數(shù)學(xué)美的特征.doc

數(shù)學(xué)美的特征數(shù)學(xué)歷來以其高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性被人們所賞識(shí),卻很少有人把它與美學(xué)聯(lián)系起來,似乎數(shù)學(xué)與美學(xué)毫不相干。其實(shí),這是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的一種誤解,是對(duì)數(shù)學(xué)與美學(xué)的關(guān)系以及數(shù)學(xué)中的美缺乏真正的了解和認(rèn)識(shí)。一 數(shù)學(xué)美的特征古今中外許多著名的數(shù)學(xué)家都曾以其親身感受對(duì)這個(gè)問題有過深刻的論述，認(rèn)為數(shù)學(xué)不僅與美學(xué)密切相關(guān)，而且數(shù)學(xué)中充滿著美的因素,到處閃現(xiàn)著美的光輝。早在二千年多前,古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯就極度贊賞整數(shù)的和諧美，圓和球體的對(duì)稱美，稱宇宙是數(shù)的和諧體系。第五世紀(jì)著名數(shù)學(xué)評(píng)論家普洛克拉斯進(jìn)而斷言：“那里有數(shù),那里就有美”。近現(xiàn)代許多著名的數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)中的美更是贊嘆不已。英國著名數(shù)理邏輯學(xué)家羅素指出:“數(shù)學(xué),如果正常地看它,不但擁有真理,而且也具有至高的美,正如雕塑的美,是一種冷而嚴(yán)肅的美?！庇麛?shù)學(xué)家哈代認(rèn)為,不美的數(shù)學(xué)在世界上是找不到永久容身之地的。我國著名數(shù)學(xué)家徐利治教授指出:“數(shù)學(xué)園地處處開放著美麗花朵,它是一片燦爛奪目的花果園,這片花果園正是按照美的追求開拓出來的。”數(shù)學(xué)中的美是千姿百態(tài)、豐富多彩的,如美的形式符號(hào)、美的公式、美的曲線、美的曲面、美的證明、美的方法、美的理論等。從內(nèi)容來說,數(shù)學(xué)美可分為結(jié)構(gòu)美、語言美與方法美;就形式而論,數(shù)學(xué)美可分為外在的形態(tài)美和內(nèi)在的理性美。把內(nèi)容和形式結(jié)合起來考察,數(shù)學(xué)美的特征主要有兩個(gè)：一個(gè)是和諧性,一個(gè)是奇異性。（一）數(shù)學(xué)美的和諧性和諧性是美的最基本、最普遍的一個(gè)特征,任何美的東西無一不給人以和諧之感。和諧性的表現(xiàn)形式很多，就數(shù)學(xué)而言,其典型表現(xiàn)有以下幾種形式。1 統(tǒng)一性。統(tǒng)一性反映的是審美對(duì)象在形式或內(nèi)容上的某種共同性、關(guān)聯(lián)性或一致性,它能給人一種整體和諧的美感。數(shù)學(xué)對(duì)象的統(tǒng)一性通常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、方法的統(tǒng)一,數(shù)學(xué)理論的統(tǒng)一,數(shù)學(xué)和其它科學(xué)的統(tǒng)一。（1） 數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、方法的統(tǒng)一。一切客觀事物都是相互聯(lián)系的，因而,作為反映客觀事物的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)法則也是互相聯(lián)系的，在一定條件下可處于一個(gè)統(tǒng)一體之中。例如，運(yùn)算、變換、函數(shù)分別是代數(shù)、幾何、分析這三個(gè)數(shù)學(xué)分支中的重要概念,在集合論中,便可統(tǒng)一于映射的概念。又如代數(shù)中的算術(shù)平均幾何平均定理、加權(quán)平均定理、冪平均定理、加權(quán)冪平均定理等著名不等式,都可以統(tǒng)一于一元凹、凸函數(shù)的琴森不等式。在數(shù)學(xué)方法上，同樣滲透著統(tǒng)一性的美。例如,從結(jié)構(gòu)上分析，解析法、三角法、復(fù)數(shù)法、向量法和圖解等具體方法,都可以統(tǒng)一于數(shù)形結(jié)合法。數(shù)學(xué)中的公理化方法,使零散的數(shù)學(xué)知識(shí)用邏輯的鏈條串聯(lián)起來,形成完整的知識(shí)體系,在本質(zhì)上體現(xiàn)了部分和整體之間的和諧統(tǒng)一。 （2）數(shù)學(xué)理論的統(tǒng)一。在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的歷史過程中，一直存在著分化和整體化兩種趨勢(shì)。數(shù)學(xué)理論的統(tǒng)一性主要表現(xiàn)在它的整體性趨勢(shì)。歐幾里德的幾何原本,把一些空間性質(zhì)簡化為點(diǎn)、線、面、體幾個(gè)抽象概念和五條公設(shè)及五條公理,并由此導(dǎo)致出一套雅致的演繹理論體系,顯示出高度的統(tǒng)一性。