02邊坡處治基本理論及穩(wěn)定性分析.doc

第2章 邊坡處治基本理論及穩(wěn)定性分析2.1概述 邊坡處治，首先要進行穩(wěn)定性分析。邊坡穩(wěn)定分析的方法很多，目前在工程中廣為應用的是傳統的極限平衡理論。近幾年，基于不同的力學模型而建立起來的各種數值分析計算方法也越來越受到工程界的重視。 一般來說，不同的邊坡類型，不同的分析目的以及可獲得的基本資料情況，應采用與之相適應的計算理論和穩(wěn)定分析方法。2.1.1邊坡穩(wěn)定性概念 邊坡一般是指具有傾斜坡面的土體或巖體，由于坡表面傾斜，在坡體本身重力及其他外力作用下，整個坡體有從高處向低處滑動的趨勢，同時，由于坡體土(巖)自身具有一定的強度和人為的工程措施，它會產生阻止坡體下滑的抵抗力。一般來說，如果邊坡土(巖)體內部某一個面上的滑動力超過了土(巖)體抵抗滑動的能力，邊坡將產生滑動，即失去穩(wěn)定；如果滑動力小于抵抗力，則認為邊坡是穩(wěn)定的。 在工程設計中，判斷邊坡穩(wěn)定性的大小習慣上采用邊坡穩(wěn)定安全系數來衡量。l955年，畢肖普(A.W.Bishop)明確了土坡穩(wěn)定安全系數的定義：(2.1)式中：沿整個滑裂面上的平均抗剪強度；r沿整個滑裂面上的平均剪應力；邊坡穩(wěn)定安全系數。按照上述邊坡穩(wěn)定性概念，顯然，1，土坡穩(wěn)定；5時，就會使求出的Fs值產生較大誤差，此時應考慮Xi的影響或采用別的計算方法。 (2)由于畢肖普法計入了土條間作用力的影響，多數情況下求得的Fs值較瑞典法為大，一般來說，瑞典法簡單，但偏于安全；畢肖普法較接近實際，求得的Fs值較高，似可節(jié)省工程造價。兩種方法的設計計算國內外都積累了大量經驗，在設計準則及安全系數的確定上兩者是有差別的，設計時應注意計算方法和相應的設計準則的一致，更不可張冠李戴。2.4 Janbu條分法2.4.1基本假定簡布(Janbu)法又稱普遍條分法，它適用于任意形狀的滑裂面。如圖2.7所示土坡滑動的一般情況，坡面是任意的，坡面上作用有各種荷載，在坡體的兩側作用有側向推力Ea和Eb，剪力Ta和Tb，滑裂面也是任意的。土條間作用力的合力作用點連線稱為推力線。在土坡斷面中任取一土條，其上作用有集中荷載P，Q及均布荷載q，Wr為土條自重力，土條兩側作用有土條條間力E、T及E+E，T+T，滑裂面上的作用力S和N。如圖2.8所示。為了求出一般情況下土坡穩(wěn)定安全系數以及滑裂面上的應力分布，簡布做了如下假定： (1)假定邊坡穩(wěn)定為平面應變問題。 (2)假定整個滑裂面上的穩(wěn)定安全系數是一樣的，可用式(2.1)表達。 (3)假定土條上所有垂直荷載的合力W：Wr+qx+P，其作用線和滑裂面的交點與N的作用點為同一點。(4)假定已知推力線的位置，即簡單地假定土條側面推力成直線分布，如果坡面有超載，側自推力成梯形分布，推力線應通過梯形的形心；如果無超載，推力線應選在土條下三分點附近，對非粘性土(c=0)可在三分點處，對粘性土(c0)，可選在三分點以上(被動情況)或選在三分點以下(主動情況)。2.4.2計算公式根據以上假定和圖2.8，單位土條上作用的總垂直荷載為（2.17）式中：土的容重； z土條高度； q土條頂部的均布荷載；其余符號見前述。根據力及力矩平衡條件，對每一土條，有（2.18）（2.19）（2.20）（2.21）式中：u滑裂面上的孔隙壓力；t中間變量，其余符號意義見前述及圖2.8所示。對整個邊坡滑動土體，總水平力平衡，有將其代入式(2.20)，有將式(2.18)代入上式，有（2.23）（2.24）式(2.23)兩邊均含有Fs項，須用迭代法計算。