高一數(shù)學(xué) 必修一復(fù)習(xí)資料.doc

第一章1.1 集合1. 關(guān)于集合的元素的特征（1）確定性（組成元素不確定的如：我國(guó)的小河流）（2）互異性（3）無(wú)序性集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣(1) 若集合A中的元素與集合B中的元素完全相同則稱集合A等于集合B,記作A=B.(2)例：已知A=1,1+d，1+2d，B=1，q，q2，若A=B，求的，d，q的值。解：d=34，q=122. 元素與集合的關(guān)系；（1）如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于（belong to）A，記作aA（2）如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于（not belong to）A，記作aA子集與真子集：如果集合A中的每一個(gè)元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，記作或.若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，或Q不包含P.記作 若集合A是集合B的子集，且B中至少有一個(gè)元素不屬于A,那么集合A叫做集合B的真子集. 或.子集與真子集的性質(zhì)：傳遞性：若，則空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.3. 常用數(shù)集及其記法非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N正整數(shù)集，記作N*或N+；整數(shù)集，記作Z有理數(shù)集，記作Q實(shí)數(shù)集，記作R4. 集合的表示方法（1） 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)。如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；（2） 描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)。具體方法：在大括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。如：x|x-32，(x,y)|y=x2+1，直角三角形，；（3） 自然語(yǔ)言描述法：小于10的所有正偶數(shù)組成的集合。（2,4,6,8）問(wèn)：1、1，3，5，7，9如何用自然語(yǔ)言描述法表示？2、用例舉法表示集合練習(xí)：（1）已知集合M=a，b，c中的三個(gè)元素可構(gòu)成某一三角形的三條邊，那么此三角形一定不是（ ） A直角三角形 B 銳角三角形 C鈍角三角形 D等腰三角形5. 集合間的基本運(yùn)算并集（）：一般的由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，成為集合A與B的并集，記作AB，即：,韋恩圖如下：交集（）：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作AB，即：韋恩圖如下：全集（U）：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中涉及的所有元素，那么就成這個(gè)集合為全集，記為U。補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作CUA，即CUA =x | xU且 xA，韋恩圖如下：AUCUA練習(xí)：1、若A=0，2，4，CUA=-1，2， CUB=-1，0，2，求B= 。2、設(shè)A=x|x-2,B=x|x0,A=1,3,5,7,9,B=1,4,7,10，且，試求p、q；8、已知集合A=a+2，(a+1)2，a2+3a+3，且1A，求實(shí)數(shù)a 的值9、已知集合A=x|x25x6=0，B=x|mx1=0，AB=A，求實(shí)數(shù)m的值組成的集合。10、集合A=x|x2|2，xR，B=y|y=x2，1x2，則CR(AB)等于（）A.R B.x|xR，x0 C.0 D. （空集）11、已知a，bA，且A為a，b，c，d，e的真子集，則滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)是（）12、記函數(shù)f（x）=lg（2x3）的定義域?yàn)榧螹，函數(shù)g（x）=12x1的定義域?yàn)榧螻，求：（1）集合M、N；（2）集合mN，MN13、已知集合A=x|xa|1，B=x|x25x40，若AB=，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）1.2 函數(shù)函數(shù)概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。記作：y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域區(qū)間：（1）、開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）、無(wú)窮區(qū)間；區(qū)間的數(shù)軸表示例1：已知函數(shù)f (x) = +，求函數(shù)的定義域。例2：設(shè)一個(gè)矩形周長(zhǎng)為80，其中一邊長(zhǎng)為x，求它的面積關(guān)于x的函數(shù)的解析式，并寫出定義域。函數(shù)的定義域小結(jié)：（1）如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R .（2）如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合 .（3）如果f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)數(shù)的集合.（4）如果f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合.（即求各集合的交集） （5）滿足實(shí)際問(wèn)題有意義.例3：下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x相等？（1）y = ()2 ; （2）y = () ;（3）y = ; （4）y=x=-bb2-4ac2a練習(xí)：1.求下列函數(shù)的定義域（1）y=12|x|x211x2（2） y=lg（|x|x）（3）已知f（x）的定義域?yàn)椋?,1），求函數(shù)F（x）=f（1x）f（1x）的定義域。