2018北京各城區(qū)一模導(dǎo)數(shù).doc

2018一模導(dǎo)數(shù)（文理）朝陽(yáng)理18已知函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若，求證：18 (本小題滿分13分)（）當(dāng)時(shí)，. . （）可得，又，所以在點(diǎn)（）處的切線方程為.（）在區(qū)間（）上，且，則. 在區(qū)間（）上，且，則. 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（），單調(diào)遞減區(qū)間為（）. （）由，等價(jià)于，等價(jià)于. 設(shè)，只須證成立. 因?yàn)椋?由，得有異號(hào)兩根. 令其正根為，則. 在上，在上. 則的最小值為 . 又， 所以.則.因此，即.所以，所以. 朝陽(yáng)文20.（本小題滿分13分）已知函數(shù).（）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若，求證：.20. （本小題滿分13分）解：（）若，則，所以在點(diǎn)處的切線方程為 （），.令，則令，得（依題意）由，得；由，得所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增所以，因?yàn)?，所以，所以，即所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 （）由，等價(jià)于，等價(jià)于. 設(shè)，只須證成立. 因?yàn)椋?由，得有異號(hào)兩根. 令其正根為，則. 在上，在上. 則的最小值為 . 又， 所以. 則.因此，即.所以 所以. 石景山理19已知，曲線在處的切線方程為.（）求的值；（）求在上的最大值；（）當(dāng)時(shí)，判斷與交點(diǎn)的個(gè)數(shù).（只需寫(xiě)出結(jié)論，不要求證明）19解：（）,由已知可得， 解之得 （）令 則, 故當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增； 所以，故在單調(diào)遞增，所以 （）當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn). 石景山文20（本小題共14分）設(shè)函數(shù)，（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；（）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍20.（本小題14分）解：（）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，取得極小值 （），令，得設(shè)，則所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；所以的最大值為，又，可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零 （）原命題等價(jià)于恒成立.設(shè)，則等價(jià)于在上單調(diào)遞減即在上恒成立,所以恒成立，所以即的取值范圍是 東城理（19）已知函數(shù).（I）若曲線在處的切線斜率為0，求的值；（II）若恒成立，求的取值范圍；（III）證明：當(dāng)時(shí)，曲線總在曲線的上方.（19）解：（I）函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)?，所? 由得. （II）.當(dāng)時(shí)，令得.時(shí)，；時(shí)，.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，有最小值.“恒成立”等價(jià)于“最小值大于等于0”，即.因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，取，則，不符合題意.綜上，若對(duì)恒成立，則的取值范圍為. （III）當(dāng)時(shí)，令，可求.因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增，所以在（0，）上存在唯一的，使得，即，且.當(dāng)變化時(shí)，與在（0，）上的情況如下：0極小則當(dāng)時(shí)，存在最小值,且.因?yàn)椋?u所以當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，曲線總在曲線的上方. . 14分東城文（20）已知函數(shù)，.（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值和最小值；（）當(dāng)時(shí)，若方程在區(qū)間上有唯一解，求的取值范圍.（20）解：（）當(dāng)時(shí)，所以，.又因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為. （）當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，所以.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.（）當(dāng)時(shí)，.設(shè)，因?yàn)椋?所以.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減因?yàn)?，所以存在唯一的，使，?所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減因?yàn)?，又因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上有唯一解，所以. 海淀理18. 已知函數(shù).（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的最大值為，求的值.18.（）當(dāng)時(shí)，, 令，得, 故的單調(diào)遞增區(qū)間為（）方法1： 令, 則 由， 故存在， 故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，極大值 故 故，解得 故的值為.（）方法2：的最大值為的充要條件為對(duì)任意的，且存在，使得，等價(jià)于對(duì)任意的，且存在 ，使得， 等價(jià)于的最大值為.， 令，得.極大值故的最大值為，即.13分海淀文20已知函數(shù).（）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（）當(dāng)時(shí)，判斷在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；（）當(dāng)時(shí)，求證：，都有.20解：（）當(dāng)時(shí)，,. 得 又, 所以曲線在處的切線方程為 （）方法1：因?yàn)?，所?因?yàn)椋? 所以. 所以 當(dāng)時(shí)， 所以在區(qū)間單調(diào)遞增. .8分方法2：因?yàn)?，所? 令，則 ， 隨x的變化情況如下表：x+極大值當(dāng)時(shí)，.所以時(shí)，即，所以在區(qū)間單調(diào)遞增. （）方法1：由（）可知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，設(shè)，則 ， 隨x的變化情況如下表：x+極大值所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 因?yàn)椋?所以存在唯一的實(shí)數(shù)，使得， 且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 又 ，,所以當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，. 綜上所述，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，均有. .13分方法2：由（）可知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以時(shí)，. 當(dāng)時(shí)， 由（）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?所以存在唯一的實(shí)數(shù)，使得， 且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 又 ，,所以當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，. 綜上所述，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，均有. .13分西城理18已知函數(shù)，其中（）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；（）當(dāng)時(shí)，證明：存在極小值18（本小題滿分13分）解：（）的導(dǎo)函數(shù)為 依題意，有 ， 解得 （）由及知，與同號(hào)令 ， 則 所以 對(duì)任意，有，故在單調(diào)遞增因?yàn)?，所以 ，故 存在，使得 與在區(qū)間上的情況如下：極小值所以 在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增 所以 存在極小值 西城文20已知函數(shù)，其中（）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；（）記的導(dǎo)函數(shù)為當(dāng)時(shí)，證明： 存在極小值點(diǎn)，且20解：（） 依題意，有 ，解得 （）由（）得 ， 所以 因?yàn)?，所以與同號(hào)設(shè) ，則 所以 對(duì)任意，有，故在單調(diào)遞增因?yàn)?，所以 ，故存在，使得 與在區(qū)間上的情況如下：極小值所以 在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增 所以 若，存在，使得是的極小值點(diǎn) 令 ，得 ，所以 豐臺(tái)理（18）已知函數(shù)（）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（）若函數(shù)在上有極值，求的取值范圍（18）（本小題共13分）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?（）因?yàn)椋?所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即 （）（）當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，都有， 所以函數(shù)在上為增函數(shù)，沒(méi)有極值，不合題意 （）當(dāng)時(shí)，令，則 所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增， 所以函數(shù)在上有極值，等價(jià)于 所以 所以所以的取值范圍是 豐臺(tái)文（20）已知函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（）若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求的取值范圍（20）（本小題共13分）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?導(dǎo)函數(shù) （）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?所以曲線在處的切線方