如何理解分式方程和分式方程的根.doc

如何理解分式方程和分式方程的根學(xué)習(xí)分式方程和求解分式方程的根時(shí)，容易產(chǎn)生一些模糊的認(rèn)識(shí)，要真正弄懂學(xué)好，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1. 分式方程是分母含未知數(shù)的有理方程。這告訴我們：分式方程是形式上的定義。如方程與是不同的兩個(gè)方程，前者為分式方程，后者為整式方程。分式方程強(qiáng)調(diào)分母是含未知數(shù)而不是含有字母，這與分式定義中分母規(guī)定不一定。如關(guān)于的方程，它不是分式方程，而是整式方程。分式方程是有理方程。如方程不是分式方程。2. 解分式方程時(shí)，去分母的方法不一定要乘最簡(jiǎn)公分母，但乘以最簡(jiǎn)公分母意義在于它不僅能使去分母具有可行性，同時(shí)演算簡(jiǎn)潔，有時(shí)還可減少增根個(gè)數(shù)。如：解方程，若方程兩邊乘以，解得，而為增根；若方程兩邊乘以，解得為原方程的根。3. 分式方程與它變形之后的整式方程的關(guān)系表現(xiàn)在：一方面，分式方程的根是從整式方程中求出來(lái)的，它一定是整式方程的根。但整式方程的根不一定是分式方程的根，若是它的根的條件是要使分母不為零。另一方面，分式方程的要求解要依靠整式方程，只不過(guò)其中排除分母不為零這一因素。如關(guān)于的方程的解為負(fù)數(shù)，求的范圍。分式方程變形后得整式方程為，若整式方程解為負(fù)時(shí)，則。但分式方程解為負(fù)數(shù)時(shí)，不僅且即且。4. 解分式方程時(shí)常常出現(xiàn)增根，我們要全面認(rèn)識(shí)它。分式方程增根產(chǎn)生的原因是在分式方程左右兩邊乘的最簡(jiǎn)公分母為了零。如分式方程一定不會(huì)產(chǎn)生增根，因?yàn)樽詈?jiǎn)公分母。使最簡(jiǎn)公分母為零的未知數(shù)的值均可能是增根，且增根也只可能在這些值中。如分式方程，與均有可能為它的增根，解后知增根為。分式方程的增根不是它的根，但它是變形后的整式方程的根。如解分式方程若產(chǎn)生增根，則為何值？由上知均可以為增根，增根又是變形后整式方程的根，故或。幾何第二章相交線、平行線復(fù)習(xí)指導(dǎo)本章的主要內(nèi)容是兩條直線的兩種位置關(guān)系相交和平行。重點(diǎn)是垂線的概念和平行線的性質(zhì)和判定。由于本章是幾何推理論證的入門階段，所以這一章的內(nèi)容是很重要的基礎(chǔ)知識(shí)。同學(xué)們一定要認(rèn)真學(xué)習(xí)，打好基礎(chǔ)，為幫助同學(xué)們復(fù)習(xí)好本章內(nèi)容，筆者談以下幾點(diǎn)：一、從整體上把握本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)本章分三大節(jié)，第一大節(jié)介紹相交線，研究?jī)蓷l相交直線有公共頂點(diǎn)的四個(gè)角的關(guān)系；第二大節(jié)介紹平行線的概念、平行公理及其推論，研究平行線的判定及性質(zhì)；第三大節(jié)介紹命題、定理、證明。其知識(shí)網(wǎng)絡(luò)是：二、熟練判斷有關(guān)的角由兩條相交的直線引出了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角；由一條直線分別與兩條直線相交引出了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角。對(duì)這些角要求同學(xué)們能準(zhǔn)確地進(jìn)行判斷。1. 對(duì)頂角。兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)公共點(diǎn)而沒(méi)有公共邊的兩個(gè)角叫對(duì)頂角。如圖1中的1與3，2與4就是對(duì)頂角。特點(diǎn)是：對(duì)頂角是相互的，互為對(duì)頂角的兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，兩邊互為反向延長(zhǎng)線。對(duì)頂角有一個(gè)重要性質(zhì)，即：對(duì)頂角相等。2. 鄰補(bǔ)角。兩條直線相交所成的四個(gè)角中，不僅有一個(gè)公共頂點(diǎn)，而且還有一條公共邊的兩個(gè)角叫作鄰補(bǔ)角。如圖1中1與2，2與3就是鄰補(bǔ)角。鄰補(bǔ)角的和是一個(gè)平角。因此，鄰補(bǔ)角可以看成是由一條直線被經(jīng)過(guò)它上面的一點(diǎn)的一條射線分成的兩個(gè)角。鄰補(bǔ)角是有特殊關(guān)系的兩個(gè)互補(bǔ)的角。3. 