2020版高考數(shù)學復習第八章立體幾何與空間向量8.3平面的基本性質與推論教案理（含解析）新人教A版.docx

8.3平面的基本性質與推論最新考綱考情考向分析1.理解空間直線、平面位置關系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題.主要考查與點、線、面位置關系有關的命題真假判斷和求解異面直線所成的角，題型主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強的直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)，主要為中低檔題.1.平面的基本性質及推論(1)平面的基本性質基本性質1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有點都在這個平面內.基本性質2：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面.基本性質3：如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過這個點的公共直線.(2)平面基本性質的推論推論1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面.推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.2.直線與直線的位置關系(1)位置關系的分類(2)判斷兩直線異面：與一平面相交于一點的直線與這個平面內不經(jīng)過交點的直線是異面直線.3.直線與平面的位置關系有直線在平面內、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況.4.平面與平面的位置關系有平行、相交兩種情況.概念方法微思考分別在兩個不同平面內的兩條直線為異面直線嗎？提示不一定.因為異面直線不同在任何一個平面內.分別在兩個不同平面內的兩條直線可能平行或相交.題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)如果兩個不重合的平面，有一條公共直線a，就說平面，相交，并記作a.()(2)兩個平面，有一個公共點A，就說，相交于過A點的任意一條直線.()(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.()(4)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.()(5)沒有公共點的兩條直線是異面直線.()(6)若a，b是兩條直線，是兩個平面，且a，b，則a，b是異面直線.()題組二教材改編2.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成角的大小為()A.30B.45C.60D.90答案C解析連接B1D1，D1C，則B1D1EF，故D1B1C即為所求的角.又B1D1B1CD1C，B1D1C為等邊三角形，D1B1C60.3.如圖，在三棱錐ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則(1)當AC，BD滿足條件_時，四邊形EFGH為菱形；(2)當AC，BD滿足條件_時，四邊形EFGH為正方形.答案(1)ACBD(2)ACBD且ACBD解析(1)四邊形EFGH為菱形，EFEH，ACBD.(2)四邊形EFGH為正方形，EFEH且EFEH，EFAC，EHBD，且EFAC，EHBD，ACBD且ACBD.題組三易錯自糾4.是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，若m，n，且Am，A，則m，n的位置關系不可能是()A.垂直B.相交C.異面D.平行答案D解析依題意，mA，n，m與n可能異面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.5.如圖，l，A，B，C，且Cl，直線ABlM，過A，B，C三點的平面記作，則與的交線必通過()A.點AB.點BC.點C但不過點MD.點C和點M答案D解析AB，MAB，M.又l，Ml，M.根據(jù)公理3可知，M在與的交線上.同理可知，點C也在與的交線上.6.如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面的對數(shù)為_.答案3解析平面圖形的翻折應注意翻折前后相對位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行.故互為異面的直線有且只有3對.題型一平面基本性質的應用例1如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點.求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點.證明(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F(xiàn)四點共面.(2)EFCD1，EF0)，則AA1tAB.AB1，AA1t.A1C1，A1BBC1，cosA1BC1.t3，即3.思維升華用平移法求異面直線所成的角的三個步驟(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角.跟蹤訓練3(2018全國)在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.B.C.D.答案C解析方法一如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1的一側補上一個相同的長方體ABBAA1B1B1A1.連接B1B，由長方體性質可知，B1BAD1，所以DB1B為異面直線AD1與DB1所成的角或其補角.連接DB，由題意，得DB，BB12，DB1.在DBB1中，由余弦定理，得DB2BBDB2BB1DB1cosDB1B，即54522cosDB1B，cosDB1B.故選C.方法二如圖，以點D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系Dxyz.由題意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，(1,0，)，(1,1，)，1101()22，|2，|，cos，.故選C.立體幾何中的線面位置關系直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題.例如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是梯形，BCAD且BCAD，BEFA且BEFA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點.(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？(1)證明由已知FGGA，F(xiàn)HHD，可得GHAD且GHAD.又BCAD且BCAD，GHBC且GHBC，四邊形BCHG為平行四邊形.(2)解BEAF且BEAF，G為FA的中點，BEFG且BEFG，四邊形BEFG為平行四邊形，EFBG.由(1)知BGCH.EFCH，EF與CH共面.又DFH，C，D，F(xiàn)，E四點共面.素養(yǎng)提升平面幾何和立體幾何在點線面的位置關系中有很多的不同，借助確定的幾何模型，利用直觀想象討論點線面關系在平面和空間中的差異.1.四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)為()A.4B.3C.2D.1答案A解析首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以確定四個平面.2.a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是()A.若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B.