2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.3二項(xiàng)式定理1.3.1二項(xiàng)式定理講義新人教A版選修2_3.docx

13.1二項(xiàng)式定理知識(shí)點(diǎn)二項(xiàng)式定理及其相關(guān)概念1二項(xiàng)式定理二項(xiàng)展開(kāi)式：(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)叫做二項(xiàng)式定理，其中各項(xiàng)的系數(shù)C(k0,1,2，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)特別地，(1x)n1CxCx2CxkCxn(nN*)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：(1)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n；(2)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零，字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n；(3)共有n1項(xiàng)2二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)(ab)n的二項(xiàng)展開(kāi)式中的第k1項(xiàng)Cankbk叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用Tk1表示，即Tk1Cankbk.(其中0kn，kN，nN*)1注意區(qū)分項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念二項(xiàng)展開(kāi)式的第r1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C，所有的二項(xiàng)式系數(shù)是僅與二項(xiàng)式的次數(shù)n有關(guān)的n1個(gè)組合數(shù)，與a，b的取值無(wú)關(guān)，且是正數(shù)；而第r1項(xiàng)的系數(shù)則是二項(xiàng)式系數(shù)C與數(shù)字系數(shù)的積，可能為負(fù)數(shù)如(2x1)5展開(kāi)式中的第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C，而第二項(xiàng)的系數(shù)則是C24.注意：當(dāng)數(shù)字系數(shù)為1時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)恰好就是項(xiàng)的系數(shù)2要牢記Cankbk是展開(kāi)式的第k1項(xiàng)，不要誤認(rèn)為是第k項(xiàng)1判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)(ab)n展開(kāi)式中共有n項(xiàng)()(2)二項(xiàng)式(ab)n與(ba)n展開(kāi)式中第r1項(xiàng)相同()(3)Cankbk是(ab)n展開(kāi)式中的第k項(xiàng)()答案(1)(2)(3)2做一做(1)16的二項(xiàng)展開(kāi)式中第4項(xiàng)是_(2)展開(kāi)4為_(kāi)(3)二項(xiàng)式(xy)5的展開(kāi)式中，含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是_答案(1)560x10(2)1(3)10解析(1)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r1Cx16rr(1)rCx162r，所以第4項(xiàng)為T(mén)4(1)3Cx10Cx10560x10.(2)41CC2C341.(3)T4Cx2y3含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是C10.探究二項(xiàng)式定理的正用與逆用例1(1)若f(x)(x1)44(x1)36(x1)24(x1)4，則f(2019)f(2019)的值為_(kāi)；(2)求4的展開(kāi)式解析(1)根據(jù)f(x)的解析式，逆用二項(xiàng)式定理，得f(x)(x1)143x43.顯然f(x)f(x)，即f(x)為偶函數(shù)，f(2019)f(2019)0.(2)解法一：4C()4C()3C()22C3C4x22x.解法二：44(2x1)4(16x432x324x28x1)x22x.答案(1)0(2)見(jiàn)解析拓展提升二項(xiàng)式定理的雙向功能(1)正用：將二項(xiàng)式(ab)n展開(kāi)，得到一個(gè)多項(xiàng)式，即二項(xiàng)式定理從左到右使用是展開(kāi)對(duì)較復(fù)雜的式子，先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開(kāi)(2)逆用：將展開(kāi)式合并成二項(xiàng)式(ab)n的形式，即二項(xiàng)式定理從右到左使用是合并，對(duì)于化簡(jiǎn)、求和、證明等問(wèn)題的求解，要熟悉公式的特點(diǎn)、項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)冪指數(shù)的規(guī)律以及各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律(1)用二項(xiàng)式定理展開(kāi)4；(2)化簡(jiǎn)12C4C2nC.解(1)解法一：4(3)4C(3)3C(3)22C(3)3C481x2108x54.解法二：44(13x)41C(3x)C(3x)2C(3x)3C(3x)4(112x54x2108x381x4)54108x81x2.(2)12C4C2nCC21C22C2nC(12)n3n.