高數(shù)課件19定積分的換元積分.ppt

營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 定積分的換元法 上一節(jié)我們建立了積分學(xué)兩類基本問題之間的聯(lián)系 微積分基本公式 利用這個公式計算定積分的關(guān)鍵是求出不定積分 而換元法和分部積分法是求不定積分的兩種基本方法 如果能把這兩種方法直接應(yīng)用到定積分的計算 相信定能使得定積分的計算簡化 下面我們就來建立定積分的換元積分公式和分部積分公式 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 先來看一個例子 例1 換元求不定積分 令 則 故 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 為去掉根號 令 則 當(dāng)x從0連續(xù)地增加到4時 t相應(yīng)地從1連續(xù)地增加到3 于是 嘗試一下直接換元求定積分 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 將上例一般化就得到定積分的換元積分公式 由此可見 定積分也可以象不定積分一樣進(jìn)行換元 所不同的是不定積分換元時要回代原積分變量 而對定積分則只需將其上 下限換成新變量的上 下限即可計算出定積分 而不必回代原積分變量 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 一 換元公式 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 證 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意 1 2 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 計算 解1 由定積分的幾何意義 等于圓周的第一象限部分的面積 解2 故 o 例2 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 令 解4 令 仍可得到上述結(jié)果 解3 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 解 令 例3計算 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 定積分的換元積分公式也可以反過來使用 為方便計 將換元公式的左 右兩邊對調(diào) 同時把x換成t t換成x 這說明可用 引入新變量 但須注意如明確引入新變量 則必須換限如沒有明確引入新變量 而只是把整體視為新變量 則不必?fù)Q限 注 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 例4計算 解 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 例5計算 解 原式 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 例6計算 解一 令 原式 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 解二 接解一 對 令 則 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 證 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 即 奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于0偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于對稱的部分區(qū)間上積分的兩倍由定積分的幾何意義 這個結(jié)論也是比較明顯的 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 例8計算 解 原式 偶函數(shù) 奇函數(shù) 四分之一單位圓的面積 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 1 設(shè) 2 設(shè) 證 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 另證 將上式改寫為 奇函數(shù) 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 例10設(shè)f x 是以L為周期的連續(xù)函數(shù) 證明 證明 與a的值無關(guān) 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 例11設(shè)f x 連續(xù) 常數(shù)a 0證明 證明 比較等式兩邊的被積函數(shù)知 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 例12設(shè)f x 連續(xù) 解 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 定積分的換元法 幾個特殊積分 定積分的幾個等式 二 小結(jié) 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 思考題 解 令 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 思考題解答 計算中第二步是錯誤的 正確解法是 營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621 練習(xí)題 營口地區(qū)成人高等教育