第十講 綜合性問題.doc

第十講 綜合性問題l 高考風(fēng)向標(biāo)高考數(shù)學(xué)跨章節(jié)的綜合性問題的命題方向一般是：三角函數(shù)與向量，解析幾何與向量，函數(shù)與向量，函數(shù)與不等式，概率與實(shí)際應(yīng)用性問題，遞推數(shù)列與不等式證明，解析幾何與數(shù)列等等l 典型題選講例1已知向量，其中（）當(dāng)時(shí)，求值的集合；（）求的最大值講解（）由，得，即則，得 為所求（），所以有最大值為3點(diǎn)評(píng)向量與三角函數(shù)的結(jié)合是高考命題的一個(gè)亮點(diǎn)，年的高考當(dāng)中已經(jīng)有類似的考題例2 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，? 設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作直線和軸的垂線，垂足分別為 （1）求的值； （2）問：是否為定值？若是，則求出該定值，若不是，則說明理由； （3）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形面積的最小值 講解（1） ， . （2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有， 由點(diǎn)到直線的距離公式可知：， 故有，即為定值，這個(gè)值為1. （3）由題意可設(shè)，可知. 與直線垂直， ，即 ，解得 ，又， . ， ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立 此時(shí)四邊形面積有最小值點(diǎn)評(píng)本題是年上海市春季高考試題，它將函數(shù)、解析幾何與不等式綜合，題目新穎，但并不是難題對(duì)號(hào)函數(shù)是歷年高考命題的熱門話題例已知，奇函數(shù)在上單調(diào)（1）求的值及的范圍；（2）設(shè)，且滿足，求證：講解（1）因?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，恒成立，又在上單調(diào)，若在上單調(diào)遞減，則恒成立但在上不恒成立；若在上單調(diào)遞增，則恒成立在上最小值為，故只要，即綜上可知，（2）假設(shè)，若，由（1）知在上單調(diào)遞增，則且有，與矛盾；若，同理有且有，與矛盾；所以假設(shè)錯(cuò)誤因此點(diǎn)評(píng)第（2）小題也可以給出下面的證明：由（1）知設(shè)，由有于是兩式相減，得，即 即請(qǐng)你思考：哪一個(gè)證法比較簡單呢？例M(互相垂直的弦MP、MQ，求證：PQ恒過定點(diǎn)M（ （2）直線點(diǎn)M，使得MPQ為以PQ為斜邊的直角三角形？講解（1）設(shè)PQ的方程為，得 ，于是其中 ， 即， ，直線PQ的方程為即 （2）設(shè)M（上，所以的解，消去x得 點(diǎn)評(píng)消元思想是解答解析幾何試題的基本方法，它的程序是：代入消元，產(chǎn)生一元二次方程，韋達(dá)定理，判別式等例已知正項(xiàng)數(shù)列中，點(diǎn)在拋物線上；數(shù)列中，點(diǎn)在過點(diǎn)，以方向向量為的直線上（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，問是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，說明理由；（）對(duì)任意正整數(shù)，不等式成立，求正數(shù)的取值范圍講解（）將點(diǎn)代入中得（）（）由，點(diǎn)評(píng)解析幾何中曲線上的點(diǎn)列是高考的命題的一個(gè)新的亮點(diǎn)，而這種題型已經(jīng)是上海高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)針對(duì)性演練1. 某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，某顧客要購買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實(shí)際所得黃金 ( )A大于 B小于 C大于等于 D小于等于2. 在數(shù)列中，如果存在非零常數(shù)，使得對(duì)于任意的非零自然數(shù)均成立，那么就稱數(shù)列為周期數(shù)列，其中叫數(shù)列的周期。已知數(shù)列滿足，如果，當(dāng)數(shù)列的周期最小時(shí)，該數(shù)列前2005項(xiàng)的和是 ( )A668 B669 C1336 D1337EABCD3. 如圖，在ABC中，CABCBA300，AC、BC邊上的高分別為BD、AE，則以A、B為焦點(diǎn)，且過D、E的橢圓與雙曲線的離心率的倒數(shù)和為 ( )A. B. 1 C. 2 D. 24. 在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，有一個(gè)平面多邊形，它在xOy平面的正射影的面積為8，在yOz平面和zOx平面的正射影的面積都為6，則這個(gè)多邊形的面積為 ( )A. B. 2 C. D. 25. 如圖，在正方體中，P是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直線BC與直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是 ( ) A. 直線 B. 圓 C. 雙曲線 D. 拋物線6. 