由式(2.24)得（2.25）令（2.26）（2.27）將式(2.25)代入式(2.26)，并令（2.28）（2.29）則得到（2.30）可將表達式制成的關系曲線備用，將上述各中1剮參數M、N及代入式(2.23)，有（2.31）滑裂面上的剪應力r由下式求出正應力盯由下式求出在上列各式中，T及t=T/x均為未知。將式(2.26)和式(2.27)代入式(2.20)，得（2.33）每一土條側向水平力可由A點開始(見圖2.7)，從上往下逐條推求，即（2.34）求出E以后，T即可由式(2.21)求得，當土條兩側的T均已知時，該土條的T及t也就容易求出。但因為求M、N的計算式中均含有t項，所以t無法直接解出，也必須采用迭代法來計算。2.4.3計算步驟 簡布法的具體計算步驟如下： (1)假定滑裂面(可根據邊坡的具體情況和類似工程計算經驗確定)，劃分土條，求出各土條的tg、x、P、u、c、及Q。 (2)假定t0=0，有 (3)先假定=1,則M0=M0，。 (4)由選取，(一般)，求出，再求出。 (5)再由M0,N0求出。若求出的與相比誤差小于5，可選用，否則重新選取，再計算，直至滿足要求為止。 (6)當t=0時，計算E0=N0-M0Fs0。 (7)求出各土條分界面的E0，從坡頂逐條往下推算，E0=Ea+E0，直到最后滿足條件Ea-Eb=E0。 (8)根據推力線位置(按前述第(4)條假定給出)求出tgat、ht，由集中水平荷載的位置求出ZQ。(9)計算 (10)求各土條分界面上第一個近似的T值 (11)求每一土條的T值和t值 (12)求出M、N的第l次近似值 (13)由假定，求出各土條的，并求得，若與相比誤差小于5，可選用，否則重新假定，再進行計算。 (14)重復進行(6)(13)步，從E1=N1-M1Fs1開始，直到算出安全系數的第二次近似值Fs2，將如與Fs1比較，若滿足精度要求，則迭代計算結束，并取Fs=Fs2，否則再重復(6)(13)步的計算。 (15)當Fs確定后，再算出各土條滑裂面上的應力i和i 通過上述計算，已獲得沿滑裂面上的平均安全系數Fs，所有土條分界面上的作用力Ei及Ti，每一土條底面的平均應力i和i。 (16)校核各土條分界面上抵抗剪切的安全系數Fv。 假定土條界面上的水平向(法向)應力h和垂直向(切向)應力v均沿界面上呈直線分布，則有hi=EiZi，vi-TiZi，Zi為土條分界面長度(高度)。若分界面上的總孔隙水壓力為Uhi(方向水平)，平均孔隙應力Uhi=UhiZi，則（2.35）式中：分界面上的平均強度指標。 一般來說，FVFs，若FVFs，則說明該土條界面上的FV已小于整體的Fs，應調整推力作用線，使該界面上的V值落入容許范圍內，調整推力線后，應再作一次計算。 (17)整理計算結果。 Janbu法通常用來校核一些形狀比較特殊的滑裂面，一般不必假定很多滑裂面來計算，上述的迭代計算雖比較復雜和煩瑣，根據經驗，一般34輪迭代計算即可滿足要求。2.4.4王復來改進條分法 根據土壓力的特點，如果假定土條的水平土壓力呈三角形分布，則其合力作用點在界面高度的下三分點處，這就是王復來的改進條分法。任取一土條進行分析，根據力的平衡條件導出基本方程組：（2.38）（2.39）對上述基本方程進行整理代換后有（2.40）當土條寬度足夠小時，認為xi、Ti、Ei均趨于零，再忽略二次微量，則有（2.41）將式(2.41)代入式(2.40)，整理后有（2.42）安全系數公式同式(2.23)。如果土坡兩端無外力，即Ea、Eb、Ta、Tb均為零，土坡共劃分為n個土條，則有： （2.43）計算時仍采用試算法或迭代法。迭代法步驟要比Janbu法簡單一些。