行列式、矩陣復(fù)習(xí)提綱.doc

行列式 矩陣復(fù)習(xí)提綱 一 行列式的概念 1 二階行列式 二階行列式是特定算式的一種記法 即 bcad dc ba bdac 如記號(hào)叫做一個(gè)二階行列式 它的展開(kāi)式為 nm yx ymxn 即 對(duì)角線法則 ymxn nm yx 它用于解二元一次方程組 222 111 cybxa cybxa 系數(shù)行列式 22 11 ba ba D 22 11 bc bc Dx 22 11 ca ca Dy 若 則方程組有唯一解 0 D 222 111 cybxa cybxa D D y D D x y x 若 且中至少有一個(gè)不為零 則方程組無(wú)解 0 D yx DD 222 111 cybxa cybxa 若 則方程組有無(wú)窮所組解 此時(shí)兩個(gè)方程其實(shí)就是一個(gè)方程 它的解可0 yx DDD 以借助一個(gè)參數(shù) 來(lái)表示 t 例題 例 1 函數(shù)的定義域是 12 1 lg x x xf 例2 解不等式的最大值是 或 0 32 1 x x 1 x3 x 例 3 直線的傾斜角 0 32 1 y x 3arctan 2 三階行列式 三階行列式是在二階行列式的基礎(chǔ)上 由兩行兩列拓展出來(lái)的 它保持了行數(shù)和列數(shù)相等 的特點(diǎn) 用九個(gè)數(shù)擺成三行三列這樣一個(gè)方陣 pnm zyx cba 本教材用帶單下標(biāo)的符號(hào)表示 這樣可以形象的反映它所在行和列的位置 kii cba 333 222 111 cba cba cba 它的展開(kāi)式依然按對(duì)角線展開(kāi) 231312123213132321 333 222 111 cbacbacbacbacbacba cba cba cba 例題 1 若行列式 則的值為 0 111 10 102 mm 2 1 例題 2 計(jì)算 2155 273 161 225 213 111 9 三階行列式的運(yùn)用 1 可求三角形面積 S 在直角坐標(biāo)系內(nèi) 若的三個(gè)頂點(diǎn)為ABC 332211 yxCyxByxA 那么 要帶絕對(duì)值的 教材里是 如圖 所指定的的擺放 1 1 1 2 1 33 22 11 yx yx yx S ABC CBA 2 可證明三點(diǎn)共線 在直角坐標(biāo)系內(nèi) 若 那么三點(diǎn) 共線的充要 332211 yxCyxByxACBA 條件是0 1 1 1 33 22 11 yx yx yx 3 可以用來(lái)解三元一次方程組 3333 2222 1111 dzcybxa dzcybxa dzcybxa 系數(shù)行列式和 333 222 111 cba cba cba D 333 222 111 cbd cbd cbd Dx 333 222 111 cda cda cda Dy 333 222 111 dba dba dba Dz 若 則方程組有唯一解 0 D 3333 2222 1111 dzcybxa dzcybxa dzcybxa D D z D D y D D x z y x 若 且中至少有一個(gè)不為零 則方程組無(wú)解 0 D zyx DDD 3333 2222 1111 dzcybxa dzcybxa dzcybxa 若 則方程組有無(wú)窮多組解 這時(shí)的情況有點(diǎn)復(fù)雜 有時(shí)侯其實(shí)是一0 zyx DDDD 個(gè)方程 也有時(shí)其實(shí)是兩個(gè)方程 教材這里不要求了 我們只要知道原方程組有無(wú)窮多組解就 好了 例題 例 1 已知不重合的三點(diǎn) 11 yxA 22 yxB 33 yxC 1 求頂點(diǎn)為 的的面積 5 3 A 2 1 B 1 4 CABC 2 說(shuō)明的幾何意義 0 1 1 1 33 22 11 yx yx yx 3 若定點(diǎn) 不重合 動(dòng)點(diǎn)滿足 求動(dòng)點(diǎn) 11 yxA 22 yxB yxP0 1 1 1 22 11 yx yx yx 的軌跡方程 P 解 1 2 31 2 三點(diǎn) 共線 11 yxA 22 yxB 33 yxC 3 過(guò) 兩點(diǎn)的直線 方程為AB0 121112 yyxxxxyy 已知數(shù)列是首項(xiàng)為 公差的等差數(shù)列 則方程組解的情 n a 1 a0 d 1211109 8765 4321 azayaxa azayaxa azayaxa 況必為 C A 惟一解 B 無(wú)解 C 無(wú)窮多解 D 以上均有可能 3 三階行列式轉(zhuǎn)化為二階行列式 余子式 代數(shù)余子式 按某行或某列展開(kāi) 三階行列式中 元素的余子式是劃去所在的行和列 剩下的元素保持原 333 222 111 cba cba cba xx 來(lái)的位置關(guān)系而組成的一個(gè)二階行列式 如元素的余子式是 