布爾基學(xué)派的數(shù)學(xué)原本,用結(jié)構(gòu)的思想和語言來重新整理各個(gè)數(shù)學(xué)分支,在本質(zhì)上揭示數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系,使之成為一個(gè)有機(jī)整體,在數(shù)學(xué)的高度統(tǒng)一性上給人一美的啟迪。（3） 數(shù)學(xué)和其它科學(xué)的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)和其它科學(xué)的相互滲透，導(dǎo)致了科學(xué)數(shù)學(xué)化。正如馬克思所說的,一門科學(xué)只有當(dāng)它成功的運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才算達(dá)到了真正完善的地步。力學(xué)的數(shù)學(xué)化使牛頓建立了經(jīng)典力學(xué)體系?？茖W(xué)的數(shù)學(xué)化使物理學(xué)與數(shù)學(xué)趨于統(tǒng)一。建立在相對(duì)論和量子論兩大基礎(chǔ)理論上的物理學(xué),其各個(gè)分支都離不開數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用,它們的理論表述也采用了數(shù)學(xué)的形式?；瘜W(xué)的數(shù)學(xué)化加速了化學(xué)這門實(shí)驗(yàn)性很強(qiáng)的學(xué)科向理論科學(xué)和精確科學(xué)過渡。生物數(shù)學(xué)化使生物學(xué)日益擺脫對(duì)生命過程進(jìn)行現(xiàn)象描述的階段,從定性研究轉(zhuǎn)向定量研究,這個(gè)數(shù)學(xué)化的方向,必將同物理學(xué)、化學(xué)的數(shù)學(xué)化方向一樣,把人類對(duì)生命世界的認(rèn)識(shí)提高到一個(gè)嶄新的水平。不僅自然科學(xué)普遍數(shù)學(xué)化了,而且數(shù)學(xué)方法也進(jìn)入了經(jīng)濟(jì)學(xué)、法學(xué)、人口學(xué)、人種學(xué)、史學(xué)、考古學(xué)、語言學(xué)、文學(xué)等社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域,日益顯示出它的效用。數(shù)學(xué)進(jìn)入經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域最大的成就是本世紀(jì)出現(xiàn)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)。數(shù)學(xué)進(jìn)入語言學(xué)領(lǐng)域，使語言學(xué)研究經(jīng)歷了統(tǒng)計(jì)語言學(xué)、代數(shù)語言學(xué)和算法語言學(xué)三個(gè)階段。數(shù)學(xué)向文學(xué)的滲透,發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象推理和符號(hào)運(yùn)算同文學(xué)的形象思維之間有著奇妙的聯(lián)系。2 對(duì)稱性。對(duì)稱性是和諧性的一種特殊的表現(xiàn)。它反映的是審美對(duì)象形態(tài)或結(jié)構(gòu)的均衡性、勻稱性或變化的周期性、節(jié)律性。在現(xiàn)實(shí)世界中，形式上和內(nèi)容上的對(duì)稱性，廣泛地存在于客觀事物之中，既有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、平面對(duì)稱等的空間對(duì)稱,又有周期、節(jié)奏和旋律的時(shí)間對(duì)稱,還有與時(shí)空坐標(biāo)無關(guān)的更為復(fù)雜的對(duì)稱。數(shù)學(xué)的對(duì)稱美,實(shí)質(zhì)上是自然物的和諧性在量和量的關(guān)系上最直觀的表現(xiàn)。從數(shù)學(xué)美來講,對(duì)稱包括狹義對(duì)稱、常義對(duì)稱與泛對(duì)稱等,內(nèi)容十分豐富。狹義對(duì)稱可分為代數(shù)對(duì)稱（共軛根式、共軛復(fù)數(shù)、對(duì)稱多項(xiàng)式、輪換對(duì)稱多項(xiàng)式、線性方程組的克萊姆法則、對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣、厄米特矩陣、反厄米特矩陣等)與幾何對(duì)稱（軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、平面對(duì)稱等）,常義對(duì)稱包括同構(gòu)、同態(tài)、映射、反演、互補(bǔ)、互逆、相似、全等等，泛對(duì)稱包括數(shù)學(xué)對(duì)象的系統(tǒng)性、守恒性、不變性、周期性、對(duì)偶性、等價(jià)性和勻稱等。3 簡單性。