探究利用二項(xiàng)式定理求某些特定項(xiàng)例2已知n的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)(1)求n；(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)；(3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)解(1)由題意得，Tr1C()nrr(1)rrCx(r0,1,2，n)T6T51(1)55Cx，又第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，0，n10.(2)由(1)知Tr1(1)rrCx，令2，得r2.x2的系數(shù)為(1)22C.含x2這一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C45.(3)由題意得，為整數(shù)，其中0r10，rZ.Tr1為有理項(xiàng)，為有理數(shù)，102r0，或102r6，或102r6，得r5或r2或r8.有理項(xiàng)為T(mén)3C2x2x2，T6C5，T9C8x2x2.拓展提升求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般需要建立方程求k，再將k的值代回通項(xiàng)求解，注意k的取值范圍(k0,1,2，n)(1)第m項(xiàng)：此時(shí)k1m，直接代入通項(xiàng)；(2)常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變?cè)保钔?xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為0建立方程；(3)有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為整數(shù)建立方程特定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題及相關(guān)參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解(1)若9的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是84，則a_；(2)8的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是_答案(1)1(2)7解析(1)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r1Cx9r(a)rrC(a)rx92r(0r9，rN)當(dāng)92r3時(shí)，解得r3，代入得x3的系數(shù)，根據(jù)題意得C(a)384，解得a1.(2)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r1C8rr(1)r8rCx8rr(1)r8rCx8r(0r8，rN)令8r0，得r6，則T7(1)686C7.探究整除及余數(shù)問(wèn)題例3(1)用二項(xiàng)式定理證明：11101能被100整除；(2)求9192被100除所得的余數(shù)解(1)證明：11101(101)101(1010C109C108C101)11010C109C108102100(108C107C1061)，11101能被100整除(2)9192(1009)92C10092C100919C1009092C992，展開(kāi)式中前92項(xiàng)均能被100整除，只需求最后一項(xiàng)除以100的余數(shù)992(101)92C1092C1091C102C101，前91項(xiàng)均能被100整除，后兩項(xiàng)和為919，因余數(shù)為正，可從前面的數(shù)中分離出1000，結(jié)果為100091981，故9192被100除可得余數(shù)為81.拓展提升利用二項(xiàng)式定理可以解決余數(shù)和整除性問(wèn)題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系整除性問(wèn)題或求余數(shù)問(wèn)題的處理方法：(1)解決這類(lèi)問(wèn)題，必須構(gòu)造一個(gè)與題目條件有關(guān)的二項(xiàng)式(2)用二項(xiàng)式定理處理這類(lèi)問(wèn)題，通常把被除數(shù)的底數(shù)寫(xiě)成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，只考慮后面(或者是前面)的幾項(xiàng)就可以了(1)求證32n28n9(nN*)能被64整除；(2)求2303除以7的余數(shù)解(1)證明：32n28n9(81)n18n9C8n1C8nC8n9C8n1C8nC82C818n9C8n1C8nC82.該式每一項(xiàng)都含因式82，故能被64整除(2)2303(23)1038103(71)103C710C79C7C37(C79C78C)2.又余數(shù)不能為負(fù)數(shù)(需轉(zhuǎn)化為正數(shù))，2303除以7的余數(shù)為5.1若(2x3)n3的展開(kāi)式中共有15項(xiàng)，則自然數(shù)n的值為()A11 B12 C13 D14答案A解析因?yàn)?2x3)n3的展開(kāi)式中共n4項(xiàng)，所以n415，即n11.選A.2二項(xiàng)式5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()A80 B80 C40 D40答案B解析二項(xiàng)式5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r1C(x3)5rr(1)r2rCx155r，令155r0，得r3，所以常數(shù)項(xiàng)為T(mén)4(1)323C80.選B.3若CxCx2Cxn能被7整除，則x，n的值可能為()Ax4，n3 Bx4，n4Cx5，n4 Dx6，n5答案C解析由CxCx2Cxn(1x)n1，分別將選項(xiàng)A，B，C，D代入檢驗(yàn)知，僅有C適合4(1)5ab(a，b為有理數(shù))，則ab等于_答案70解析(1)51CC()2C()3C()4C()5412