先假設Fs0，根據邊界條件E1=0，Tl=0，由式(2.42)、式(2.41)從下往上逐條推求側向推力直至n-1號土條，分別求出E2，T2，E3，T3，En，Tn；再根據Tn+1=0的條件，算出各土條的Tl，T2，Tm。，用假設的Fs0及Tl，T2，TN代入式(2.43)算得Fs的第一次近似值Fs1比較Fs1和Fs0，看是否滿足精度要求。如不滿足，則以Fs1當作Fs0，重復上述步驟的計算，直到前后兩次的Fs值滿足精度要求時為止。 2.5不平衡推力傳遞系數法在滑體中取第i塊土條，如圖2.9所示，假定第i-1塊土條傳來的推力Pi-1的方向平于第I-1塊土條的底滑面，而第i塊土條傳送給第i+1塊土條的推力Pi平行于第i塊土條的底滑面。即是說，假定每一分界上推力的方向平行于上一土條的底滑面，第i塊土條承受的各種作用力示于圖2.9中。將各作用力投影到底滑面上，其平衡方程如下：(2.44)式中： (2.45)式(2.44)中第1項表示本土條的下滑力，第2項表示土條的抗滑力，第3項表示上一土條傳下來的不平衡下滑力的影響，稱為傳遞系數。在進行計算分析時，需利用式(2.44)進行試算。即假定一個Fs值，從邊坡頂部第1塊土條算起求出它的不平衡下滑力P1(求P1時，式中右端第3項為零)，即為第l和第2塊土條之間的推力。再計算第2塊土條在原有荷載和P1作用下的不平衡下滑力P2，作為第2塊土條與第3塊土條之間的推力。依此計算到第n塊(最后一塊)，如果該塊土條在原有荷載及推力Pn-1作用下，求得的推力Pn剛好為零，則所設的Fs即為所求的安全系數。如Pn不為零，則重新設定Fs值，按上述步驟重新計算，直到滿足Pn=0的條件為止。一般可取3個Fs同時試算，求出對應的3個Pn值，作出PnFs曲線，從曲線上找出Pn=0時的Fs值，該Fs值即為所求。為了使計算工作更加簡化，在工程單位常采用快捷的簡化方法：即對每一塊土條用下式計算不平衡下滑力：不平衡下滑力=下滑力Fs-抗滑力由此，式(2.44)可改寫為：(2.46)上式中，傳遞系數改用下式計算(2.47) 求解Fs的條件仍是Pn=0。由此可得出一個含Fs的一次方程，故可以直接算出Fs而不用試算。所得結果與前述復雜的試算方法有時相差不大，但計算卻大為簡化了。 如果采用總應力法，式(2.46)中可略去Uili項，c、值可根據土的性質及當地經驗，采用勘測試驗和滑坡反算相結合的方法來確定。Fs值可根據滑坡現狀及其對工程的影響等因素確定，一般取l.051.25。另外，要注意土條之間不能承受拉力，當任何土條的推力Pi如果出現負值，則意味著Pi不再向下傳遞，而在計算下一塊土條時，上一塊土條對其的推力取Pi-1=0。 各土條分界面上的Pi求出后，可求出此分界面上的抗剪安全系數：(2.48)式中：UPj作用土條側面的孔隙水壓力； hi土條側面高度； 土條側面各土層的平均抗剪強度指標。 傳遞系數法能夠計及土條界面上剪力的影響，計算也不繁雜，具有適用而又方便的優(yōu)點，在我國的鐵道部門得到廣泛采用。但傳遞系數法中Pi的方向被硬性規(guī)定為與上分塊土條的底滑面(底坡)平行，所以有時會出現矛盾，當較大時，求出的Fvi可能小于l。同時，本法只考慮了力的平衡，對力矩平衡沒有考慮，這也存在不足。盡管如此，傳遞系數法因為計算簡捷，在很多實際工程問題中，大部分滑裂面都較為平緩，對應垂直分界面上的c、值也相對較大，基本上能滿足式(2.48)的要求。即使滑體頂部一、二塊土條可能滿足不了式(2.48)的要求，但也不致對Fs產生很大影響。所以，該方法還是為廣大工程技術人員所樂于采用。 2.6邊坡穩(wěn)定分析有限元法2.6.1有限元法概述 有限元法的突出優(yōu)點是適于處理非線性、非均質和復雜邊界等問題，而土體應力變形分析就恰恰存在這些困難問題，有限元方法的應用，能比較好的解決這些困難，在處理邊坡穩(wěn)定分析中開辟了新的途徑。 