同濟大學微積分課件ch6_2.ppt

第二節(jié)偏導數(shù) 本節(jié)要點 一 偏導數(shù)的定義及偏導數(shù)的計算方法 二 偏導數(shù)的幾何意義 三 高階偏導數(shù) 一 偏導數(shù) 導數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量的比值的極限 即 一個變量的改變而引起函數(shù)改變的情況 在一元函數(shù)的微積分中 我們知道 所謂一元函數(shù)的 自然 多元函數(shù)的情況要復雜的多 但有時候也會遇到 為此 我們引入 1 偏增量 設函數(shù)定義域為點 稱其為函數(shù)在點 關于自變量的偏增量 記為 給自變量以增量并使得點 相應的函數(shù)的增量為 即 2 偏導數(shù) 設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義 存在 則稱此極限為函數(shù)在點對 給以增量并使得若極限 的偏導數(shù) 記作 類似地 若極限 存在 則稱此極限為函數(shù)在點對 的偏導數(shù) 記作 則稱函數(shù)在點可偏導 稱其為的偏導函數(shù) 記為 當函數(shù)在點同時存在對的偏導數(shù) 如果函數(shù)在某平面區(qū)域內(nèi)的每一點 都存在對或對的偏導 由此得到了新的函數(shù) 注從偏導數(shù)的定義中可以看出 多元函數(shù)對某一變量 的偏導數(shù) 實際上是把其它變量視為常數(shù)的導數(shù) 因而 在對某變量求導的過程中 只需把其它變量視為常數(shù) 對該變量用一元函數(shù)求導的方法 即可求出相應的導數(shù) 例求函數(shù)在點處的導數(shù) 解 所以 例設求 解由一元復合函數(shù)的求導法則得 二 偏導數(shù)的幾何意義 設二元函數(shù) 在點有偏導 為曲面上的點 過點作平面 此平面與曲面相交得一曲線 曲線的方程為 由定義 知道 在幾何上表示曲線 在點處的切線對軸的斜率 偏導數(shù)在幾何上表示曲線在點 處的切線對軸的斜率 同理 三 可導與連續(xù) 即如果函數(shù)在某一點可偏導 不能保證函數(shù)在該點連續(xù) 在一元函數(shù)微分學中我們知道 如果函數(shù)在一點可導 則在該點一定連續(xù) 但是對多元函數(shù)而言 此結論就不成立 可導連續(xù) 例設 解當時 求的偏導 當時 即 由于 所以不存在 函數(shù)在處不連續(xù) 四 高階偏導數(shù) 如果這兩個偏導數(shù)仍可偏導 則稱它們的偏導數(shù)為函數(shù) 設函數(shù)在平面區(qū)域內(nèi)處處存在偏導數(shù) 由求導次序 可得到相應的四個二階偏導 的二階偏導數(shù) 而其中的第二與第三項稱為混合偏導 例求的二階偏導數(shù) 解 我們可以看到這兩個混合偏導是相同的 例設 求 解當時 而當時 此時 內(nèi) 定理如果函數(shù)的兩個二階混合偏導數(shù) 在區(qū)域內(nèi)內(nèi)連續(xù) 那么在該區(qū)域 上例中繼續(xù)計算可驗證不存在 因此不滿足定