同位角，一條直線與兩條直線相交，便松成了“三線八角”，如圖2所示。在圖2中的1與5，這兩個(gè)角分別在直線AB、CD的上方，并且都在直線EF同側(cè)，像這樣位置相同的一對(duì)角叫作同位角。同樣4與8、2與6、3與7也是同位角。4. 內(nèi)錯(cuò)角。圖2中的3與5，這兩個(gè)角都在直線AB、CD之間，并且分別在直線EF的兩側(cè)，像這樣的一對(duì)角叫作內(nèi)錯(cuò)角。同樣4與6也是內(nèi)錯(cuò)角。5. 同旁內(nèi)角。圖2中的3與6，這兩個(gè)角都在直線AB、CD之間，并且分別都在直線EF的同側(cè)，像這樣的一對(duì)角叫作同旁內(nèi)角。同樣4與5也是同旁內(nèi)角。在識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角時(shí)，要按下面的口訣來(lái)識(shí)別：“一看三線，二找截線，三再根據(jù)位置來(lái)分辨”。所謂“看三線”：因?yàn)檫@三種角是由兩條直線被第三條直線所截而成的，所以，一對(duì)同位角（或內(nèi)錯(cuò)角、或同旁內(nèi)角）的四條邊應(yīng)分別在這三直線上。否則，就一定不是這三種角。所謂“找截線”：既然一對(duì)角的四條邊分別在三條直線上，因此必定各有一條邊共線，即在同一條直線上，這條直線就是截線?！霸僖晕恢脕?lái)分辨”：同位角一定在截線的“同旁”，被截兩直線的“同側(cè)”；內(nèi)錯(cuò)角一定在被截兩直線的“內(nèi)部”，交“錯(cuò)”于截線的兩旁；同旁內(nèi)角一定在截線的“同旁”，被截兩直線的“內(nèi)部”。三、牢固掌握垂線的定義和性質(zhì)。1. 垂線。當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角之中有一個(gè)是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，這兩條直線互為垂線，它們的交點(diǎn)叫作垂足。2. 垂線有兩條性質(zhì)，它們是：（1）過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；（2）直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短。對(duì)于性質(zhì)（1）同學(xué)們應(yīng)認(rèn)識(shí)到：已知直線是給出的；要畫一條直線，使畫的這條直線垂直于已知直線；要畫的這條直線于已知直線的直線必須要過(guò)一個(gè)點(diǎn)，不論這個(gè)點(diǎn)是在直線上還是在直線外；這樣的直線能畫出一條而且只能畫出一條。性質(zhì)（2）可以簡(jiǎn)單地說(shuō)成：垂線段最短。3. 點(diǎn)到直線的距離。從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。這個(gè)定義是在垂線的性質(zhì)（2）的基礎(chǔ)上給出的。借助于性質(zhì)（2）很容易理解這一定義。四、正確使用平行線的性質(zhì)和判定所謂“平行線的判定”是除直接利用定義外，根據(jù)其它一些條件，確定兩條直線平行的方法。課本上首先介紹了一個(gè)判定公理：同位角相等，兩直線平行。在此基礎(chǔ)上又導(dǎo)出了另外兩個(gè)判定方法。判定方法1：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。判定方法2：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。這幾種判定方法的實(shí)質(zhì)是從角之間的數(shù)量關(guān)系（相等或互補(bǔ)）來(lái)得出兩直線平行這一位置關(guān)系的。所謂“平行線的性質(zhì)”是在已知兩直線平行這一前提下，能得到的一系列結(jié)論，與判定相對(duì)應(yīng)，這些性質(zhì)（結(jié)論）也有三個(gè)：性質(zhì)公理：兩直線平行，同位角相等。性質(zhì)1：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。性質(zhì)2：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。這三個(gè)性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是從直線平行的位置關(guān)系來(lái)得到角之間的數(shù)量關(guān)系（相等或互補(bǔ)）的。從以上分析可見(jiàn)：平行線的判定和性質(zhì)是相反的兩類問(wèn)題：從角的數(shù)量關(guān)系（相等或互補(bǔ)）得到兩直線平行是判定；由兩直線平行得到角的數(shù)量關(guān)系（相等或互補(bǔ)）是性質(zhì)。