有限元法就是用有限個單元體所構成的離散化結構代替原來的連續(xù)體結構來分析土體的應力和變形，這些單元體只在結點處有力的聯系。一般材料應力應變關系或本構關系可表示為(2.49)由虛位移原理可建立單元體的結點力與結點位移之間的關系，進而寫出總體平衡方程(2.50)式中：K勁度矩陣； 結點位移列向量； R結點荷載列向量。 利用有限單元法，可考慮土的非線性應力一應變關系，求得每一個計算單元的應力及變形后，便可根據不同強度指標確定破壞區(qū)的位置及破壞范圍的擴展情況。若設法將局部破壞與整體破壞聯系起來，求得合適的臨界滑面位置，再根據力的平衡關系推得安全系數，這樣，就能將穩(wěn)定問題與應力分析結合起來。或者求出在各種工作狀態(tài)下邊坡內部的應力分布狀況，由邊坡土的性質確定一個破壞標準，以此來衡量邊坡的安全程度。 土體的應力應變關系是非線性的，反映到式(2.49)中，矩陣D就不是常量，而隨著應力或應變的變化，由此推得的勁度矩陣K也將發(fā)生變化，這使得土坡有限元的計算比一般彈性有限元計算要復雜得多。 影響土體應力應變關系的因素是很多的，有土體結構，孔隙、密度、應力歷史、荷載特征、孔隙水及時間效應等。這些因素使得土體在受力后的行為非常復雜，而且往往是非線性的。 土體在應力作用下產生的變形一般是非線性的，在各種應力狀態(tài)下都有塑性變形；土體在受力后有明顯的塑性體積變形，而且在剪切時也會引起塑性體積變形(剪脹性)；土體受剪時發(fā)生剪應變，其中一部分為彈性剪應變，另一部分與土顆粒間相對錯動滑移而產生塑性剪應變，剪應力引起剪應變，體積應力也會引起剪應變；土體還表現出硬化和軟化特性，應力路徑和應力歷史對變形有影響，中主應力和固結壓力對變形也有影響，而且表現出各向異性。我們一般根據土的變形特性建立土的本構模型，反過來，它也是檢驗本構模型理論的客觀標準。2.6.2彈性非線性模型 土體可采用非線性彈性模型來反映其本構關系。彈性非線性模型是根據廣義虎克定律建立剛度矩陣D。由于其非線性性質，包含在矩陣D中的彈性常數E、就不再是常量，而是隨應力狀態(tài)而改變的量。當土體處于某一應力狀態(tài)時，若施加微小的應力增量，則可用該應力狀態(tài)下的彈性常數形成矩陣D，或者其逆矩陣C，來計算其相應的應變增量，即(2.51)或者寫成(2.52)式中： 彈性常數E、是應力狀態(tài)的函數。 問題在于土體的E、如何隨應力變化而變化，怎樣建立其關系表達式，即建立其彈性非線性模型。 下面簡要介紹鄧肯(Duncan)和張(zhang)的雙曲線模型。 (1)切線彈性模量 對于通常的砂土和粘土，Kondner建議將其應力一應變關系用雙曲線表示如下：(2.54)式中：1大主應力； 3小主應力； 軸向應變；a、b常數。在式(2.54)中，令，則得到 (2.55)其中(1-3)u為應力差的漸近值。令抗壓強度與應力差漸近值的比值為R，則有(2.56)式中：(1-3)f土體抗壓強度； R破壞比，小于l，通常為0.751.00。 由式(2.55)、式(2.56)得到常數b，即（2.57）由式(2.54)求導數，得到土的切線模量（2.58）在式(2.58)中令=0，得到（2.59）E0為初始切線模量，常數。為初始切線模量的倒數。將式(2.54)做一些變換，得到（2.60） 以為縱坐標，為橫坐標，上式將是一條直線，a、b分別是這條直線的截距和斜率。用這種方式整理試驗資料，可很方便地確定參數a和b。 試驗表明，土體的切線模量隨著側限壓力而改變。鄧肯(Duncan)和張(Zhang)建議用下式表示初始切線模量與側限壓力之間的關系：（2.61）式中：E0初始切線模量；Pa大氣壓力；3小主應力；K、n參數。