第5講 乘法原理.doc

乘法原理 我之所以比笛卡爾看得遠些，是因為我站在巨人的肩上。 牛頓 我們先看下面的問題： 由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條(圖5-1)。從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？ 這里，從A村到B村有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法到達B村后，再從B村到C村又有2種不同的走法。因此，從A村經(jīng)B村去C村共有3x2=6（種）不同的走法。 一般地，有如下原理： 乘法原理做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么，完成這件事共有 N =mlm2mn 種不同的方法。 應(yīng)用乘法原理的關(guān)鍵是分步，即將一個復(fù)雜的過程分解為若干個接連進行的簡單過程。分步時要注意其合理性，各步驟順次完成后就完成了原事件。 應(yīng)用乘法原理的解題步驟是： 例1 某條鐵路上共計有八個車站。 (1)問：這些車站間共有多少種普通客票？ (2)假如任兩站間的票價互不相同，問：這八站之間有多少種票價？ 分析與解 (1)將計算火車票的種數(shù)看做一項工作，而一種票的區(qū)分，主要是起點站與終點站，這樣，將這項二作分為兩步完成： 第一步確定起點站，第二步確定終點站。 第一步確定起點站，因有八個車站，就有8種選擇。 第二步確定終點站，因為第一步確定一個車站后，只剩下7個車站，就只有7種選擇方法，這樣完成這項工作共有87=56（種）方法，那么共有56種車票。 下面用簡圖來進一步說明，如A為起點站，有7種車票，同理B為起點站，有7種車票，H為起點站，有7種車票，這樣共有87=56（種）火車票。 (2)A站到B站的車票與B站到A站的車票不同，這是有順序問題，但A站到B站的票價與B站到A站的票價是一樣的，這是無順序問題，所以共872=28（種）票價 問題(2）相當于：直線上有8個點，共有l(wèi)+2+7=28（條）線段。 例2 如圖5-2，從A經(jīng)P到B，沿著最短路線走，共有多少條不同路線？ 分析與解在圖5-2上添上M、N兩點，如圖5-3所示，從A經(jīng)P到B的最短路線也就是從A經(jīng)M、N到B的最短路線。這條路線可分三段：第一段從A到M（最短路線），有3條；第二段從M經(jīng)P到N，僅有唯一的l條；第三段從N到B（最短路線），有4條，根據(jù)乘法原理，共有314=12（條）不同路線。 例3有五張卡片，分別寫著數(shù)字l，2，4，5，8?，F(xiàn)從中取出3張卡片，并排放在一起，組成一個三位數(shù)，如1，5，2。問：可以組成多少個不同的偶數(shù)？ 分析與解分三步取出卡片，首先因組成的三位數(shù)是偶數(shù)，個位數(shù)字只能是偶數(shù)，故先選取最右邊的卡片，有2，4，8三種不同選擇；第二步在其余的4張卡片中任取一張，放在最左邊位置上，有4種不同的選法；最后從剩下的3張卡片中選取一張，放在中間的位置上，有3種不同選擇。根據(jù)乘法原理，可以組成343=36（個）不同的三位偶數(shù)。 例4某沿海城市管轄7個縣，這7個縣的位置如圖5-4現(xiàn)用紅、黑、綠、藍、紫五種顏色給下圖染色，要求任意相鄰的兩個縣染不同顏色，共有 不同的染色方法。 解：把地圖上的7個縣分別編號為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G（如圖5-5）為了便于觀察，可以把圖5-5改畫成圖5-6（相鄰關(guān)系不改變）。我們不妨按A，B，C，D，EF，G的順序，用紅、黑、綠、藍、紫五種顏色依次染色，根據(jù)乘法原理，共有5433333=4860（種）不同的染色方法。