高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.3 冪函數(shù)命題與探究 新人教A版必修1.docVIP

2.3 冪函數(shù)問題探究 問題 如何理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義? 探究:分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不可理解為個a相乘,它是根式的一種新的寫法.規(guī)定= (a0,m、n都是正整數(shù),n1), = (a0,m、n都是正整數(shù),n1),在這樣的規(guī)定下,根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示相同意義的量,它們只是形式上的不同而已.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義,負(fù)數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是否有意義,應(yīng)視m、n的具體數(shù)而定.典題精講例1:若(a+1(3-2a,則a的取值范圍是_.思路解析: 因?yàn)楹瘮?shù)y=在0,+上單調(diào)，所以y=在0,+上單調(diào)減，所以解得a.答案:( ,)例2:已知0a1,試比較aa,(aa)a,的大小.思路分析:利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.解:為比較aa與(aa)a的大小,將它們看成指數(shù)相同的兩個冪.由于冪函數(shù)f(x)=xa(0a1)在區(qū)間0，+上是增函數(shù)，因此只需比較底數(shù)a與aa的大小.由于指數(shù)函數(shù)y=az(0a1)是減函數(shù),且a1,所以aaa從而aa(aa)a.比較aa與(aa)a的大小,也可將它們看成底數(shù)相同(都是aa)的兩個冪,于是可以利用指數(shù)函數(shù)y=bx(b=aa,0b1)是減函數(shù),由a1,得到aa(aa)a. 由于aaa,函數(shù)y=az(0a(aa).綜上,得 aa(aa)a.例3:圖2-3-2中曲線是冪函數(shù)y=x在第一象限的圖象,已知取2,四個值,則對應(yīng)于曲線c1,c2,c3,c4的指數(shù)依次為( )圖2-3-2a.-2,- ,2 b.2, ,-,-2c.- ,-2,2, d.2, ,-2,- 思路解析: 要確定一個冪函數(shù)y=x在坐標(biāo)系內(nèi)的分布特征,就要弄清冪函數(shù)y=x隨著值的改變圖象的變化規(guī)律.隨著的變大,冪函數(shù)y=x的圖象在直線x=1的右側(cè)從低向高分布.從圖中可以看出,直線x=1右側(cè)的圖象,由低向高依次為c1,c2,c3,c4,所以依次為2, ,-,-2,故選擇答案b.答案:b例4:畫函數(shù)y=1+的草圖,并求出其單調(diào)區(qū)間.思路分析:此函數(shù)的作圖有兩個途徑,一是根據(jù)描點(diǎn)的方法作圖,二是利用坐標(biāo)系的平移來作圖.一般說來,作草圖時,利用坐標(biāo)平移較為方便.解:由y=1+,得y-1=,y=+1.此函數(shù)的圖象可由下列變換而得到:先作函數(shù)y=的圖象,作其關(guān)于y軸的對稱圖象,即y=的圖象,將所得圖象向右平移3個單位,向上平移1個單位,即為y=1+的圖象(如圖2-3-3所示).圖2-3-3例5:若冪函數(shù)f(x)=(mz)的圖象與坐標(biāo)軸沒有公共點(diǎn),且關(guān)于y軸對稱,求f(x)的表達(dá)式.思路分析:要求冪函數(shù)y= (mz)的解析式,也就是求整數(shù)m,考慮到該冪函數(shù)的圖象特征:1與坐標(biāo)軸無公共點(diǎn),2關(guān)于y軸對稱,可知指數(shù)m2-2m-30且m2-2m-3為偶數(shù)(mz),容易解得m的值,進(jìn)而得到f(x).解:由題意知,冪函數(shù)f(x)= (mz)在第一象限內(nèi)遞減(或無增減性),且為偶函數(shù),m2-2m-30,且m2-2m-3為偶數(shù),mz.由得m=0,1,2,-1,3.