元素的余子式是 2 b 33 11 ca ca 2 a 33 11 cb cb 把余子式添上相應(yīng)的符號(hào) 正號(hào)省略 叫做代數(shù)余子式 如元素的代數(shù)余子式是 2 b 元素的代數(shù)余子式是 33 11 ca ca 2 a 33 11 cb cb 三階行列式按第三列展開(kāi) 333 222 111 cba cba cba 22 11 3 33 11 2 33 22 1 333 222 111 ba ba c ba ba c ba ba c cba cba cba 例題 例 1 把表示成三階行列式的形式 答案不唯一 22 11 33 11 33 22 yx yx yx yx yx yx 33 22 11 1 1 1 yx yx yx 例 2 行列式中元素的代數(shù)余子式是 ihg fed cba f hg ba 例 3 把表示成一個(gè)三階行列式 64 31 7 92 31 5 92 64 2 927 645 312 二 矩陣的概念 將個(gè)數(shù)寫成行 列的一個(gè)矩形數(shù)表 如叫做一個(gè)nm mn mnmmm n n n aaaa aaaa aaaa aaaa 321 3333231 2232221 1131211 階矩陣 矩陣中的每一行都是矩陣的一個(gè)行向量 每一列都是矩陣的一個(gè)列向量 nm 1 矩陣變換 1 互換矩陣的兩行 2 把某一行同乘 或除 以一個(gè)非零的數(shù) 3 某一行乘以一個(gè)數(shù)加到另一行 2 運(yùn)用矩陣變換解二元一次方程組 222 111 cybxa cybxa 叫做方程組的增廣矩陣 叫做方程組 222 111 cba cba 222 111 cybxa cybxa 22 11 ba ba 的系數(shù)矩陣 解二元一次方程組就是通過(guò)某些變換使系數(shù)矩陣變?yōu)閷?duì)角線元素 222 111 cybxa cybxa 都是 1 其余元素為 0 的矩陣 在系數(shù)矩陣變化的過(guò)程中 增廣矩陣隨之變化 最后 10 01 增廣矩陣的最后一列給出的就是方程組的解 222 111 cybxa cybxa 例題 用矩陣變換解二元一次方程組 答案 83 052 yx yx 1 3 y x 3 矩陣的運(yùn)算 1 兩個(gè)階矩陣可以進(jìn)行加法 減法運(yùn)算 nm ydxa nbma yx nm dc ba 2 實(shí)數(shù)與矩陣的乘法 k kdkc kbka dc ba k 3 矩陣的乘法 dzcpdycndxmc bzapbyanbxma zyx pnm dc ba 例題 例 1 已知矩陣 求矩陣 使得 412 503 A 122 112 BXBXA 32 解 設(shè) 則 232221 131211 aaa aaa XB aaa aaa XA 232221 131211 3 412 503 232 即 解得 122 112 383234 310336 232221 131211 aaa aaa 3 7 02 3 3 1 3 8 X 例 2 探索矩陣乘法的交換率 1 已知 計(jì)算 并觀察二者的關(guān)系 35 12 A 25 13 BABBA 2 已知 其中 矩陣滿足 求矩陣 dc ba A0 bcadB 10 01 ABB 3 已知 若 求 54 43 A 23 12 BBAX AYB XY 解 1 10 01 BAAB 2 設(shè) 則 由矩陣相等得 vu yx B 10 01 dvcyducx bvaybuax vu yx dc ba AB 記 4 1 3 0 2 0 1 1 dvcx ducx bvay buax avbcadca bybcadbd cubcadca dxbcadbd 2 4 4 2 1 3 3 1 bcad 則當(dāng)時(shí) 從而 0 a v c u b y d x ac bd vu yx B 1 當(dāng)時(shí) 滿足條件的矩陣不存在 0 0 vuyxB 如已知 則 也可以 52 31 A 12 35 1 AB 1210 3501 1052 0131 3 34 45 1 A 23 12 1 B 1017 1322 1B AX 1423 1118 1 ABY 例 3 探討矩陣和行列式運(yùn)算的異同 1 計(jì)算 計(jì)算 計(jì)算 從中 43 21 43 21 43 21 43 21 43 21 43 21 你能發(fā)現(xiàn)兩者的異同嗎 2 兩個(gè)行列式之間相乘可以按照矩陣乘法法則進(jìn)行嗎 說(shuō)明你的結(jié)論 3 求證 222222 adbcbdacdcba 解 1 行列式的加減法可以對(duì)某一行 00 00 4 0 443 221 43 21 43 21 列 進(jìn)行 422 311 42 31 22 11 bba bba ba ba ba ba 2 可以 用二階行列式證明 3 2222 dcba cd dc ab ba acbdadbc bcadbdac cd dc ab ba 22 adbcbdac 例 4 把一個(gè)矩陣 A