這里為了避免遺漏或重復(fù)，適當選擇染色順序，但應(yīng)注意這里所說的“適當選擇染色順序”，并不是說染色方法與染色順序有關(guān)，而是要防止某種染色次序混亂造成遺漏或重復(fù)而算錯結(jié)果。例5由35個單位小正方形組成的長方形中，如圖5-7所示有兩個“”，問：包含兩個“”在內(nèi)的，由小正方形組成的長方形（含正方形）共有多少個？ 解法1 如圖5 -8將含有兩個“”的橫行放在一起，看成一行(A)，將含兩個“”的縱列放在一起，看成一列(B)。凡含這兩個“”的長方形，要么由A向上或向下數(shù)行，要么由B向左或向右數(shù)列。由A行向上數(shù)有2種方法；由A行向下數(shù)有3種方法；由B列向左數(shù)有3種方法；由B列向右數(shù)有4種方法。 總計組成含兩個“”在內(nèi)的長方形（含正方形）共有：2334 =72（個）。解法2按行劃分，含有這兩個“”的行共有6種，即|2|，|l,2|,|2,3|,|2,3,4|,|l,2,3|,|l,2,3,4|；按列劃分，則共有12種，即|三，|二、三|，|一、二、三|，|三、四|，|三、四、五|，|三、四、五、六|，|二、三、四|，|二、三、四、五|，|二、三、四、五、六|，|一、二、三、四|，|一、二、三、四、五|，|一、二、三、四、五、六|。由于每1種行劃分對應(yīng)著12種列劃分，所以含有兩個“”在內(nèi)的長方形（含正方形），共有612 =72（個）。 例6今有壹角幣1張，貳角幣l張，伍角幣l張，壹元幣4張，伍元幣2張，用這些紙幣任意付款，可以付出不同數(shù)額的款項共有多少種？ 分析與解為了付某數(shù)額的款項，壹角幣可以不取或取l張，有兩種取法；同樣，貳角幣、伍角幣也各有兩種取法；壹元幣可以不取，或取l張、2張、3張、4張，有5種取法；同理，伍元幣有3種取法。由乘法原理，并除去都不取的情況，不同數(shù)額的款項有22253-1=119（種）用類似的想法，結(jié)合質(zhì)因數(shù)分解定理可求出自然數(shù)n的因數(shù)的個數(shù)。 1書架上有6本不同的畫報、10本不同的科技書，請你每次從書架上任取一本畫報、一本科技書，共有 種不同的取法。 2七個相同的球，放入四個不同的盒子里，每個盒子至少放一個。不同的放法有 種。 3用O，l，2，3，4，5，6，7，8，9十個數(shù)字，能夠組成 個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。 4.4個人站成一排合影留念，有 種不同的排法。5有兩個點可以連成一條線段，三個點可以連成三條線段。4個點可以連成六條線段，五個點可以連成 條線段，六個點可以連成 條線段。 6學(xué)雷鋒小組的一次集會，參會的人每兩人握手一次，共握手36次，這個小組共有 人。 7數(shù)出圖5-9中長方形（包括正方形）的總個數(shù)是 。 8用9枚釘子組成3x3方陣，用橡皮筋勾在3枚釘子上，組成一個三角形，共可組成 個三角形。9有5人參加的學(xué)雷鋒小隊上街宣傳交通規(guī)則，他們站成一排，其中2名隊長不排在一起，一共有 種排法。 10如圖5 -10所示的3n方格（n是自然數(shù)），給每一列中的3個方格分別用紅、白、藍三種顏色任意染色（每列中三格的顏色各不相同），最少需要 列才能保證至少使兩列染色的方式相同。 11.在圖5-11中放四個棋子“兵”，使得每一列有一個“兵”，每一行至多有一個“兵”。問：有多少種不同的放法？ 12.某種獎券的號碼有9位，如果獎券至少有兩個非0數(shù)字，并且從左邊第一個非0數(shù)字起，每個數(shù)字小于它右邊的數(shù)字，就稱這樣的號碼為“中獎號碼”，如000000015，000001257。問：“中獎號碼”有多少個？ 13一個自然數(shù)，如果它順著數(shù)和倒過來數(shù)都