函數(shù)圖像及其變換.doc

函數(shù)圖像及其變換上海師范大學附屬外國語中學 李慶兵函數(shù)是整個高中數(shù)學的重點和難點，高中階段對函數(shù)性質的研究往往是通過研究函數(shù)圖像及其變換得到的，所以函數(shù)圖像及其變換也就成為高考的固定考點。歷年高考考試大綱中都明確要求，學生要“會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質”，并且與前幾年比較可以發(fā)現(xiàn)，近幾年高考對于函數(shù)圖像方面的考查已經(jīng)不再局限于對幾個常見函數(shù)本身的單一的考查，而是結合函數(shù)的運算，更為深刻地考查函數(shù)與函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式、函數(shù)與其他學科或現(xiàn)實生活等方面的聯(lián)系。這就要求我們不僅要熟練掌握一些基本函數(shù)的圖像特征及函數(shù)圖像變換的幾種常見方法，而且要會靈活運用。下面筆者就結合近幾年的一些高考試題，談一些函數(shù)圖像及其變換和應用方面的問題，希望能引起正在忙于備考的高三教師和學子們的重視，并給他們帶來一些啟發(fā)。（一）平移變換及其應用：函數(shù)的圖像可以看作是由函數(shù)的圖像先向左0）或向右（0）平移個單位，再向上0）或向下（0）平移個單位得到。如：例1、（2008上海理11）方程的解可視為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標。若方程的各個實根所對應的點均在直線的同側，則實數(shù)的取值范圍是 。P （圖一） （圖二）分析：由題意，方程的解可視為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標。這些交點可以看作是由函數(shù)的圖象經(jīng)過上下平移得到，由圖（1）可知，函數(shù)與函數(shù)的圖象分別交于點P、Q，且點P在直線上方，點Q在直線下方，要使得方程的各個實根所對應的點均在直線的同側，只須將函數(shù)圖像上下平移，將點Q移至函數(shù)圖像與直線交點A左側或將點P移至函數(shù)圖像與直線交點B右側即可。將點A與點B坐標分別代入方程解得或。從而可得實數(shù)的取值范圍是6或6。（二）伸縮變換及其應用： 函數(shù)的圖像可以看作是由函數(shù)的圖像先將橫坐標伸長1）或縮短1）到原來的倍，再把縱坐標伸長1）或縮短1）到原來的倍即可得到。如：例2、（2008上海文11）在平面直角坐標系中，點的坐標分別為。如果是ABC圍成的區(qū)域（含邊界）上的點，那么當取得最大值時，點P的坐標是 。分析：由變形可得，則問題可轉化為當函數(shù)的圖象與ABC圍成的區(qū)域（含邊界）有公共點時求的最大值的問題。由函數(shù)圖像伸縮變換的規(guī)律可知，的值越大，則函數(shù)圖象上點的橫縱坐標越大，即圖像整體越向上移動，由此可以判定，當取得最大值時，函數(shù)的圖象與ABC的邊BC相切或過經(jīng)點C。下面求點P的坐標。法一：由線段BC與函數(shù)的解析式聯(lián)立方程組可得消去得方程，由判別式=0解得，此時，從而得點。即所求點P的坐標是。法二：線段BC的方程為：，則，當且僅當，即所以所求點P的坐標是。（三）對稱變換：函數(shù)當中，圖像關于某點或某條直線對稱的情況較多，除函數(shù)的奇偶性、互為反函數(shù)的兩函數(shù)與對稱性有關之外，還經(jīng)常會出現(xiàn)其他一些情況，這就需要我們能夠掌握“以點代線”的數(shù)學方法對具體情況進行分析。常見情況有以下幾種。1、關于特殊直線的軸對稱變換：； ； （兩者互為反函數(shù)）；2、關于特殊點的對稱變換：；3、局部對稱變換：注：以上為兩個函數(shù)圖像之間的關系。4、自身對稱變換：若函數(shù)y=f（x）滿足則函數(shù)y=f（x）的圖像關于直線x=a對稱。特別地，當時，函數(shù)為偶函數(shù)。若函數(shù)y=f（x）滿足，則函數(shù)y=f（x）的圖像關于原點成中心對稱。即函數(shù)為奇函數(shù)。例3、（2005上海理16）設定義域為的函數(shù)則關于x的方程有7個不同實數(shù)解的充要條件是（ ）A、0且0 B、0且0 C、0且 D、且。