高考數(shù)學(xué) 專題輔導(dǎo)與訓(xùn)練 1.4《不等式》課件 理 新人教版.ppt

熱點考向1不等式的性質(zhì) 例1 1 下列命題中不正確的是 a a b a 2 x b 2 x b cac c a b c d cd 0 d a b 0 2 若角 滿足 則的取值范圍用區(qū)間表示分別是 解題指導(dǎo) 1 分析每個命題的條件與結(jié)論 合理使用不等式的性質(zhì)進行推理證明或舉反例來說明 2 先由已知求出的取值范圍 再由不等式的性質(zhì)得出結(jié)論 規(guī)范解答 1 選c a正確 因為2 x 0 a b 由不等式的性質(zhì)知2 x a 2 x b b正確 因為c0 cc 得ab ac c不正確 若a b 0 c0時顯然有d正確 由a b 0 可得 0 即 2 從而兩式相加即得 即又 又 0 0 即 0 答案 0 變式備選 1 若本例 2 的已知條件不變 則2 的取值范圍是什么 解析 2 根據(jù)不等式的性質(zhì)得 2 又 2 若將例 2 中的已知條件改為 則的取值范圍變?yōu)槭裁?解析 即又 即故的取值范圍均為 不等式性質(zhì)的應(yīng)用問題 1 不等式的性質(zhì)包括 單向性 和 雙向性 兩個方面 單向性主要用于證明不等式 雙向性是解不等式的基礎(chǔ) 也可用于證明不等式 2 對于不等式的性質(zhì) 要弄清每一個性質(zhì)的條件和結(jié)論 注意條件的加強或減弱 條件與結(jié)論之間的相互關(guān)系 3 判斷不等式是否成立時 常利用不等式的基本性質(zhì) 函數(shù)的單調(diào)性和特殊值等方法 4 比較數(shù)的大小通常用作差法和作商法 作差法 是比較大小的一個最基本的方法 依據(jù)是 a b 0 a b a b 0 a b a b1 a 0 b a 1 b a 0 b a 解題步驟為 作商 變形 判斷 結(jié)論 其實質(zhì)是把兩個數(shù)的大小比較轉(zhuǎn)化為一個數(shù)與1進行比較 5 由a f1 x y b c f2 x y d 求g x y mf1 x y nf2 x y 的取值范圍 可利用待定系數(shù)法解決 對已知范圍要整體代換 而不能求出變量x y的范圍 否則將擴大范圍 這類題也可通過線性規(guī)劃來解決 使用不等式的性質(zhì)時 一定要注意使它成立的前提條件 1 對于下列四個命題 若a b c d a c b d 若a b 0 c d 0 若ac bc 則a b 若a b 0 則其中正確命題的個數(shù)為 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 選b 由不等式的性質(zhì)知 對 命題 全錯 也可舉反例 2 如果a 0 b且a b 0 那么以下不等式 a2 b2 a3 ab2 a2b b3 其中不成立的序號為 解析 a b 0 a b 又 a 0 b a 0 b 0 0 b 2 b2 故 均成立 a2 b2成立且a 0 ba b2 a2 bab2 a2b b3 故 不成立 成立 答案 熱點考向2不等式的解法 例2 1 2011 江西高考 若f x x2 2x 4lnx 則f x 0的解集為 a 0 b 1 0 2 c 2 d 1 0 2 2011 遼寧高考 設(shè)函數(shù)f x 則滿足f x 2的x的取值范圍是 a 1 2 b 0 2 c 1 d 0 3 2011 黃石模擬 定義在r上的偶函數(shù)f x 在 0 上是增函數(shù) 且f 0 則不等式f 0的解集是 a 0 b 2 c 0 2 d 1 2 解題指導(dǎo) 1 首先求出f x 的導(dǎo)數(shù) 再解分式不等式 2 可分x 1和x 1兩種情況分別求解 再把結(jié)果合并起來 3 根據(jù)已知函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性 分類討論 把不等式等價轉(zhuǎn)化為簡單的對數(shù)不等式 再利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求解 規(guī)范解答 1 選c 由條件得 f x 2x 2 令f x 