為了考慮土的抗拉強度，王復來建議用下式計算初始切線模量：（2.62）式中：t土體拉抗強度；其余符號意義同前。對式(2.62)兩邊取對數，可知此式在雙對數坐標上是一條直線，利用這一點，可方便地利用試驗資料決定參數K和n。 根據MohrCoulomb破壞準則，抗拉強度可由下式表示：（2.63）把a、b代入式(2.58)，得到切線模量Et如下（2.64）為便于用于有限元計算，從上式中消去應變，把式(2.54)改寫為將上式代入式(2.64)，消去，得（2.65）其中：稱為應力度。把E0、S、的表達式代入式(2.65)，有（2.66）式(2.66)可方便地用于土體的有限元分析。式中的c、R、K、n共5個參數應通過試驗求得。 (2)回彈模量在實際工程中，可能發(fā)生卸荷以及卸荷后再加荷的情況。通過試驗資料表明，土體在卸荷再加荷過程中，其應力應變關系可足夠準確地用一個統一的切線模量Eu表示。卸荷再加荷的切線模量與應力水平關系不大，而只與側限壓力有關，可表示為（2.67） 式中：Eu卸荷及再加荷的切線模量； Ku、n參數。 實際中，此處的n值可采用初始切線模量計算式(2.61)中的n值，參數Ku一般比初始切線模量酥的參數K為大。 (3)切線泊松比 在計算土體的應力和應變時，除了切線模量E外，還要用到泊松比。土體的側向變形和縱向變形之間的關系也可用雙曲線表示（2.68）或（2.69）式中：a軸同應變； r徑向應變(三軸試驗)； 0相對應于零應變時的初始泊松比； m參數。由式(2.69)可得（2.70）根據泊松比定義（2.71）即有（2.72）試驗資料表明，初始泊松比0隨側限壓力3的增加而減少，可表示如下：（2.73）式中：g、h參數，由試驗資料確定；其余符號意義同前。將式(2.73)代入式(2.72)，得泊松比如下： （2.74）上式計算中有3個參數g、h、m，由試驗確定。式(2.66)和式(2.74)分別用于計算土體的切線模量和泊松比，是由鄧肯提出的，通常稱為鄧肯模型。(4)體積變形模量1980年鄧肯和Wonz等人改用體積變形模量K.作為計算參數，定義如下：（2.75）式中：v體積變形；Kb、m試驗確定的常數。求出Kt和Et后，再計算泊松比（2.76）鄧肯模型反映了土體變形的主要規(guī)律，但有許多方面沒有得到反映。它反映了非線性；把總變形中的塑性變形部分也當著彈性變形處理，通過彈性常數的調整來近似地考慮這部分塑性變形；它用于增量計算，能反映應力路徑對變形的影響；通過回彈模量Eu與加荷模量Et的差別部分體現加荷歷史對變形的影響，但卻沒反映固結壓力增加與降低的差別，也沒有反映加荷、卸荷對的影響；鄧肯模型沒有反映中主應力對E、和強度指標的影響，不能反映剪脹性；也不能反映軟化和各向異性等問題。 盡管如此，上述鄧肯模型由于計算參數是從試驗曲線的直接擬合得來，比較直觀，易為工程人員所接受；對于主應力方向沒有明顯偏轉的問題，其計算結果一般是可以接受的。因此鄧肯模型在實際工程計算中得到廣泛的應用。2.6.3雙屈服面彈塑性模型 以劍橋模型為代表的彈塑性模型等，從假定的屈服面出發(fā)推導出應力應變關系，計算的位移有時偏大一些，但計算結果定性上較為合理。沈珠江院土在汲取了鄧肯模型和劍橋模型的優(yōu)點后，提出了雙屈服面彈塑性模型，其應力應變關系具有劍橋模型的形式，但有關系數則像鄧肯模型一樣，從應力應變關系的試驗數據擬合而得來。 (1)屈服函數與彈塑性矩陣 把總應變增量分成彈性應變增量e和塑性應變增量p兩部分，即（2.77）再把塑性應變增量分成兩部分，即（2.78）假足對應于每一部分塑性應變各有一個屈服面，采用正交流動法則，應變增量可計算如下：（2.79）式中：f1、f2分別為兩個屈服面函數；A1、A2分別相應于屈服面f1、f2的塑性系數。