高中數(shù)學 第一講 坐標系 三 簡單曲線的極坐標方程學案 新人教A版選修44.doc

三簡單曲線的極坐標方程1能在極坐標系中給出簡單圖形(如過極點的直線，過極點或圓心在極點的圓)的方程2通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，體會在用方程刻畫平面圖形時選擇適當坐標系的意義1圓的極坐標方程(1)曲線c的極坐標方程：一般地，在極坐標系中，如果平面曲線c上任意一點的極坐標中_，并且坐標_都在曲線c上，那么方程f(，)0叫做曲線c的極坐標方程(1)由于平面上點的極坐標的表示形式不惟一，因此曲線的極坐標方程與直角坐標方程也有不同之處一條曲線上點的極坐標有多組表示形式，這里要求至少有一組能滿足極坐標方程有些表示形式可能不滿足方程例如，對極坐標方程，點m(，)可以表示為(，2)或(，2)等多種形式，其中只有(，)的形式滿足方程，而其他表示形式都不滿足方程(2)今后我們遇到的極坐標方程多是()的形式，即為的一個函數(shù)(3)由極坐標系中點的對稱性可得到極坐標方程()的圖形的對稱性：若()()，則相應圖形關于極軸對稱；若()()，則圖形關于射線所在的直線對稱；若()()，則圖形關于極點o對稱(2)圓經過極點o，圓與極軸的另一個交點是a(2a,0)，圓的半徑是a，圓心坐標是c(a,0)(a0)，則圓的極坐標方程是_【做一做11】 極坐標方程1表示()a直線 b射線 c圓 d橢圓【做一做12】 在極坐標系中，求圓心為a(8，)，半徑為5的圓的方程2直線的極坐標方程直線l經過極點，極軸與直線l的夾角是，則直線l的極坐標方程為_(r)求平面曲線的極坐標方程，就是要找極徑和極角之間的關系，常用解三角形(正弦定理、余弦定理)的知識、利用三角形的面積相等等來建立，之間的關系【做一做21】 極坐標方程sin (r)表示的曲線是()a兩條相交直線 b兩條射線c一條直線 d一條射線【做一做22】 曲線0，(0)和4所圍成圖形的面積是_【做一做23】 極坐標方程cos sin 2所表示的曲線是_答案：1(1)至少有一個滿足方程f(，)0適合方程f(，)0的點(2)2acos 【做一做11】 c【做一做12】 解：在圓上任取一點p(，)，那么，在aop中，|oa|8，|ap|5，aop或.由余弦定理得cos aop，即216cos ()390為所求圓的極坐標方程2【做一做21】 a【做一做22】 【做一做23】 一條直線和一個圓cos sin 22sin cos ，cos 0或2sin .cos 0表示一條直線(y軸)；2sin 2cos ()表示圓心為(1，)，半徑為1的圓1直角坐標系與極坐標系的區(qū)別剖析：(1)在平面直角坐標系內，點與有序實數(shù)對即坐標(x，y)是一一對應的，可是在極坐標系內，雖然一個有序實數(shù)對(，)只能與一個點p對應，但一個點p卻可以與無數(shù)多個有序實數(shù)對(，)對應例如(，2n)與(，(2n1)(n為整數(shù))表示的是同一個點，所以在極坐標系內點與有序實數(shù)對(，)不是一一對應的(2)在直角坐標系內，一條曲線如果有方程，那么曲線和它的方程是一一對應的(解集完全相同且互相可以推導的等價方程，只看作一個方程)可是在極坐標系內，雖然是一個方程只能與一條曲線對應，但一條曲線卻可以與多個方程對應，所以曲線和它的方程不是一一對應的(3)在直角坐標系內，曲線上每一點的坐標一定適合它的方程，可是在極坐標系內，曲線上一點的所有坐標不一定都適合方程例如給定曲線，設點p的一個極坐標為(，)，那么點p適合方程，從而是曲線上的一個點，但點p的另一個極坐標(，)就不適合方程了所以在極坐標系內，確定某一個點p是否在某一曲線c上，只需判斷點p的極坐標中是否有一種形式適合曲線c的方程即可2求極坐標方程的步驟剖析：求曲線的極坐標方程的方法和步驟與求直角坐標方程的步驟類似，就是把曲線看作適合某種條件的點的集合或軌跡將已知條件用曲線上的點的極坐標，的關系式f(，)0表示出來，就得到曲線的極坐標方程，具體如下：(1)建立適當?shù)臉O坐標系，設p(，)是曲線上任意一點(2)由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑和極角之間的關系式(3)將列出的關系式進行整理，化簡，得出曲線的極坐標方程(4)證明所得方程就是曲線的極坐標方程，若方程的推導過程正確，化簡過程都是同解變形，證明可以省略3常見的直線和圓的極坐標方程剖析：(1)直線的極坐標方程(a0)過極點，并且與極軸成角的直線的極坐標方程：(r)；垂直于極軸和極點間的距離為a的直線的極坐標方程：cos a；平行于極軸和極軸間的距離為a的直線的極坐標方程：sin a；不過極點，和極軸成角，到極點距離為a的直線的極坐標方程：sin()a.