2.已知A=1,2,3，k，B=4,7，a4，a23a，aN*，xA，yB，f：xy=3x+1是從定義域A到值域B的一個(gè)函數(shù)，求a，k，A，B。解：a=2，k=5，A=1,2,3,5，B=4,7,16,10映射：一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素，在集合B中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射記作“：AB”說(shuō)明：（1）這兩個(gè)集合有先后順序，A到B的映射與B到A的映射是截然不同的，其中表示具體的對(duì)應(yīng)法則，可以用多種形式表述（2）“都有唯一”包含兩層意思：一是必有一個(gè)；二是只有一個(gè)，也就是說(shuō)有且只有一個(gè)的意思例：1.已知A=x，y，B=a，b，c，從集合A到集合B的所有不同的映射有（）個(gè)。2. 已知A=x，y，B=a，b，c，從集合B到集合A的所有不同的映射有（）個(gè)。函數(shù)的表示方法：解析法、列表法、圖像法練習(xí)：1.已知f（x2）=2x29x13，求f（x）配湊法答案：f（x）=2x2x32.已知f（x1）=x2x，求f（x1），f（x2）換元法答案：f（x1）=x22x，（x0）；f（x2）=x41，（x1或x1）3.已知f（x）是一次函數(shù)，且有ff（x）=9x8，求f（x）待定系數(shù)法答案：f（x）=3x2或f（x）=3x44.設(shè)f（x）滿足關(guān)系式f（x）2f（1x）=3x，求f（x）消元法答案：f（x）=2xx，xx|xR，x06.已知x0，函數(shù)f（x）滿足f（x1x）=x21x2，則f（x）的表達(dá)式為（）A.f（x）=x1x B.f（x）=x22 C.f（x）=x2 D.f（x）=（x1x）27.已知函數(shù)f（x）=2x，（x4）fx1，（x4），那么f（5）的值為（）A.32 B.16 C.8 D.648.若函數(shù)f（2x1）x22x，則f（3）=（）9.已知函數(shù)f（x）=x21x2，則f（1）f（2）f（12）f（3）f（13）f（4）f（14）的值為（）10.已知f（2x1）=lgx，求f（x）11.已知f（x）是二次函數(shù)，且f（0）=0，f（x1）=f（x）x1，求f（x）12.定義在（1,1）內(nèi)的函數(shù)f（x）滿足：2f（x）f（x）=lg（x1），求函數(shù)f（x）的解析式.1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)增函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。注意：(1) 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；(2) 必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1x2時(shí)，總有f(x1)f(x2) 減函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1) f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。函數(shù)的單調(diào)性定義：如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。例1：物理學(xué)中的玻意耳定律P=（k為正常數(shù)）告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)P將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。（設(shè)V1V20）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟:利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟： 任取x1，x2D，且x1b）解：；.隨堂練習(xí)1. 求出下列各式的值 (a1)解：（1）； （2）（3）3a-3【例3】：求值：分析：（1）題需把各項(xiàng)被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问?，然后再利用根式運(yùn)算性質(zhì)；解：隨堂練習(xí)2若。解：3計(jì)算解：-9+第二節(jié)1、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：（1）、正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義為：正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)冪的意義相同.即： （2）、0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義.2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪同樣適用，即：（1）（2） （3）、無(wú)理指數(shù)冪思考：若0，P是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則該如何理解？自主學(xué)習(xí)：學(xué)生閱讀教材第頁(yè)中的相關(guān)內(nèi)容歸納得出：的不足近似值，從由小于的方向逼近，的過(guò)剩近似值從大于的方向逼近。所以，當(dāng)不足近似值從小于的方向逼近時(shí)，的近似值從小于的方向逼近.當(dāng)?shù)倪^(guò)剩似值從大于的方向逼近時(shí)，的近似值從大于的方向逼近，(如課本圖所示) 所以，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).總結(jié)：一般來(lái)說(shuō)，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪. 這樣冪的性質(zhì)就推廣到了實(shí)數(shù)范圍練習(xí)：輕松過(guò)關(guān)、下列式子中計(jì)算正確的是（D）A B C D2下列式子中計(jì)算正確的有（A）（）；（）（）A 0 B 1 C 2 D 3、的值是（）、下列說(shuō)法正確的是（）無(wú)意義、用計(jì)算器算；（保留個(gè)有效數(shù)字）、已知 ，則；、計(jì)算的值解：原式適度拓展、化簡(jiǎn)： （e=2.718 ）解：原式 + = 9、已知求的值解原式，提示： ）綜合提高、已知：，求的值.