設式中：P、分別為八面體正應力和剪應力；其余符號意義同前。沈珠江建議分別用橢圓和冪函數為第1和第2屈服函數，即 （2.80）式中：r橢圓的長、短軸之比； s冪次系數。 設v=1+2+3為體積應變，為八面體剪切應變，由式(2.79)、式(2.80)兩式，得其增量如下：式中：K、G分別為彈性體積模量和剪切模量。 由式(2.80)，有把上式代入式(2.81)，得到式中：在平面上采用PrandtReuss流動法則，式(2.83)可擴展為（2.84）式中：eij應變偏量；sij應力偏量；ijKronecker單位函數。考慮到，式(2.84)兩邊乘上sij后可解出，再代入式(2.82)和式(2.84)中，得到（2.85）式中：對于平面應變問題，式(2.85)變成如下形式：（2.86）式中： Dep為對稱的彈塑性矩陣。 (2)塑性系數 假定塑性系數A1和A2只是應力狀態(tài)的函數，與應力路徑無關，于是室內簡單應力路徑下測得的結果，可以直接應用于現場的復雜應力條件，可用常規(guī)三軸試驗的結果。此時代入式(2.82)，并定義得到由上式可解出A1、A2： 上面公式中，E1可用式(2.66)計算。沈珠江用拋物線擬合試驗得出的v1關系曲線，由定義t=v1，得到式中，Cd為3=Lat時的最大主應變；d為體應變隨3而變化的冪次；Rd為最大體應變發(fā)生時的應力比(剪脹比)。卸荷一再加荷的切線模量由式(2.67)計算求得。假定泊松比為常數，彈性體積模量K和剪切模量G可由下式計算對大多數土，可取=0.30。 屈服面參數r和s，對于土體，根據沈珠江的計算結果，可取r=2，s=3。2.6.4非線性有限元計算 將荷載R作用于離散體結構，則產生相應的結點位移，由式(2.50)可解出。由于土的本構關系是非線性的，與關系如圖2.10a)所示，那么R與的關系也是非線性的，如圖2.10b)所示。曲線包含了應力各分量與應變各分量之間的關系。其斜率可抽象理解為D。 R和的坐標也是示意性的，曲線的斜率可理解為勁度矩陣K，和的關系是在試驗基礎上由本構模型給定的，在進行有限元計算時它是已知的。而R與的關系是未知的，它決定于d與的關系。下面介紹如何根據非線性的與的關系來求解非線性的R與的求解方法。 一般來說，求解方法有迭代法和增量法2種。 (1)迭代法 迭代法是用修正勁度的方法(變勁度法)，或保持勁度不變而用調整荷載的方法(常勁度法)，重復試算逐步逼近真實解，在每次試算中作一次線性有限元計算。它可分為割線迭代、余量迭代、初應力迭代和初應變迭代等。下面作一簡要介紹。(a)割線迭代法假定非線性的余量應力與全量應變關系是已知的，即式(2.49)中反映全量應力應變關系的剛度矩陣D隨應力的變化是已知的，D相當于圖2.1la)中割線的斜率，又叫割線剛度。對彈性非線性問題，它含有彈性常數，稱為割線彈性常數，如割線彈模Es，割線泊松比s。在有限元計算時，把荷載R全部作用于結構，先取一組適當的彈性常數ES1和S1形成勁度矩陣K1，用式(2.50)解得位移的第一次近似值1，如圖2.11b)中的M1點所示。由1解算各單位的應變1和應力*1，如圖2.11a)中的N1點所示。*1不一定符合給定的非線性關系，則在非線性的與的關系曲線上找出1，所對應的應力1，再由1和1確定割線彈性常數的第二次近似值ES2和S2，形成新的勁度矩陣K2，解第2次位移近似值2。如此反復進行解算，直至前后兩次位移解相當接近(或滿足預先給定的精度要求)為止。此時所解得的位移，應變和應力就是所求的解。將上述的計算步驟再簡敘如下：對第i次迭代由i-1次迭代所得應變i-1。