0 即2x 2 0 整理得 0 解得 12 又因為f x 的定義域為 x x 0 所以x 2 故選c 2 選d 若x 1 則21 x 2 解得0 x 1 若x 1 則1 log2x 2 解得x 1 綜上 x 0 故選d 3 選c 當(dāng)0 x 1時 0 根據(jù)f x 是 0 上的增函數(shù)且f 0 原不等式化為f f 因此 0 x 0 x 當(dāng)x 1時 0 根據(jù)f x 是偶函數(shù)且在 0 上是增函數(shù) 可得f x 在 0 上是減函數(shù) 又 x 2 x 2綜上可得不等式的解集是 0 2 常見不等式的類型及解法 解各類不等式時要特別注意不等式的等價轉(zhuǎn)化 使用分類討論時應(yīng)不重不漏 1 不等式 0的解集為 a 1 b 1 1 c 1 1 d 1 1 解析 選c 由 0 可得即得x 1 1 故應(yīng)選c 2 2011 北京模擬 已知函數(shù)f x 則不等式f 1 x2 f 2x 的解集是 a x 1 x 1 b x x 1或x 1 c x 1 x 1 d x x 1 或x 1 解析 選d 1 x2 1 f 1 x2 1 x2 1 2 2 x4 2當(dāng)2x 1即x 時 f 2x 2時 原不等式變?yōu)閤4 2 2 此時x 0 x 當(dāng)2x 1即x 時 f 2x 2x 1 2 2 原不等式變?yōu)閤4 2 2x 1 2 2 即x4 2x 1 2 x2 2x 1 2x 1 則x2 2x 1 0 解得x 1 或x 1 x 1 或 1 x 綜上可知 不等式的解集為x 1 或x 1 熱點考向3均值不等式及其應(yīng)用 例3 2011 吉安模擬 如圖所示是某水產(chǎn)養(yǎng)殖場的養(yǎng)殖大網(wǎng)箱的平面圖 四周的實線為網(wǎng)衣 為避免混養(yǎng) 用篩網(wǎng) 圖中虛線 把大網(wǎng)箱隔成大小一樣的小網(wǎng)箱 1 若大網(wǎng)箱的面積為108平方米 每個小網(wǎng)箱的長x 寬y設(shè)計為多少米時 才能使圍成的網(wǎng)箱中篩網(wǎng)的總長度最小 2 若大網(wǎng)箱的面積為160平方米 網(wǎng)衣的造價為112元 米 篩網(wǎng)的造價為96元 米 且大網(wǎng)箱的長與寬都不超過15米 則小網(wǎng)箱的長 寬為多少米時 可使總造價最低 解題指導(dǎo) 1 用x y表示出篩網(wǎng)總長度的函數(shù)關(guān)系式 根據(jù)均值不等式求最小值 2 用x y表示出總造價的函數(shù)表達式 注意到x y的限制條件 根據(jù)單調(diào)性求最小值 規(guī)范解答 1 設(shè)篩網(wǎng)總長度為s 依題意知4x 2y 108 即xy s 4x 6y 因為4x 6y 2 2x 3y 4 36 所以s 36 當(dāng)且僅當(dāng)2x 3y時 等號成立 解方程組得即每個小網(wǎng)箱的長與寬分別為4 5米與3米時 網(wǎng)箱中篩網(wǎng)的總長度最小 2 設(shè)總造價為w元 則由4x 2y 160 得xy 20 因為4x 15 2y 15 所以w 8x 4y 112 4x 6y 96 8x 4 112 4x 6 96 1280 x 求導(dǎo) 可得w x 在 上單調(diào)遞減 所以當(dāng)x 時 w最小 此時即當(dāng)小網(wǎng)箱的長與寬分別為米與米時 可使總造價最低 均值不等式的應(yīng)用問題 1 用均值不等式求最值時 常用到兩個結(jié)論 可簡述為 和定積最大 與 積定和最小 2 運用均值不等式求最值時 必須做到 一正 二定 三相等 一正 指公式中的各項均為正 二定 指含變數(shù)的兩項的和或積為定值 三相等 指含變數(shù)的兩項相等時 才能取到最值 并且這三個條件是缺一不可的 3 對于形如y x k 0 的函數(shù)求最值時 一般用均值不等式來解 若等號無法取到 則用函數(shù)的單調(diào)性進行求解 4 當(dāng)所給式子不滿足適用均值不等式的形式時 可通過 拆 拼 湊 等方式進行變形 使之符合應(yīng)用不等式的條件形式 5 均值不等式的常見變形 a b 2 a 0 b 