(2)圓的極坐標方程(a0)圓心在極點，半徑為a的圓的極坐標方程：a；圓心在(a,0)，半徑為a的圓的極坐標方程：2acos ；圓心在(a，)，半徑為a的圓的極坐標方程：2acos ；圓心在(a，)，半徑為a的圓的極坐標方程：2asin ；圓心在(a，)，半徑為a的圓的極坐標方程：2asin ；圓心在(a，0)，半徑為a的圓的極坐標方程：2acos (0)題型一 圓的極坐標方程【例1】 求圓心在a(2，)，并且過極點的圓的極坐標方程，并把它化為直角坐標方程反思：在求曲線的極坐標方程時，關鍵是找出曲線上的點滿足的幾何條件，將它用坐標表示，然后化簡，最后求出與的函數(shù)關系，即要求的極坐標方程題型二 直線的極坐標方程【例2】 求過點a(1,0)且傾斜角為的直線的極坐標方程分析：本題可用兩種解法：(1)可先根據題意畫出草圖，并設點m(，)是直線上的任意一點，從而由等量關系建立關于，的方程并化簡，最后檢驗是否是所求即可；(2)可先由已知條件寫出直線的點斜式的直角坐標方程，然后由公式化為極坐標方程即可反思：解法一通過運用正弦定理解三角形建立了動點m所滿足的等式，從而建立了以，為未知數(shù)的方程；解法二先求出直線的直角坐標方程，然后通過利用直角坐標向極坐標的轉化公式間接得解題型三 直角坐標方程與極坐標方程的互化【例3】 將下列曲線的直角坐標方程化為極坐標方程：(1)射線yx(x0)；(2)圓x2y22ax0(a0)分析：由公式化簡即可反思：化曲線的直角坐標方程f(x，y)0為極坐標方程f(，)0，只要將xcos ，ysin 代入到方程f(x，y)0中即可化為極坐標方程時，如果不加特殊說明，就認為0.例如x2y225化為極坐標方程時，有5或5兩種情況，由于0，所以只取5.事實上，這兩個方程都表示以極點為圓心，以5為半徑的圓題型四 易錯辨析【例4】 把直角坐標方程xy0化為極坐標方程錯解：將xcos ，ysin 代入xy0得cos sin 0.(cos sin )0.tan 1.所以極坐標方程是k(kz)答案：【例1】 解：如圖，設m(，)為圓上除o、b外的任意一點，連接om，mb，則有ob4，|om|，mob|，bmo，從而bom為直角三角形，所以有|om|ob|cosmob，即4cos()4sin ，點o(0,0)，b(4，)也適合此方程，故所求圓的極坐標方程為4sin .化為直角坐標方程為x2y24y0.【例2】解法一：如圖，設m(，)(0)為直線上除點a以外的任意一點，則xam，oam，oma，在oam中，由正弦定理得，即，所以sin()，即(sin cos cos sin )，化簡，得(cos sin )1，經檢驗點a(1,0)的坐標適合上述方程，所以滿足條件的直線的極坐標方程為(cos sin )1.解法二：以極點o為直角坐標原點，極軸為x軸，建立平面直角坐標系xoy，直線的斜率ktan 1，直線方程為yx1，將ysin ，xcos (0)代入上式，得sin cos 1，所以(cos sin )1.【例3】 解：(1)將xcos ，ysin 代入yx，得sin cos ，tan ，或.又x0，cos 0，射線yx(x0)的極坐標方程為(0)(2)將xcos ，ysin 代入x2y22ax0，得2cos2 2sin2 2acos 0，即(2acos )0，2acos ，圓x2y22ax0(a0)的極坐標方程為2acos ，圓心為(a,0)，半徑為r|a|.【例4】 錯因分析：由直角坐標求極坐標時，理論上不是惟一的，但這里通常約定只在0,2)范圍內取值正解：將xcos ，ysin 代入xy0得cos sin 0，(cos sin )0，tan 1.(0)和(0)綜上所述，直線xy0的極坐標方程為(0)和(0)或(r)或(r)1極坐標方程cos (0)表示的曲線是()a余弦曲線 b兩條相交直線c一條射線 d兩條射線2在極坐標系中，過點p(3，)且垂直于極軸的直線方程為()acos bsin ccos dsin 3(2012廣東惠州一模)在極坐標系中，點p(2，)到直線l：3cos4sin3的距離為_4求過a(2，)且平行于極軸的直線5在圓心的極坐標為a(4,0)，半徑為4的圓中，求過極點o的弦的中點的軌跡答案：1dcos ，2k(kz)又0，cos 表示兩條射線2a設直線與極軸的交點為a，則|oa|op|cos，又設直線上任意一點m(，)，則|om|cos |oa|，即cos .31在相應直角坐標系中，p(0，2)，直線l方程：3x4y30，所以p到l的距離：d.4.解：如圖所示，在直線l上任意取一點