì)比相關(guān)基礎(chǔ)模型估計(jì)要好，并且剩余的參數(shù)Copula模型沒有低估組合風(fēng)險(xiǎn)。也就是說，最優(yōu)VaR和ES模型在混合Copula模型中給出。假設(shè)3：對于一個(gè)給定的組合，最優(yōu)參數(shù)Copula的選擇獨(dú)立于風(fēng)險(xiǎn)措施和時(shí)間窗口，由于時(shí)間系列用來擬合模型的。假設(shè)4：對于一個(gè)組合，最優(yōu)VaR參數(shù)Copula通過使用一個(gè)（或多個(gè)）目前特別的Copula擬合優(yōu)度測試（GoF）或KLIC能夠在樣本中識別。3.對價(jià)值風(fēng)險(xiǎn)（VaR）和預(yù)期損失（ES）估計(jì)的Copula模型3.1參數(shù)Copula函數(shù)Copula分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是由Sklar（1959）和Hoeffding（1940）建立的?？紤]隨機(jī)向量X=（X1，Xd），d維聯(lián)合分布函數(shù)（cdf）G和邊際cdf F1,.，F(xiàn)d。定理 5：讓Ft,Gt為連續(xù)分布，Ht為聯(lián)合二元條件分布，Ct就是唯一存在的條件Copula函數(shù)。Gaussian Copula:Studentt 分布Td:D維t分布：Frank Copula函數(shù)：Cdf:Clayton copula:二元Gaussian copula參數(shù)：經(jīng)過改進(jìn)的方程：本研究所使用的聯(lián)合Copula函數(shù)：3.2Copula-GARCH模型Rit表示資產(chǎn)i的二元時(shí)間系列的滯后回報(bào)。第一，預(yù)測時(shí)間跨度T。在估計(jì)期間，描述d維條件Copula參數(shù)配合rit. Uit觀測代替樣本Rit：第二，對于二元時(shí)間系列滯后回報(bào)，時(shí)間K每一天t的預(yù)測對GARCH模型的模擬符合時(shí)間t-1的觀測。同理：在本文實(shí)證研究中，設(shè)定。VaR超標(biāo)建模為：3.3Copula擬合優(yōu)度測試（GoF）3.3.1基于Copula實(shí)證過程的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)最近提出的大多數(shù)有關(guān)Copula的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，都是基于Deheuvels實(shí)證Copula和Copula參數(shù)的假設(shè)之間的比較。Deheuvels從獨(dú)立分布的估計(jì)中提出的實(shí)證Copula估計(jì)定義如下：第一類最低距離估計(jì)者在這文章中將會考慮基于實(shí)證過程：基于CE的Cramrvon-Mises 和 KolmogorovSmirnov的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：3.3.2基于Kendall的依附函數(shù)的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)實(shí)證研究中第二類擬合優(yōu)度經(jīng)驗(yàn)（GoF）由 Savu和Trede（2008），Genest,Quessy,和Remillard（2006）提出，是基于Kendall的概率積分轉(zhuǎn)換。隨機(jī)向量X結(jié)合cdf G和邊際Fi:K是V概率積分轉(zhuǎn)換cdf，V t=Ce:基于實(shí)證過程的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)：特別統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)：3.3.3基于Rosenblatts轉(zhuǎn)換的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)第三類擬合優(yōu)度測試（GoF）由Rosenblatt提出，是基于Rosenblatt的概率積分轉(zhuǎn)換，它獎(jiǎng)一系列相關(guān)變量轉(zhuǎn)換為獨(dú)立變量U(0;1)，給出多元分布。Rosenblatts的X轉(zhuǎn)換：一種用于Cramrvon-Mises統(tǒng)計(jì)的實(shí)證版本： 3.3.4基于KLIC (KullbackLeibler information criterion)準(zhǔn)則的Copula選擇擬合優(yōu)度測試（GoF）僅僅只能夠回答一個(gè)確定的參數(shù)Copula是否能夠很好的擬合一個(gè)數(shù)據(jù)集合，最近也被Diks et al. (2010)擴(kuò)展用為KLIC (KullbackLeibler information criterion)準(zhǔn)則。KLIC可以用來比較一系列參數(shù)Copula函數(shù)的適合性，它測量給定給定Copula密度與實(shí)際Copula密度的偏差。copula KLIC定義為： 在實(shí)證研究中，用擬合優(yōu)度測試（GoF）的結(jié)果基于它們的KLICs比較選擇參數(shù)Copula函數(shù)，為的回答，是否最優(yōu)參數(shù)Copula函數(shù)的選擇可以順利的通過擬合優(yōu)度測試(GoF)和信息原則。4.實(shí)證研究本文研究的主要目的是為了估計(jì)足夠大組合的VaR和ES，并且后臺測試相關(guān)Copula基礎(chǔ)模型估計(jì)的結(jié)果。使用大量組合以及選擇實(shí)證研究方法的主要?jiǎng)訖C(jī)是希望獲得風(fēng)險(xiǎn)管理的Copula-GARCH模型的缺陷和好處結(jié)果普遍接受的愿望。4.1實(shí)證研究設(shè)計(jì)（1）1500組投資組合的隨機(jī)組成：1500組不同投資組合由直線資產(chǎn)集組成。