高中數(shù)學(xué)《2.4等比數(shù)列》第2課時(shí)課件 新人教A版必修5.ppt

課標(biāo)要求 1 理解等比數(shù)列的性質(zhì)并能應(yīng)用 2 了解等比數(shù)列同指數(shù)函數(shù)間的關(guān)系 3 會(huì)用等比數(shù)列的性質(zhì)解題 核心掃描 1 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 重點(diǎn) 2 等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用 重點(diǎn) 3 與函數(shù) 方程 不等式等結(jié)合命題 難點(diǎn) 第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 等比數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系以及性質(zhì)設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q 1 兩項(xiàng)關(guān)系 an m n n 2 多項(xiàng)關(guān)系 若m n p q m n p q n 則aman 3 若m n p m n p n 成等差數(shù)列時(shí) am an ap成等比數(shù)列 等比數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱(chēng)性有窮等比數(shù)列中 與首末兩項(xiàng) 等距離 的兩項(xiàng)之積等于首末兩 自學(xué)導(dǎo)引 1 2 amqn m apaq an 1 an k 1 等比數(shù)列的 子數(shù)列 的性質(zhì)若數(shù)列 an 是公比為q的等比數(shù)列 則 1 an 去掉前幾項(xiàng)后余下的項(xiàng)仍組成公比為 的等比數(shù)列 2 奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列 a2n 1 是公比為 的等比數(shù)列 偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列 a2n 是公比為 的等比數(shù)列 3 在數(shù)列 an 中每隔k k n 取出一項(xiàng) 按原來(lái)順序組成新數(shù)列 則新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為qk 1 3 q q2 q2 如果等比數(shù)列 an 中 m n 2k m n k n 那么am an ak2是否成立 反之呢 提示 如果等比數(shù)列的三項(xiàng)的序號(hào)成等差數(shù)列 那么對(duì)應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列 事實(shí)上 若m n 2k m n k n 則am an a1 qm 1 a1 qn 1 a12 qm n 2 a12 qk 1 2 ak2 在等比數(shù)列 an 中 若am an ap aq ak2 不一定有m n p q 2k 如非零常數(shù)列 等比數(shù)列的單調(diào)性 1 當(dāng)q 1 a1 0或01 a10時(shí) 等比數(shù)列 an 是遞減數(shù)列 3 當(dāng)q 1時(shí) 等比數(shù)列 an 是常數(shù)列 4 當(dāng)q 0時(shí) 等比數(shù)列 an 是擺動(dòng)數(shù)列 等比數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì) 1 若 an 是公比為q的等比數(shù)列 則 c an c是非零常數(shù) 是公比為q的等比數(shù)列 an 是公比為 q 的等比數(shù)列 名師點(diǎn)睛 1 2 anm m是整數(shù)常數(shù) 是公比為qm的等比數(shù)列 特別地 若數(shù)列 an 是正項(xiàng)等比數(shù)列時(shí) 數(shù)列 anm m是實(shí)數(shù)常數(shù) 是公比為qm的等比數(shù)列 2 若 an bn 分別是公比為q1 q2的等比數(shù)列 則數(shù)列 an bn 是公比為q1q2的等比數(shù)列 3 數(shù)列 an 是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí) 數(shù)列 lgan 是公差為lgq的等差數(shù)列 題型一等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 已知數(shù)列 an 為等比數(shù)列 1 若an 0 且a2a4 2a3a5 a4a6 36 求a3 a5的值 2 若a1 a2 a3 7 a1a2a3 8 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 思路探索 應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì) a2a4 a32 a4a6 a52 a1a3 a22 化簡(jiǎn)已知 可求解 解 1 法一 an 0 a1 0 q 0 又 a2a4 2a3a5 a4a6 36 a1q a1q3 2a1q2 a1q4 a1q3 a1q5 36 即a12q4 2a12q6 a12q8 36 例1 a12q4 1 2q2 q4 36 即a12q4 1 q2 2 36 a1q2 1 q2 6 a3 a5 a1q2 a1q4 a1q2 1 q2 6 法二 a2a4 2a3a5 a4a6 36 a32 2a3a5 a52 36 a3 a5 2 36 a3 a5 6 2 a22 a1a3代入已知 得a23 8 a2 2 在等比數(shù)列的有關(guān)運(yùn)算中 常常涉及到次數(shù)較高的指數(shù)運(yùn)算 若按常規(guī)解法 往往是建立a1 q的方程組 這樣解起來(lái)很麻煩 通過(guò)本例可以看出 結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行整體變換 