某地2004年第一季度應(yīng)聘和招聘人數(shù)排行榜前5個(gè)行業(yè)的情況列表如下：行業(yè)名稱計(jì)算機(jī)機(jī)械營銷物流貿(mào)易應(yīng)聘人數(shù)2158302002501546767457065280行業(yè)名稱計(jì)算機(jī)營銷機(jī)械建筑化工招聘人數(shù)124620102935891157651670436根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，將各行業(yè)按就業(yè)形勢(shì)由差到好排列，其中排列正確的是 （ ） A. 計(jì)算機(jī)，營銷，物流 B. 機(jī)械，計(jì)算機(jī)，化工 C. 營銷，貿(mào)易，建筑 D. 機(jī)械，營銷，建筑，化工7. 定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和 已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為_，且這個(gè)數(shù)列的前21項(xiàng)和的值為_8. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設(shè)全部溶解）糖水變甜了，試根據(jù)這一事實(shí)提煉一個(gè)不等式 _ 9. 已知命題“已知函數(shù)與其反函數(shù)的圖像有交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，且”是假命題，請(qǐng)說明理由 _ 直角坐標(biāo)平面內(nèi)，我們把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)?，F(xiàn)有一系列頂點(diǎn)都為整點(diǎn)的等腰直角三角形，其中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸正半軸上，則第個(gè)等腰直角三角形內(nèi)（不包括邊界）整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 _ 橢圓C1：（b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2右頂點(diǎn)為A，M為橢圓C1上任意一點(diǎn)，且的最大值為(1)求橢圓C1得離心率；(2)設(shè)雙曲線C2以橢圓C1的焦點(diǎn)為定點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)；在第一象限內(nèi)任取雙曲線C2上一點(diǎn)P，試問是否存在常數(shù)()，使得PAF1 =PF1A恒成立？證明你的結(jié)論如圖，直三棱柱中，為棱的中點(diǎn)B1C1（）求異面直線與所成的角；A1（）求證：平面平面DBCA設(shè)、是函數(shù)（a0）的兩個(gè)極值點(diǎn)，且（）證明：；（）證明：；（）若函數(shù)，證明：當(dāng)且時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)镽，且 （1）求證：a0,b0； （2）若上的最小值為，試求f(x)的解析式； （3）在（2）的條件下記試比較 的大小并證明你的結(jié)論參考答案A. D. A. D. D. B. 3, 2. .(1)作出橢圓的左準(zhǔn)線l，作MNl交l于點(diǎn)N，設(shè)M(x，y)，橢圓的離心率是e，橢圓的半焦距是c，根據(jù)橢圓的定義得，所以 ，同理可得，所以 ，其中由得最小值為，得，解得：(2)依題意得雙曲線C2的離心率為2，設(shè)C2的方程是，假設(shè)存在適合題意得常數(shù)(0)先來考查特殊情形下的值：當(dāng)PAx軸時(shí)，將x=2c代入雙曲線方程，解得| y|=3c，因?yàn)閨 AF1|=3c，所以PAF1是等腰直角三角形，PAF1=90o，PF1A=45o，此時(shí)=2以下證明當(dāng)PA與x軸不垂直時(shí)，PAF1=2PF1A恒成立。設(shè)P(x1，y1)，由于點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，所以直線PF1斜率也存在，因?yàn)镻A與x軸不垂直，所以直線PA斜率也存在，因?yàn)椋?，將其代入上式并化簡，得因?yàn)镻AF1=PA=180o，所以，即tg2PF1A=tgP A F1 因?yàn)?，所以，所以恒成立綜合、的：存在常數(shù)=2，使得對(duì)位于雙曲線C2在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)P，恒成立解法（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，于是，異面直線與所成的角為（），. 則平面 又平面，平面平面解法（）連結(jié)交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連結(jié)，則B1DFE2直線與所成的角就是異面直線與所成的角設(shè)，則 ， 中，直三棱柱中，則，異面直線與所成的角為（）直三棱柱中，平面 則又，則， 于是平面 又平面，平面平面（）ax2bxa2， x1，x2是f (x)的兩個(gè)極值點(diǎn)， x1，x2是方程0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 a0， x1x2a0，x1x2 | x1|x2| x1x2| | x1|x2|2， 4a4，即 b24a24a3 b20， 0a1（）設(shè)g(a)4a24a3，則 g (a)8a12a24a(23a) 由g (a)00a，g (a)0a1，得 g(a)在區(qū)間（0，）上是增函數(shù)，在區(qū)間（，1上是減函數(shù)， g(a)maxg() |b|（） x1，x2是方程f (x)0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， f (x)a(xx1)(xx2) h(x)a(xx1)(xx