為了實(shí)現(xiàn)相對異質(zhì)組合，對模擬組合的第一類資產(chǎn)從四類資產(chǎn)中選擇作為統(tǒng)一的資產(chǎn)，而投資組合的第二類資產(chǎn)從相同類型的資產(chǎn)中被隨機(jī)選擇。換言之，一類資產(chǎn)同相同類型資產(chǎn)的不同資產(chǎn)隨機(jī)結(jié)合。（2）時(shí)間窗口的選擇：所有估計(jì)的投資組合是八種不同時(shí)間窗口的重復(fù)，每一個(gè)組合由估計(jì)窗口跨度1000個(gè)交易日且回測窗口跨度750個(gè)交易日組成。（3）單變量模型：預(yù)測期內(nèi)對于每一個(gè)投資組合的每一天t， 所描述的GARCH模型（1,1）被安排在每一個(gè)投資組合資產(chǎn)1000個(gè)日志回報(bào)前預(yù)測。（4）多變量模型：單變量VaR和ES首先通過標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)基礎(chǔ)模型的使用結(jié)合。而且，所描述的條件Copula和混合Copula被安排在通過規(guī)范性最大似然的時(shí)間t上的1000個(gè)觀測值。（5）模型估計(jì)：對于每一個(gè)投資組合，五個(gè)Copula模型的擬合根據(jù)1000個(gè)初始觀測值通過使用三個(gè)描述的擬合優(yōu)度測試估計(jì)。另外，有關(guān)Kullback-Leibler Information Criterion的最優(yōu)擬合Copula模型也要決定。（6）后臺測試：通過比較實(shí)際VaR,ES與模型估計(jì)以及條件覆蓋的VaR-模型所描述的覆蓋測試，我們可以充分評估模型估計(jì)投資組合風(fēng)險(xiǎn)的能力。4.2數(shù)據(jù)和統(tǒng)計(jì)總結(jié) 在實(shí)證研究中，我使用股票、股票指數(shù)、外匯期貨和商品每天的回報(bào)以實(shí)現(xiàn)相對異質(zhì)組合的多樣化機(jī)會。數(shù)據(jù)包括EU股票指數(shù), NYSE U.S. 100 指數(shù)和TOPIX 100 指數(shù)，DowJones Stoxx 50, the Hang Seng, the FTSE 100，NASDAX100，NASDAQ主要組成指數(shù)列表中所有公司的股票。除了股票的回報(bào)，我使用了美國美元對日元，瑞士法郎和英鎊，英鎊對瑞士法郎以及如原油、棉花或黃金商品的外匯期貨匯率。我使用的數(shù)據(jù)來自Datastream湯姆森金融公司，時(shí)間1998年11月3日至2008年6月2日。表一列出了樣品的資產(chǎn)類別的回報(bào)匯總統(tǒng)計(jì)摘要：4.3結(jié)果首先，比較了各種模型樣本以外投資組合損失的VaR 和ES 估計(jì)，如下Fig.1.相應(yīng)的，預(yù)期損失估計(jì)的結(jié)果顯示在Fig.2.由Fig.1.和Fig.2.可知，correlation-based和Gumbel copula高估的投資組合風(fēng)險(xiǎn)，其他的正常。為了回答這些不同類型資產(chǎn)的結(jié)果仍然保持有效，F(xiàn)ig.3.Fig.6.相應(yīng)顯示了對商品和非商品兩種樣本VaR和ES估計(jì)的直方圖和密度。Fig.3. ：276組商品投資組合的直方圖Fig.4. ：1224組非商品投資組合的直方圖Fig.5. ：276組商品投資組合的kernel密度Fig.6. :1224組非商品投資組合的kernel密度從Fig.3. 和Fig.4.中我立刻看到，投資組合的不同資產(chǎn)類別直接影響Copula模型VaR估計(jì)的質(zhì)量：在Fig.4. 中，Copula-GARCH模型低估了非商品投資組合的VaR，F(xiàn)ig.3.中，商品投資組合的組合風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)得又更好。 Fig.5. Fig.6.類似。表二顯示了分析結(jié)果：假設(shè)2下，為了回答上面描述的Copula模型VaR和ES估計(jì)那個(gè)最優(yōu)。要做到這一點(diǎn)，我重新分類了投資組合，根據(jù)對應(yīng)的參數(shù)Copula形式，至少有一個(gè)Copula模型是最優(yōu)的。結(jié)果顯示在表三：關(guān)于最優(yōu)參數(shù)Copula函數(shù)的形式是不是隨時(shí)間而變化的問題，我計(jì)算了在兩個(gè)時(shí)間窗口重疊的250個(gè)貿(mào)易日最優(yōu)參數(shù)Copula函數(shù)形式變換的概率。概率結(jié)果顯示在表4：表4結(jié)果再次顯示，最優(yōu)參數(shù)Copula函數(shù)不隨時(shí)間而變化。下一步，為了回答一個(gè)或多個(gè)特別描述的Copula擬合優(yōu)度測試（GoF）是否能夠識別最優(yōu)參數(shù)Copula函數(shù)形式（假設(shè)4）的問題。這個(gè)結(jié)果測試顯示于表5和表6：接下來，我嘗試回答的問題是混合Copula函數(shù)或者Kullback-Leibler 信息標(biāo)準(zhǔn)（Information Criterion ）能夠幫助減輕之前發(fā)現(xiàn)的參數(shù)Copula函數(shù)的弱點(diǎn)。對于混合Copula函數(shù)，接下來的Fig.7.和Fig.8.顯示了第一時(shí)間窗口1500組投足組織的估計(jì)值減去預(yù)期的VaR值以及相應(yīng)ES估計(jì)結(jié)果。Fig.7. ：Fig.8. ：相應(yīng)ES估計(jì)結(jié)果最后，我分析了KLIC選擇VaR和ES最優(yōu)參數(shù)Copula函數(shù)的有用性。同時(shí)，我分析了最優(yōu)參數(shù)或混合Copula函數(shù)通過KLIC在樣本中識別的投資組合百分比。在表7中，我們看到，對歐洲股票組成的大部分投資組合，KLIC并不能識別最優(yōu)的VaR參數(shù)Copula函數(shù)。5.結(jié)論本文的目的是為了分析最優(yōu)二元copula-VaR模型