平行線的“判定”與“性質(zhì)”的因果關(guān)系恰好相反，它們是互逆的?！芭卸ā钡摹耙颉鼻『檬菍?duì)應(yīng)的“性質(zhì)”的“果”，而“判定”的“果”又恰好是對(duì)應(yīng)的“性質(zhì)”的“因”。可以簡(jiǎn)單的概括為“要證明平行用判定，已知平行用性質(zhì)”。五、能區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論、判斷命題的真假、了解證明的一般步驟。1. 命題。每個(gè)命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成的。題設(shè)就是命題的條件，結(jié)論就是命題中判斷的結(jié)果，怎樣區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論，是命題學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。在學(xué)習(xí)中，要結(jié)合圖形，認(rèn)真分析，不斷總結(jié)，體會(huì)。這樣就能達(dá)到明確區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論的目的。在一般情況下，命題的條件是用“若”、“如果”或“已知”等字樣表示。命題的結(jié)論相應(yīng)的用“則”、“那么”或“求證”等字樣表示。2. 命題有真假之分。如果題設(shè)成立，那么結(jié)論就一定成立的命題是真命題，如果題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論總是正確的，即結(jié)論不成立，這樣的命題就是假命題。要說(shuō)明一個(gè)命題是真命題，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理論證，而要說(shuō)明一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)符合命題題設(shè)，但不滿足命題結(jié)論的例子就可以了，即舉一個(gè)反例就可以判定一個(gè)命題是假命題。3. 證明一個(gè)幾何命題的步驟是：（1）根據(jù)題意，畫出圖形；（2）根據(jù)題設(shè)、結(jié)論，根據(jù)圖形，寫出已知、求證；（3）經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過(guò)程。例如，證明“對(duì)頂角相等”的推理過(guò)程如下：在圖3中，1與3互補(bǔ)，2與3互補(bǔ)（鄰補(bǔ)角的定義），1=2（同角的補(bǔ)角相等）。六、通過(guò)本章的學(xué)習(xí)應(yīng)掌握以下幾種重要的數(shù)學(xué)思想方法1. 定義的作用我們知道，定義具有雙重性的功能。數(shù)學(xué)概念的定義一方面反映了這個(gè)概念的本質(zhì)屬性，另一方面又具有判斷的作用。例如，垂線定義一方面告訴了我們兩直線垂直的條件：如果四個(gè)角中有一個(gè)是直角，則兩直線就垂直；同時(shí)，又向我們提供了一個(gè)判定兩直線垂直的方法：四個(gè)角中只要有一個(gè)角是直角，這兩條直線就一定相互垂直。2. 性質(zhì)定理和判定定理具有互逆性性質(zhì)定理和判定定理是具有相反性的兩個(gè)問(wèn)題，它們的這種“相反性”反映了命題之間的互逆關(guān)系，其中平行線的性質(zhì)定理與判定定理就是典型的代表。如，兩條直線被第三條直線所截，（1）同位角相等，兩直線平行；（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。與這三個(gè)判定定理相對(duì)應(yīng)的三個(gè)性質(zhì)定理分別是：如果兩條直線平行被第三條直線所截，則（1）同位角相等；（2）內(nèi)錯(cuò)角相等；（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)。3. 歸納推理的思想歸納推理是由特殊到一般的推理。垂線的性質(zhì)“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短”就是利用歸納推理的方法得到的。如圖4，點(diǎn)P是直線L外的一點(diǎn)，POL，垂足為O，過(guò)點(diǎn)P畫直線PA、PB、PC、，交L于點(diǎn)A、B、C、，用圓規(guī)比較垂線段PO與線段PA、PB、PC，。故可得垂線的上述性質(zhì)。4. 邏輯推理邏輯推理即演繹推理，它是由一般到特殊的推理。其思維方向與歸納推理的思維方向恰好相反。幾何命題的證明，都是通過(guò)邏輯推理的方