（圖三） （圖四）分析：函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像先向右平移一個單位，得到函數(shù)的圖像，再將函數(shù)的圖像位于軸上方部分保持不變，下方的部分關于軸通過局部對稱得到。又因為，所以由（圖三）可知，函數(shù)圖像與軸有三個公共點。方程中，若0且，則由可得或。結合函數(shù)圖像易知，方程有三個不同的解，方程有四個不同的解，即方程有7個不同實數(shù)解。所以選C。值得一提的是，在高考當中，對函數(shù)圖像的考查，并不一定考查某一單一的變換，有時可能是幾種變換同時考查。如：例4、（2003上海理16）是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，其圖像如圖（四），令，則下列關于函數(shù)的敘述正確的是（ ）（A）若0，則函數(shù)的圖像關于原點對稱；（B）若，0b2，則方程有大于2的實根；（C）若，b=0，則函數(shù)的圖像關于y軸對稱；（D）若，b=2，則方程有3個實根。 分析：由圖（2）知，若b0，則，此時的圖像不關于原點對稱，所以A選擇支不符合題意。當時，的圖像可由的圖像關于軸對稱，再向下平移個單位得到。此時0，而，2，而b2，0。所以，方程在（2，c）內必有實根，所以B選擇支正確，故選B。當1且b=2時，方程至多有一個實根，所以C選擇支不符合題意。又當b2時，方程g（x）=0的實根少于三個，所以D選擇支也不符合題意。（四）旋轉變換：圖像的旋轉變換可借助三角形的全等，找到特殊點經(jīng)旋轉變換后所得點的坐標，進而發(fā)現(xiàn)圖像變換的規(guī)律。如圖五（甲）中函數(shù)圖像上點繞原點順時針方向旋轉后得點，可借助得到點的坐標，從而可知函數(shù)圖像繞原點順時針方向旋轉后即函數(shù)的圖像。同理可得圖（乙）中的情況。1、；2、；（甲）（乙） （圖五）說明：關于繞原點旋轉的變換實際上就是關于原點對稱的問題。例5、（04上海理15）若函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像繞坐標原點逆時針旋轉得到，則的解析式是（ ）（A） （B） （C） （D）。分析：由前述概念易知，即答案選D。（五）復雜函數(shù)的圖像：對于一些通過簡單函數(shù)加減運算得到的較為復雜的函數(shù)圖像，我們可以借助疊加法作出函數(shù)圖像。如：例6、（2002上海15）函數(shù)的大致圖像是（ ）yyyyO xo x o x o x （A） （B） （C） （D） （圖六）分析：在同一坐標系中分別作出函數(shù)與在區(qū)間上的圖像，并進行簡單的疊加，即可得到函數(shù)的圖像為D選擇支所示的圖像。對于一些較為復雜的復合函數(shù)，有時需要綜合考慮函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性，甚至漸進性作出函數(shù)圖像。如：例7、（2004上海市閘北區(qū)模擬題）函數(shù)的部分圖像大致是（ ） （A） （B） （C） （D） （圖七）分析：由函數(shù)解析式的分母可知，x1，所以x=1是函數(shù)圖像的兩條漸進線；由可知函數(shù)為奇函數(shù)；當時，0。綜合上述條件可知，B選擇支滿足題意。（六）關于某一物理或化學變化過程的變化規(guī)律或與現(xiàn)實生活相關的函數(shù)圖像問題：二期課改提出，要讓“人人學有用的數(shù)學”，也就是要學以致用。所以與現(xiàn)實生活密切相關的一些數(shù)學問題在高考試題中出現(xiàn)也就成為必然。對于這類問題，需要我們仔細研究事物運動變化的過程，進而用圖像將這一過程描繪出來即可。如：例8、（2008全國卷（2）汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數(shù)，其圖像可能是 （ ） A B C D （圖八）分析：汽車啟動后加速度應是越來越大，即路程變化較快，反映到函數(shù)圖像上，圖像變化率應越來越大，汽車加速后有一段勻速行駛的過程，路程應越來越大，且變化率保持不變，反映到函數(shù)圖像上，圖像應呈上升的線段，而后汽車做減速運動，反映到函數(shù)圖像上，圖像變化率越來越小，但路程繼續(xù)增大。所以選A答案。函數(shù)圖像及其變換要求了解幾