2018_2019高中數(shù)學第一講不等式和絕對值不等式1.1.3三個正數(shù)的算術_幾何平均不等式導學案.docx

1.1.3三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式學習目標1探索并了解三個正數(shù)的算術幾何平均不等式的證明過程2會用平均不等式求一些特定函數(shù)的最大(小)值3會建立函數(shù)不等式模型，利用其解決實際生活中的最值問題一、自學釋疑根據(jù)線上提交的自學檢測，生生、師生交流討論，糾正共性問題。二、合作探究探究1滿足不等式成立的a，b，c的范圍是什么？探究2應用三個正數(shù)的算術幾何平均不等式，求最值應注意什么？探究3利用不等式求最值的條件是什么？探究4如何求yx2的最小值？例1 已知xR，求函數(shù)yx(1x2)的最大值變式練習1已知xR，求函數(shù)yx2(1x)的最大值例2 設a、b、cR，求證：(1)(abc)227；(2)(abc).變式練習2設0a1，0b1，0c1，求證：abc(1a)(1b)(1c).例3 已知圓錐的底面半徑為R，高為H，求圓錐的內(nèi)接圓柱體的高h為何值時，圓柱的體積最大？并求出這個最大的體積變式練習3制作一個圓柱形的飲料盒，如果容積一定，怎樣設計它的尺寸，才能使所用的材料最少？參考答案探究1【提示】a，b，c的范圍為a0，b0，c0探究2【提示】三個正數(shù)的和為定值，積有最大值；積為定值，和有最小值當且僅當三個正數(shù)相等時取得探究3【提示】“一正、二定、三相等”，即(1)各項或各因式為正；(2)和或積為定值；(3)各項或各因式能取到相等的值探究4 【提示】yx233，當且僅當，即x時，等號成立，ymin3.其中把x2拆成和兩個數(shù)，這樣可滿足不等式成立的條件若這樣變形：yx2x2，雖然滿足了乘積是定值這個要求，但“三相等”不能成立，因為x2時x無解，不能求出y的最小值例1【解析】yx(1x2)，y2x2(1x2)22x2(1x2)(1x2).2x2(1x2)(1x2)2，y2.當且僅當2x21x21x2，即x時取“”號y.y的最大值為.變式練習1解：yx2(1x)xx(1x)xx(22x).當且僅當x22x，即x時取等號此時，ymax.例2 【解析】(1)a，b，cR，abc30，從而(abc)290，又30，(abc)23927當且僅當abc時，等號成立(2)a，b，cR，(ab)(bc)(ca)30，30，(abc).當且僅當abc時，等號成立變式練習2證明：0a0.0a(1a).同理0b(1b)，0c(1c).當且僅當abc時，以上三個式子等號成立將以上三個不等式相乘得abc(1a)(1b)(1c).例3 【解析】設圓柱體的底面半徑為r，如圖，由相似三角形的性質可得，r(Hh)V圓柱r2h(Hh)2h(0hH)根據(jù)平均不等式可得V圓柱hR2H.當且僅當h，即hH時，V圓柱最大R2H.變式練習3解：設圓柱形飲料盒的體積為V(定值)，底面半徑為r，高為h，表面積為S.則Vr2h