電磁場(chǎng)與電磁波西安交大第三版第2章課后答案.doc

第2章習(xí)題2-1.已知真空中有四個(gè)點(diǎn)電荷，分別位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)點(diǎn)，求(0,0,1)點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解： 2-2.已知線電荷密度為的均勻線電荷圍成如圖所示的幾種形狀，求P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。 題2-2圖解：(a) 由對(duì)稱性(b) 由對(duì)稱性(c) 兩條半無限長線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為 半徑為a的半圓環(huán)線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為 總電場(chǎng)為2-3.真空中無限長的半徑為a的半邊圓筒上電荷密度為，求軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度。解:在無限長的半邊圓筒上取寬度為的窄條,此窄條可看作無限長的線電荷,電荷線密度為,對(duì)積分,可得真空中無限長的半徑為a的半邊圓筒在軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度為 題2-3圖 題2-4圖2-4.真空中無限長的寬度為a的平板上電荷密度為，求空間任一點(diǎn)上的電場(chǎng)強(qiáng)度。解: 在平板上處取寬度為的無限長窄條，可看成無限長的線電荷，電荷線密度為，在點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為 其中 ；對(duì)積分可得無限長的寬度為a的平板上的電荷在點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為 2-5.已知真空中電荷分布為 r為場(chǎng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，a，b為常數(shù)。求電場(chǎng)強(qiáng)度。解： 由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，電場(chǎng)分布也具有球?qū)ΨQ性，取一半徑為 r 的球面，利用高斯定理 等式左邊為 半徑為 r 的球面內(nèi)的電量為因此，電場(chǎng)強(qiáng)度為 2-6.在圓柱坐標(biāo)系中電荷分布為r為場(chǎng)點(diǎn)到z軸的距離，a為常數(shù)。求電場(chǎng)強(qiáng)度。解: 由于電荷分布具有軸對(duì)稱性，電場(chǎng)分布也具有軸對(duì)稱性，取一半徑為 r ,單位長度的圓柱面，利用高斯定理 等式左邊為 半徑為 r 、高為1的圓柱面內(nèi)的電量為因此，電場(chǎng)強(qiáng)度為 2-7. 在直角坐標(biāo)系中電荷分布為 求電場(chǎng)強(qiáng)度。解: 由于電荷分布具有面對(duì)稱性，電場(chǎng)分布也具有面對(duì)稱性，取一對(duì)稱的方矩形封閉面,利用高斯定理,穿過面積為 S的電通量為,方形封閉面內(nèi)的電量為 因此，電場(chǎng)強(qiáng)度為 2-8. 在直角坐標(biāo)系中電荷分布為 求電場(chǎng)強(qiáng)度。解: 由于電荷分布具有面對(duì)稱性，電場(chǎng)分布也具有面對(duì)稱性，取一對(duì)稱的矩形封閉面,利用高斯定理,穿過面積為 S的電通量為,方形封閉面內(nèi)的電量為 因此，電場(chǎng)強(qiáng)度為 2-9.在電荷密度為（常數(shù)）半徑為a的帶電球中挖一個(gè)半徑為b的球形空腔，空腔中心到帶電球中心的距離為c(b+ca 對(duì)于r0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，z0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，當(dāng)(1)電量為q的點(diǎn)電荷放在介質(zhì)分界面上；(2)電荷線密度為的均勻線電荷放在介質(zhì)分界面上。求電場(chǎng)強(qiáng)度。解：（1）電量為q的點(diǎn)電荷放在介質(zhì)分界面上 以點(diǎn)電荷為中心作以半徑為r的球，利用高斯定理 設(shè)上、下半球面上的電位移矢量分別、，根據(jù)對(duì)稱性，在上、下半球面上大小分別相等，有 =根據(jù)邊界條件，因此 （2）電荷線密度為的均勻線電荷放在介質(zhì)分界面上 以線電荷為軸線作以半徑為r單位長度的圓柱面，利用高斯定理 設(shè)上、下半柱面上的電位移矢量分別、，根據(jù)對(duì)稱性，在上、下半柱面上大小分別相等，有 =根據(jù)邊界條件，因此 2-34.