解：由，又1ab，從而得，原式= =.二、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)-xy0y=2x定義：一般地，函數(shù)（0且1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.當(dāng)1時(shí)，函數(shù)的圖象為：-xy0當(dāng)01時(shí)，函數(shù)的圖象為：圖象特征函數(shù)性質(zhì)101101向軸正負(fù)方向無(wú)限延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽圖象關(guān)于原點(diǎn)和軸不對(duì)稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都在軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽+函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（0，1）=1自左向右，圖象逐漸上升自左向右，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于10，10，1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于10，10，1利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：（1）在（0且1）值域是（2）若（3）對(duì)于指數(shù)函數(shù)（0且1），總有（4）當(dāng)1時(shí)，若，則；練習(xí)：1、函數(shù)2、當(dāng)（，）2.2對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)數(shù)：一般地，若，那么數(shù)叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化在對(duì)數(shù)的概念中，要注意：（1）底數(shù)的限制0，且1（2）指數(shù)式對(duì)數(shù)式冪底數(shù)對(duì)數(shù)底數(shù)指 數(shù)對(duì)數(shù)冪 N真數(shù)恒等式：=N負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)。Loga1=0；logaa=1兩類對(duì)數(shù)： 以10為底的對(duì)數(shù)稱為常用對(duì)數(shù)，常記為. 以無(wú)理數(shù)e=2.71828為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，常記為.例：求下列各式中x的值（1） （2） （3） （4）分析：將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求出x.解：（1）（2） （3） （4），所以對(duì)數(shù)的運(yùn)算運(yùn)算性質(zhì)：如果，且，那么： ； ； 換底公式（，且；，且；）證明：設(shè)ax=b，所以logcax=logcb，因?yàn)閘ogcax=xlogca；所以X=logcax/logca=logcb/logca=logab換底公式推論（1）；（2）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象（1） （2） （3） （4） 圖象特征函數(shù)性質(zhì)函數(shù)圖象都在y軸右側(cè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，）圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對(duì)稱非奇非偶函數(shù)向y軸正負(fù)方向無(wú)限延伸函數(shù)的值域?yàn)镽函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（1，1）自左向右看，圖象逐漸上升自左向右看，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于02.3冪函數(shù)定義：一般地，形如（R）的函數(shù)稱為冪孫函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).如等都是冪函數(shù)，冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)一樣，都是基本初等函數(shù).五種基本冪函數(shù)：y=x3y=x-1定義域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限單調(diào)增減性在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞減定點(diǎn)（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）冪函數(shù)性質(zhì)： （1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1，1）（原因：）； （2）0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都通過(guò)原點(diǎn)，并且在0，+上，是增函數(shù)（從左往右看，函數(shù)圖象逐漸上升）. 特別地，當(dāng)1，1時(shí)，（0，1），的圖象都在圖象的下方，形狀向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因嗎？） 當(dāng)1時(shí)，（0，1），的圖象都在的圖象上方，形狀向上凸，越小，上凸的程度越大（你能說(shuō)出原因嗎？） （3）0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間（0，+）上是減函數(shù). 在第一家限內(nèi)，當(dāng)向原點(diǎn)靠近時(shí)，圖象在軸的右方無(wú)限逼近軸正半軸，當(dāng)慢慢地變大時(shí)，圖象在軸上方并無(wú)限逼近軸的正半軸.例題：證明冪函數(shù)上是增函數(shù) 證：任取則 = = 因0，0 所以，即上是增函數(shù).第三章 函數(shù)的應(yīng)用3.1 函數(shù)與方程零點(diǎn)定義：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即