0 ab 2 a b r a2 b2 2 a b r 這些變形溝通了a b ab a2 b2三者的關(guān)系 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和變形的方向 對這些變形要靈活選用 必須同時具備 一正 二定 三相等 才能使用均值不等式求最值 否則要用單調(diào)性求解 某商店預(yù)備在一個月內(nèi)分批購入每張價值為20元的書桌共36張 每批都購入x張 x是正整數(shù) 且每批均需付運費4元 儲存購入的書桌一個月所付的保管費與每批購入書桌的總價值 不含運費 成正比 若每批購入4張 則該月需用去運費和保管費共52元 1 求該月需用去的運費和保管費的總費用f x 2 現(xiàn)在全月只有48元資金可以用于支付運費和保管費 能否恰當(dāng)?shù)匕才琶颗M貨的數(shù)量 使資金夠用 寫出你的結(jié)論 并說明理由 解析 1 設(shè)題中的比例系數(shù)為k 若每批購入x張 則共需分批 每批價值為20 x元 由題意可知f x 4 k 20 x 由x 4時 f x 52得k f x 4x 0 x 36 x n 2 由 1 知f x 4x 0 x 36 x n f x 2 48 元 當(dāng)且僅當(dāng) 4x即x 6時 上式等號成立 故只需每批購入6張書桌 可以使資金夠用 熱點考向4不等式的證明 例4 12分 2011 安徽高考 1 設(shè)x 1 y 1 證明x y 2 已知1 a b c 證明logab logbc logca logba logcb logac 解題指導(dǎo) 1 利用不等式的基本性質(zhì) 用分析法 比較法綜合證明 2 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)的換底公式等價轉(zhuǎn)化為第 1 問已證出的結(jié)論 規(guī)范解答 1 由于x 1 y 1 所以要證明x y xy 只需證xy x y 1 y x xy 2 2分用上式中的右式減左式 得 y x xy 2 xy x y 1 xy 2 1 xy x y x y xy 1 xy 1 x y xy 1 xy 1 xy x y 1 xy 1 x 1 y 1 4分因為x 1 y 1 所以 xy 1 x 1 y 1 0 從而所要證明的不等式成立 6分 2 設(shè)logab x logbc y 由對數(shù)的換底公式得logac xy 于是 所要證明的不等式即為x y xy 10分其中x logab 1 y logbc 1 故由 1 成立知logab logbc logca logba logcb logac成立 12分 證明不等式的常見方法 1 比較法是證明不等式的一種最基本 最重要的方法 分為作差法和作商法兩種 其中用作差法證明不等式時 通常是進行因式分解 利用各因式的符號進行判斷 或進行配方 利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進行判斷 2 綜合法證明不等式時 主要用均值不等式 函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì) 推導(dǎo)出結(jié)論 即 由因?qū)Ч?3 分析法的思維是逆向思維 即從求證的不等式出發(fā) 尋求使這個不等式成立的充分條件 即 執(zhí)果索因 4 放縮法是證明與數(shù)列有關(guān)的不等式的一種常見方法 常用的方法有 拆分或添加一些項 將分子或分母增大 減小 如 k n k 1 k n k 1 k n k 1 k n k 1 等 放縮要適當(dāng) 放縮得過大或過小都會得到不恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)論 5 通過利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法證明不等式已成為高考的新的增長點 6 數(shù)學(xué)歸納法 在證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式時 可用數(shù)學(xué)歸納法來解決 