數(shù)學(xué)北師大版八年級下冊因式分解的幾種方法.doc

因式分解的幾種方法把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)總結(jié)如下： 1、 提公因法 如果一個多項式的各項都含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。 例1、 分解因式x3 -2x 2-xx3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1) 2、 應(yīng)用公式法 由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式。 例2、分解因式a2 +4ab+4b2 解：a2 +4ab+4b2 =（a+2b）2 3、 分組分解法 要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，并提出公因式a，把它后兩項分成一組，并提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m2 +5n-mn-5m 解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n = (m2 -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 對于mx2 +px+q形式的多項式，如果ab=m,cd=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 7=7, 2(-3)=-612+7(-3)=-19 解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 對于那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。 例5、分解因式x2 +6x-40 解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40 =(x+ 3)2 -(7 ) 2=(x+3)+7*(x+3) 7 =(x+10)(x-4) 6、拆、添項法 可以把多項式拆成若干部分，再用進行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 換元法 有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數(shù)，然后進行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來。 例7、分解因式2x4 x3 -6x2 -x+2(也叫相反式，在這里以二次項系數(shù)為中心對稱項的系數(shù)是相等的，如四次項與常數(shù)項對稱，系數(shù)相等，解法也是把對稱項結(jié)合在一起) 解：2x 4x3 -6x2 -x+2=2(x4 +1)-x(x2 +1)-6x2 =x2 2x2 + ()2-(x+ )-6令y=x+ , x2 2x2 +( )2-(x+)-6 = x2 2(y2 -2)-y-6 = x2 (2y2 -y-10) =x 2(y+2)(2y-5) =x2 (x+ +2)(2x+ -5) = (x2 +2x+1) (2x2 -5x+2) =(x+1)2 (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多項式f(x)=0,求出其根為x1,x2 ,x3 ,xn ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x1 )(x-x 2)(x-x3 )(x-xn ) （一般情況下是試根法，并且一般試-3,-2,-1,0,1,2,3這些數(shù)是不是方程的根）例8、分解因式2x4 +7x3 -2x2 -13x+6 解：令f(x)=2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0 通過綜合除法可知，f(x)=0根為 ，-3，-2，1 ,則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 圖象法（這種方法在以后學(xué)函數(shù)的時候會用到。現(xiàn)在只是作為了解內(nèi)容，它和第八種方法是類似的） 令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖象與X軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,xn ，則多項式可因式分解為從而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4所以 解得 則x4 x3 -5x2 -6x-4 =(x 2+x+1)(x2 -2x-4)f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3)(x-xn ) 例9、因式分解x3 +2x2 -5x-6 解：令y= x3 +2x2 -5x-6 作出其圖象，可知與x軸交點為-3，-1，2 則x3 +2x 2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先選定一個字母為主元，然后把各項按這個字母次數(shù)從高到低排列，再進行因式分解。 例10、分解因式a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b) 分析：此題可選定a為主元，將其按次數(shù)從高到低排列 解：a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)=a2 (b-c)-a(b2 -c 2)+bc(b-c) =(b-c) a2 -a(b+c)+bc =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 將2或10（或其它數(shù)）代入x，求出數(shù)P，將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當?shù)慕M合，并將組合后的每一個因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x 3+9x2 +23x+15 解：令x=2，則x3 +9x 2+23x+15=8+36+46+15=105 將105分解成3個質(zhì)因數(shù)的積，即105=357 注意到多項式中最高項的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值 則x3 +9x2 +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系數(shù)法 首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項式因式分解。 例12、分解因式x4