面積為A，間距為d的平板電容器電壓為V，介電常數(shù)為厚度為t的介質(zhì)板分別按如圖a、b所示的方式放置在兩導(dǎo)電平板之間。分別計(jì)算兩種情況下電容器中電場(chǎng)及電荷分布。 題2.34圖 解：（a）設(shè)導(dǎo)體板之間介質(zhì)與空氣中的電場(chǎng)分別為、，那么、滿足關(guān)系 （邊界條件）求解以上兩式得 ； 根據(jù)導(dǎo)體表面上的邊界條件，在上、下導(dǎo)體表面上的電荷面密度為 (b) 由圖可見，導(dǎo)體板之間介質(zhì)與空氣中的電場(chǎng)為 根據(jù)導(dǎo)體表面上的邊界條件，在上、下導(dǎo)體板與空氣的界面上的電荷面密度為 在上、下導(dǎo)體板與介質(zhì)的界面上的電荷面密度為 2-35 在內(nèi)外半徑分別為和之間的圓柱形區(qū)域內(nèi)無電荷，在半徑分別為和的圓柱面上電位分別為和0。求該圓柱形區(qū)域內(nèi)的電位和電場(chǎng)。解：由電荷分布可知，電位僅是的函數(shù)，電位滿足的方程為 解微分方程得 利用邊界條件 得 ， 因此 2-36在半徑分別為和的兩同軸導(dǎo)電圓筒圍成的區(qū)域內(nèi)，電荷分布為，為常數(shù)，若介質(zhì)介電常數(shù)為，內(nèi)導(dǎo)體電位為V，外導(dǎo)體電位為0。求兩導(dǎo)體間的電位分布。解 由電荷分布可知，電位僅是的函數(shù)，電位滿足的方程為 解微分方程得 利用邊界條件 得 ， 2-37 兩塊電位分別為0和V的半無限大的導(dǎo)電平板構(gòu)成夾角為的角形區(qū)域，求該角形區(qū)域中的電位分布。 c b a 題2.37圖 題2.38 圖解：由題意，在圓柱坐標(biāo)系中，電位僅是的函數(shù)，在導(dǎo)電平板之間電位方程為 其通解為 由邊界條件，得 2-38 .由導(dǎo)電平板制作的金屬盒如圖所示，除盒蓋的電位為V外，其余盒壁電位為0，求盒內(nèi)電位分布。解：用分離變量法，可得電位的通解為 利用邊界條件，可求出系數(shù) （m、n為奇數(shù)） （m、n為偶數(shù)）2-39 在的勻強(qiáng)電場(chǎng)中沿z軸放一根半徑為a的無限長導(dǎo)電圓柱后，求電位及電場(chǎng)。解：由分離變量法，無限長導(dǎo)電圓柱外的電位的通解為 （1）設(shè)，當(dāng)時(shí)的電位等于無導(dǎo)電圓柱的電位，即 （2）要使式（1）的電位在時(shí)等于式（2），可得到系數(shù) ，再由導(dǎo)體界面的邊界條件得 因此，電位的特解為 2-40 .在無限大的導(dǎo)電平板上方距導(dǎo)電平板h處平行放置無限長的線電荷，電荷線密度為，求導(dǎo)電平板上方的電場(chǎng)。解:用鏡像法,導(dǎo)電平板的影響等效為鏡像位置的一個(gè)電荷線密度為-的線電荷, 導(dǎo)電平板上方的電場(chǎng)為 式中、分別為線電荷及其鏡像線電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離矢量。2-41 由無限大的導(dǎo)電平板折成的角形區(qū)，在該角形區(qū)中某一點(diǎn)()有一點(diǎn)電荷q，用鏡像法求電位分布。解：如圖將空間等分為8個(gè)區(qū)，在每個(gè)區(qū)中以原來的導(dǎo)電面為鏡面可以依次找到鏡像位置，原電荷的位置為()，在圓柱坐標(biāo)系中為，另外7個(gè)鏡像電荷在圓柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為 鏡像電荷為對(duì)于場(chǎng)點(diǎn)，電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離矢量為 ；則場(chǎng)點(diǎn)的電場(chǎng)為 題2-41圖 題2-42圖2-42 半徑為a，帶電量為Q的導(dǎo)體球附近距球心f處有一點(diǎn)電荷q，求點(diǎn)電荷q所受的力。解：點(diǎn)電荷q 受到的力（場(chǎng)）有兩部分，一部分等效為鏡像電荷的力，另一部分等效為位于球中心的點(diǎn)電荷的力。由鏡像法，鏡像電荷的大小和位置分別為 由于包圍導(dǎo)體球的總電量為Q，所以位于位于球中心的點(diǎn)電荷=Q-;因此點(diǎn)電荷q 受到的力為 2-43 內(nèi)外半徑分別為a、b的導(dǎo)電球殼內(nèi)距球心為d(d0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，z0半空間的場(chǎng)時(shí)，原來的問題可等效為圖2-41(b)，計(jì)算z0半空間的場(chǎng)時(shí)，原來的問題可等效為圖2-41(c)。