若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C.若ab，則a，b與c所成的角相等D.若ab，bc，則ac答案C解析若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若ab，bc，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確.故選C.3.如圖所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，則平面ABC與平面的交線是()A.直線ACB.直線ABC.直線CDD.直線BC答案C解析由題意知，Dl，l，所以D，又因為DAB，所以D平面ABC，所以點D在平面ABC與平面的交線上.又因為C平面ABC，C，所以點C在平面與平面ABC的交線上，所以平面ABC平面CD.4.如圖所示，ABCDA1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結論正確是()A.A，M，O三點共線B.A，M，O，A1不共面C.A，M，C，O不共面D.B，B1，O，M共面答案A解析連接A1C1，AC，則A1C1AC，A1，C1，A，C四點共面，A1C平面ACC1A1，MA1C，M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上.A，M，O三點共線.5.(2017全國)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.B.C.D.答案C解析方法一將直三棱柱ABCA1B1C1補形為直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，BD.圖由題意知ABC120，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD2AB2AD22ABADcosDAB2212221cos603，所以BD，所以B1D1.又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角，所以cos.故選C.方法二以B1為坐標原點，B1C1所在的直線為x軸，垂直于B1C1的直線為y軸，BB1所在的直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.圖由已知條件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(1，1)，則(1,0，1)，(1，1).所以cos，.所以異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為.故選C.6.正方體AC1中，與面ABCD的對角線AC異面的棱有_條.答案6解析如圖，在正方體AC1中，與面ABCD的對角線AC異面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6條.7.(2019東北三省三校模擬)若直線l平面，平面平面，則直線l與平面的位置關系為_.答案l或l解析直線l平面，平面平面，直線l平面，或者直線l平面.8.在三棱錐SABC中，G1，G2分別是SAB和SAC的重心，則直線G1G2與BC的位置關系是_.答案平行解析如圖所示，連接SG1并延長交AB于M，連接SG2并延長交AC于N，連接MN.由題意知SM為SAB的中線，且SG1SM，SN為SAC的中線，且SG2SN，在SMN中，G1G2MN，易知MN是ABC的中位線，MNBC，G1G2BC.9.如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為_.答案解析取圓柱下底面弧AB的另一中點D，連接C1D，AD，因為C是圓柱下底面弧AB的中點，所以ADBC，所以直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角，因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，所以C1D垂直于圓柱下底面，所以C1DAD.因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.10.如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，GH與EF平行；BD與MN為異面直線；GH與MN成60角；DE與MN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是_.答案解析還原成正四面體ADEF，其中H與N重合，A，B，C三點重合.易知GH與EF異面，BD與MN異面.連接GM，GMH為等邊三角形，GH與MN成60角，易證DEAF，又MNAF，MNDE.因此正確命題的序號是.11.如圖所示，A是BCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點.(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若ACBD，ACBD，求EF與BD所成的角.(1)證明假設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內，這與A是BCD所在平面外的一點相矛盾.故直線EF與BD是異面直線.(2)解取CD的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則ACFG，EGBD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角.又因為ACBD，則FGEG.在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45，即異面直線EF與BD所成的角為45.12.如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，D是PC的中點.已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱錐PABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值.解(1)SABC222，三棱錐PABC的體積為VSABCPA22.(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則EDBC，所以ADE(或其補角)是異面直線BC與AD所成的角.在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.13.平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()A.B.C.D.答案A解析如圖所示，設平面CB1D1平面ABCDm1，平面CB1D1，則m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1，B1D1m，同理可得CD1n.故m，n所成角的大小與B1D1，CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小.又B1CB1D1CD1(均為面對角線)，CD1B1，得sinCD1B1，故選A.14.一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論：ABEF；AB與CM所成的角為60；EF與MN是異面直線；MNCD.以上四個命題中，正確命題的序號是_.答案解析如圖，ABEF，正確；顯然ABCM，所以不正確；EF與MN是異面直線，所以正確；MN與CD異面，并且垂直，所以不正確，則正確的是.15.如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC4，ACB90，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點，則AD與GF所成的角的余弦值為_.答案解析取DE的中點H，連接HF，GH.由題設，HFAD且HF