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橢圓中面積背景下的綜合問題典型問題已知直線與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),記與軸的交點(diǎn)為C()若,且,求此時(shí)面積;()若,求面積的最大值,及此時(shí)橢圓的方程ABCOxy解題過程()設(shè)得,原點(diǎn)(0,0)到直線的距離為,所以,=(), 由,代入上式得:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí)又,因此所以,面積的最大值為,此時(shí)橢圓的方程為.變式拓展一已知橢圓方程為:,過它的兩個(gè)焦點(diǎn),分別作直線與,交橢圓于兩點(diǎn),交橢圓于兩點(diǎn),且求四邊形的面積的取值范圍。解題過程當(dāng)與中有一條直線的斜率不存在,則另一條直線的斜率為0,此時(shí)四邊形的面積為, 若與的斜率都存在,設(shè)的斜率為,則的斜率為 直線的方程為, 設(shè),聯(lián)立, (1) , , (2) 用代替(2)中的,得 , ,令, , , 綜上可知,四邊形面積的. 變式拓展二(2015衢州4月質(zhì)檢)已知橢圓: 設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),過的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn),記的內(nèi)切圓的面積為,求當(dāng)取最大值時(shí)直線的方程,并求出最大值解題過程 設(shè),的內(nèi)切圓半徑為,則 所以要使取最大值,只需最大 設(shè)直線的方程為 將代入可得(*) 恒成立,方程(*)恒有解, 記 在上遞減 當(dāng),此時(shí)變式拓展三(2009福建文改編)已知橢圓 的左、頂點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn),直線與直線分別交于兩點(diǎn), 當(dāng)線段MN的長度最小時(shí),在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn),使得的面積為?若存在,確定點(diǎn)的個(gè)數(shù),若不存在,說明理由解題過程直線AS的斜率顯然存在,且,故可設(shè)直線的方程為,從而, 得設(shè)則得, 即又,則直線為得, 故, ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值,此時(shí)的方程為, 要使橢圓上存在點(diǎn),使得的面積等于,只須到直線的距離等于,所以在平行于且與距離等于的直線上。設(shè)直線,則由,解得或 經(jīng)檢驗(yàn),不符合,舍去,所以橢圓上只存在一個(gè)使之成立。課后鞏固訓(xùn)練1、(2015溫州一模理)已知橢圓C: 的下頂點(diǎn)為B(0,1),B到焦點(diǎn)的距離為2.()設(shè)Q是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求|BQ|的最大值;()直線l過定點(diǎn)P(0,2)與橢圓C交于兩點(diǎn)M,N,若BMN的面積為,求直線l的方程.參考答案:解:(I)由橢圓的下頂點(diǎn)為知 由到焦點(diǎn)的距離為知所以橢圓的方程為 設(shè), 當(dāng)時(shí), (II)由題設(shè)可知的斜率必存在 由于過點(diǎn),可設(shè)方程為. 與聯(lián)立消去得 其(*)設(shè),則 解得或均符合(*)式,或所求方程為與.2、 (2015浙江理)已知橢圓對稱,ABOxy求實(shí)數(shù)的取值范圍;求面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).參考答案:或當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故面積的最大值為.3、(2015紹興高三上期末)已知橢圓(),其右頂點(diǎn)為,上、下頂點(diǎn)分別為,直線的斜率為,過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn)(,均在軸右側(cè))求橢圓的方程;設(shè)四邊形面積為,求的取值范圍參考答案:4、(2015湖州高三上期末) 已知橢圓()的右焦點(diǎn)為上頂點(diǎn)為過點(diǎn)作直線與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn),若,
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