根據曲線，由i-1求對應的i-1，計算割線彈性常數Esi和si； 由Esi和si形成勁度矩陣Ki； 解方程組Kii=R，解得i； 由i求各單元應變i； 由i，利用ESi和Si求i； 由i，利用關系求i； 由i和i確定i+1次迭代所用的ESi+1和Si+1。 重復步，比較i+1次計算所得的I+1與第i次計算所得的i，兩者接近或滿足精度要求，則停止計算，并根據步算出、，即為所求。否則，再進行步計算。 在迭代過程中，每次迭代都向真實解逼近，即圖2.11中的N1，N2，Ni，越接近曲線上的N點，M1，M2，Mi，也越來越接近真實解。 (b)余量迭代法 余量迭代是先將總荷載施加于結構作一次有限元計算，解得的應變在非線性關系上所對應的應力，該應力與外荷載一般來說是不平衡的，在總荷載中扣除計算所得的應力所平衡了的那部分荷載，剩下的不平衡荷載則再施加于結構，再作迭代計算。如此反復，直至全部平衡。 如圖2.12所示，第l次試算后得1、1、*1，在非線性關系上對應的1。 1*與外荷R是平衡的，但1與R不能維持平衡。由各單元的應力1，可用下式求單元結點力（2.92）式中：B幾何矩陣； Fe單元結點力。 各結點將相鄰單元在該點的結點力迭加起來形成R1，應力解1是與R1平衡的，尚有R2=R-R1未得到平衡。在第2次試算中將剩余荷載R2作為外荷施加于結構上，解出位移，并從非線性應力應變關系中確定應力增量，又使得R2中的一部分荷載得到平衡，剩余的不平衡荷載為R3。如此迭代，從而使余荷逐漸減小，最后使應力解答結果與實際的外荷載相平衡，解變?yōu)檎鎸嵔狻?余量迭代法第i次的具體計算步驟如下： 由各單元的i-1求切線彈性常數Et、t，從而形成彈性矩陣Di； 由Di形成勁度矩陣Ki； 計算單元結點力(用式(2.92)，各單元結點迭加形成Ri-1(當i=1時，令R0=0)； 計算剩余荷載Ri=R-Ri-1； 根據Ri，Ki，由Kii=Ri解算i； 由i計算i總應變?yōu)閕=i-l+i，從非線性的應力應變關系上確定對應的應力i； 重復步，直至所計算的R很小或滿足精度要求時為止。 (2)增量法 增量法是將全荷載分為若干級微小增量，逐級用有限元法計算。對于每一級增量，在計算時假定材料性質不變，用一般的線性有限元計算方法，解得位移、應變和應力相應的增量。而各級增量荷載之間，材料性質不同，剛度矩陣不同，用它來反映非線性的應力應變關系。這種方法實際上是用分段直線來逼近曲線，即以折線代替應力應變曲線。增量法有基本增量法、中點增量法和增量法。下面主要介紹中點增量法。 各級荷載作用下的材料性質是由剛度矩陣D來體現的。無論彈性矩陣還是彈塑性矩陣，都決定于應力狀態(tài)。對于某一級荷載，應力從初始狀態(tài)到終了狀態(tài)，彈性常數是變化的。設想用該級荷載下的平均應力所對應的D來進行計算，結果會比以初始應力狀態(tài)來計算要好。這就是中點增量法的基本思路和特點。 中點增量法第i步的計算步驟如下： 用前級終了時的應力，也就是本級的初始應力i-l，確定剛度矩陣Di。先確定切線彈性常數Eti和ti從而形成Di。這相當于圖2.13a)中Ni-1點處曲線的斜率； 由Di形成勁度矩陣Ki，相當于圖2.13b)中Mi-1點的斜率； 解線性方程Ki=Ri，得位移增量i，相應的位移總量i=i-1+i； 由i求各單元應變增量i和應力增量i，即i=i-1+i，i=i-1+i；取應力平均值；由平均應力求，再形成；解方程組，求得位移增量i，相應的位移總量i=i-1+i；由i求應變增量i和應力增量i，進而求應力和應變全量。中點增量法并不能使計算結果收斂于真實解，只是改進了計算方法。要獲得真實解，還需采用迭代計算。即在上述中點增量法中，對每一級荷載增量，重復計算步，使得前后兩次迭代計算結果的差別很小，