這樣上半空間的電位可表示為 式中為到場(chǎng)點(diǎn)的距離，為的鏡像位置的電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離；下半空間的電位可表示為 式中為到場(chǎng)點(diǎn)的距離，為的鏡像位置的電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離。利用邊界條件，和得 由此得 和所受的斥力分別為 (a) (b) (c) 題2-46圖2-47.兩同心導(dǎo)體球殼半徑分別為a、b，兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為，求兩導(dǎo)體球殼之間的電容。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體帶電荷為 q，由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理，兩導(dǎo)體球殼之間的電場(chǎng)為 兩導(dǎo)體球殼之間的電壓為 兩導(dǎo)體球殼之間的電容為 2-48 兩同心導(dǎo)體球殼半徑分別為a、b，兩導(dǎo)體之間有兩層介質(zhì)，介電常數(shù)為、，介質(zhì)界面半徑為c，求兩導(dǎo)體球殼之間的電容。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體帶電荷為 q，由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理可得，兩導(dǎo)體球殼之間的電場(chǎng)為 兩導(dǎo)體球殼之間的電壓為 兩導(dǎo)體球殼之間的電容為 2-49 面積為A，間距為d的導(dǎo)電平板之間放置介電常數(shù)為，厚度為t的介質(zhì)板，如圖a、b所示。分別計(jì)算兩種情況下導(dǎo)電平板之間的電容。 (a) (b) 題2.49圖 題2-49圖解：（a）設(shè)導(dǎo)體板之間介質(zhì)與空氣中的電場(chǎng)分別為、，那么、滿足關(guān)系 （邊界條件）求解以上兩式得 ； 根據(jù)導(dǎo)體表面上的邊界條件，在上、下導(dǎo)體表面上的電荷面密度為 電容為 (b) 由圖可見，導(dǎo)體板之間介質(zhì)與空氣中的電場(chǎng)為 根據(jù)導(dǎo)體表面上的邊界條件，在上、下導(dǎo)體板與空氣的界面上的電荷面密度為 在上、下導(dǎo)體板與介質(zhì)的界面上的電荷面密度為 電容為 2-50 兩塊沿方向無限延伸的導(dǎo)電平板夾角為，與和的圓柱面相截，如圖所示。一塊板電位為，另一塊電位為0。忽略邊緣效應(yīng)，求兩塊板間的電位分布，電場(chǎng)，以及單位長度的電容。 題2-50圖解：在圓柱坐標(biāo)系中，電位只和有關(guān)，在兩塊導(dǎo)電平板之間此方程的通解為 利用邊界條件，得 電場(chǎng)強(qiáng)度為 板上單位長度的電量為板上單位長度的電容為 2-51 真空中半徑為a的導(dǎo)體球電位為V，求電場(chǎng)能量。解：用兩種方法求解。1） 用電位求電場(chǎng)能量 2） 用電場(chǎng)強(qiáng)度求電場(chǎng)能量導(dǎo)體球內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，導(dǎo)體球外的電場(chǎng)強(qiáng)度為 電場(chǎng)能量為 2-52 .圓球形電容器內(nèi)導(dǎo)體的外半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充兩層介電常數(shù)分別為、的介質(zhì)，界面半徑為c，電壓為V。求電容器中的電場(chǎng)能量。解：設(shè)圓球形電容器內(nèi)導(dǎo)體上的電荷為 q，由高斯定理可求得在內(nèi)外導(dǎo)體之間 從而可求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為圓球形電容器的電容為 電場(chǎng)能量為 2-53 長度為d的圓柱形電容器內(nèi)導(dǎo)體的外半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充兩層介電常數(shù)分別為、的介質(zhì)，界面半徑為c，電壓為V。求電容器中的電場(chǎng)能量。解：設(shè)圓柱形電容器內(nèi)導(dǎo)體上的電荷為q，用高斯定理，在內(nèi)外導(dǎo)體之間 內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為 內(nèi)外導(dǎo)體之間的電容為 電場(chǎng)能量為 2-54 兩個(gè)點(diǎn)電荷電量均為，放在介電常數(shù)為的介質(zhì)中，間距為，求互位能。解： 兩個(gè)點(diǎn)電荷的互位能為將一個(gè)點(diǎn)電荷從無限遠(yuǎn)移到和另一個(gè)間距為處外力做的功 2-5