會(huì)起到化繁為簡(jiǎn)的效果 在遞增等比數(shù)列 an 中 a1a9 64 a3 a7 20 求a11的值 解在等比數(shù)列 an 中 a1 a9 a3 a7 由已知可得 a3 a7 64與a3 a7 20聯(lián)立得 an 是遞增等比數(shù)列 a7 a3 取a3 4 a7 16 16 4q4 q4 4 a11 a7 q4 16 4 64 變式1 有四個(gè)數(shù) 其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列 后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列 并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16 第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12 求這四個(gè)數(shù) 思路探索 根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì) 設(shè)出未知數(shù) 結(jié)合題中條件求解即可 題型二等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 例2 所以 當(dāng)a 4 d 4時(shí) 所求四個(gè)數(shù)為0 4 8 16 當(dāng)a 9 d 6時(shí) 所求四個(gè)數(shù)為15 9 3 1 故所求四個(gè)數(shù)為0 4 8 16或15 9 3 1 當(dāng)a 8 q 2時(shí) 所求四個(gè)數(shù)為0 4 8 16 故所求四個(gè)數(shù)為0 4 8 16或15 9 3 1 三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列 其積為512 如果第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去2 則這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列 求這三個(gè)數(shù) 變式2 某市2010年新建住房400萬(wàn)平方米 其中250萬(wàn)平方米是中低價(jià)房 預(yù)計(jì)今年后的若干年內(nèi) 該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8 另外 每年新建住房中 中低價(jià)房的面積比上一年增加50萬(wàn)平方米 那么到哪一年底 1 該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積 以2010年為累計(jì)的第一年 將首次不少于4750萬(wàn)平方米 2 當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85 審題指導(dǎo)本題主要考查構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題 通過(guò)閱讀之后 找出題目中的相關(guān)信息 構(gòu)造等差數(shù)列和等比數(shù)列 題型三等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 例3 規(guī)范解答 1 設(shè)中低價(jià)房面積構(gòu)成數(shù)列 an 由題意可知 an 是等差數(shù)列 其中a1 250 d 50 2分 令25n2 225n 4750 即n2 9n 190 0 解得n 19或n 10 而n是正整數(shù) n 10 4分 故到2019年年底 該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬(wàn)平方米 6分 2 設(shè)新建住房面積構(gòu)成數(shù)列 bn 由題意可知 bn 是等比數(shù)列 其中b1 400 q 1 08 則bn 400 1 08 n 1 8分 由題意可知an 0 85bn 即250 n 1 50 400 1 08 n 1 0 85滿(mǎn)足上述不等式的最小正整數(shù)n 6 10分 故到2015年年底 當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85 12分 題后反思 本題將實(shí)際問(wèn)題抽象出一個(gè)數(shù)列問(wèn)題 解決數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵是讀懂題意 建立數(shù)學(xué)模型 弄清問(wèn)題的哪一部分是數(shù)列問(wèn)題 是哪種數(shù)列 在求解過(guò)程中應(yīng)注意首項(xiàng)的確立 時(shí)間的推算 不要在運(yùn)算中出現(xiàn)問(wèn)題 始于2007年初的美國(guó)次貸危機(jī) 至2008年中期 已經(jīng)演變?yōu)槿蚪鹑谖C(jī) 受此拖累 國(guó)際原油價(jià)格從2008年7月每桶最高的147美元開(kāi)始大幅下跌 9月跌至每桶97美元 你能求出7月到9月平均每月下降的百分比嗎 若按此計(jì)算 到什么時(shí)間跌至谷底 即每桶34美元 解設(shè)每月平均下降的百分比為x 則每月的價(jià)格構(gòu)成了等比數(shù)列 an 記 a1 147 7月份價(jià)格 則8月份價(jià)格 a2 a1 1 x 147 1 x 9月份價(jià)格 a3 a2 1 x 147 1 x 2 147 1 x 2 97 解得x 18 8 設(shè)an 34 則34 147 1 18 8 n 1 解得n 8 即從2008年7月算起第8個(gè)月 也就是2009年2月國(guó)際原油價(jià)格將跌至34美元每桶 變式3 a n 1 2b n2c n 1 2d n 2n 1 錯(cuò)解 易得an 2n 且log2a1 log2a3 log2a2n 1 log2 a1a3 a2n 1 log221 3 2n 1 誤區(qū)警示因沒(méi)數(shù)清數(shù)列的項(xiàng)數(shù)致誤 示例 對(duì)等差數(shù)列1 3 2n 1