證明時要注意數(shù)學(xué)歸納法證題的規(guī)范與要求 特別是在證明n k 1不等式成立時一定要用上歸納假設(shè) 否則就不是數(shù)學(xué)歸納法 證明不等式的關(guān)鍵是根據(jù)所給不等式的特點確定正確的證明方法 1 已知x y都是正實數(shù) 求證 x3 y3 x2y xy2 2 已知a b c都是正實數(shù) 求證 a3 b3 c3 a2 b2 c2 a b c 證明 1 方法一 x3 y3 x2y xy2 x2 x y y2 y x x y x2 y2 x y 2 x y 又 x 0 y 0 x y 2 0 x y 0 x y 2 x y 0 x3 y3 x2y xy2 方法二 x2 y2 2xy 又 x y都是正實數(shù) x y 0 x2 y2 x y 2xy x y 展開得x3 y3 x2y xy2 2x2y 2xy2 移項 整理得x3 y3 x2y xy2 2 a 0 b 0 c 0 由 1 知 a3 b3 a2b ab2 b3 c3 b2c bc2 c3 a3 c2a ca2 將上述三式相加得 2 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 3 a3 b3 c3 a3 a2b ca2 b3 ab2 b2c c3 bc2 c2a a2 a b c b2 a b c c2 a b c a b c a2 b2 c2 a3 b3 c3 a2 b2 c2 a b c 數(shù)學(xué)建模思想 解答不等式的應(yīng)用問題不等式應(yīng)用的主要問題類型 1 運用不等式研究函數(shù)問題 單調(diào)性 最值等 2 運用不等式研究方程解的問題 3 利用函數(shù)性質(zhì)及方程理論研究不等式問題 諸如方程的根的分布問題 解集之間的關(guān)系 函數(shù)的定義域及值域問題 解析幾何中有關(guān)范圍問題 直線與圓錐曲線位置關(guān)系的討論 三角 數(shù)列 立體幾何中的最值問題等都與不等式的知識相關(guān)聯(lián) 綜合性強 求解時應(yīng)注意的問題 1 審題 分為讀懂和加深理解兩個層次 把 問題情景 譯為數(shù)學(xué)語言 理清問題的主要關(guān)系 2 建模 把問題的主要關(guān)系近似化 形式化 抽象成數(shù)學(xué)問題 即建立數(shù)學(xué)模型 3 解模 把數(shù)學(xué)問題化為常規(guī)問題 選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解 4 檢驗 對結(jié)果進行驗證或評估 最后將結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實 作出解釋或預(yù)測 典例 12分 2011 湖北高考 提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況 在一般情況下 大橋上的車流速度v 單位 千米 小時 是車流密度x 單位 輛 千米 的函數(shù) 當(dāng)橋上的車流密度達到200輛 千米時 造成堵塞 此時車流速度為0 當(dāng)車流密度不超過20輛 千米時 車流速度為60千米 小時 研究表明 當(dāng)20 x 200時 車流速度v是車流密度x的一次函數(shù) 1 當(dāng)0 x 200時 求函數(shù)v x 的表達式 2 當(dāng)車流密度x為多大時 車流量 單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù) 單位 輛 小時 f x x v x 可以達到最大 并求最大值 精確到1輛 小時 解題指導(dǎo) 1 由車流密度不超過20輛 千米時 車流速度為60千米 小時 可得0 x 20時 v x 60 又20 x 200時 車流速度v是車流密度x的一次函數(shù) 設(shè)v x ax b 利用x 200時v 0及x 20時v 60可求出a b 據(jù)此可求v x 表達式 2 f x 是關(guān)于x的分段函數(shù) 求出每段的最大值 再比較可得f x 的最大值 規(guī)范解答 1 由題意 當(dāng)