簡單、明快才能給人以和諧之感,繁雜晦澀就談不上和諧一致。因此,簡單性既是和諧性的一種表現(xiàn)，又是和諧性的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)美的簡單性，并非指數(shù)學(xué)對(duì)象本身簡單、淺顯,而是指數(shù)學(xué)對(duì)象由盡可能少的要素通過盡可能簡捷、經(jīng)濟(jì)的方式組成,并且蘊(yùn)含著豐富和深刻的內(nèi)容。數(shù)學(xué)的簡單美,主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)的方法和表達(dá)形式的簡單性。（1） 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的簡單美。簡單性是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)美的基本內(nèi)容。就數(shù)學(xué)理論的邏輯結(jié)構(gòu)而論,它的簡單性一般包括兩個(gè)方面的內(nèi)容:一是理論前提的簡單性,獨(dú)立的概念簡單明確,以最少的公理來建立理論;二是理論表述的簡單性，以最簡單的方式抓住現(xiàn)象的本質(zhì)，定理和公式簡單明晰。著名的皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng),就是邏輯結(jié)構(gòu)簡單美的一個(gè)典范。（2） 數(shù)學(xué)方法的簡單美。簡單性是數(shù)學(xué)方法美的重要標(biāo)志。狄德羅指出：“數(shù)學(xué)中所謂美的問題是指一個(gè)難于解決的問題,所謂美的解答則是指一個(gè)困難、復(fù)雜問題的簡單回答”。這就是說,一個(gè)美的數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)證明,一般都包含著簡單性的涵義。如希爾伯特解決果爾丹問題的存在性證明方法就是數(shù)學(xué)方法簡單美的一個(gè)范例。正是由于希爾伯特的方法簡單而深刻,才使它能進(jìn)一步應(yīng)用到抽象代數(shù)中去,并把群、環(huán)、域的抽象理論提高到顯著的地位。（3）數(shù)學(xué)形式的簡單美。簡單性也是數(shù)學(xué)形態(tài)美的主要特征。數(shù)學(xué)形態(tài)美,是數(shù)學(xué)美的外部表現(xiàn)形態(tài),是數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)公式的外在結(jié)構(gòu)中呈現(xiàn)出來的美。形態(tài)美的主要特征,在于它的簡單性。牛頓用F=ma概括了力、質(zhì)量、加速度之間的定量關(guān)系;愛因斯坦用E=mc2 揭示了自然界的質(zhì)量和能量的轉(zhuǎn)換關(guān)系。這里F=ma、E=mc2就外在形式而論,都是非常簡單的,不失為數(shù)學(xué)形態(tài)美的范例。又如,麥克斯韋的電磁方程組：1 divD= r2 divB= 03 rotH= j0+4 rotE= -以非常簡潔、完美的形式包括了庫侖定律、高斯定律、歐姆定律、安培定律、畢奧薩伐爾定律、法拉第電磁感應(yīng)定律和麥克斯韋位移電流理論，統(tǒng)一地解釋了各種宏觀電磁過程，成為反映自然界電磁現(xiàn)象一般規(guī)律的普遍理論。（二） 數(shù)學(xué)美的奇異性奇異性是數(shù)學(xué)美的又一重要特征。著名數(shù)學(xué)家徐利治教授說：“奇異是一種美，奇異到極度更是一種美?！彼从沉丝陀^事物中非常規(guī)現(xiàn)象的一個(gè)側(cè)面。弗蘭西斯培根曾說：“沒有一個(gè)極美的東西不是在勻稱中有著某種奇異?！边@句話的意思是：奇異存在于美的事物之中，奇異是相對(duì)于我們所熟悉的事物而言。一個(gè)事物十分工整對(duì)稱、十分簡潔或高度統(tǒng)一，都給人一種奇異感，一個(gè)新事物、新規(guī)律、新現(xiàn)象的被揭示，總是使人們感到一種帶有奇異的美感，令人產(chǎn)生一種驚奇的愉快。數(shù)學(xué)審美對(duì)象的奇異性有以下幾種典型表現(xiàn)形式。1 突變性。突變是一種突發(fā)性變化，是事物從一種質(zhì)態(tài)向另一種質(zhì)態(tài)的飛躍。它來之突然，變化劇烈，出人意料，因而能給人一新穎奇特之感。在數(shù)學(xué)世界中，突變現(xiàn)象是很多的。諸如連續(xù)曲線的中斷、函數(shù)的極值點(diǎn)、曲線的尖點(diǎn)等，都給人一突變之感。法國數(shù)學(xué)家托姆創(chuàng)立的突變論，就是研究自然界和社會(huì)某些突變現(xiàn)象的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。他運(yùn)用拓?fù)鋵W(xué)、奇點(diǎn)理論和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性等數(shù)學(xué)工具，研究自然界和社會(huì)一些事物的性態(tài)、結(jié)構(gòu)突然變化的規(guī)律，所給出的拓?fù)淠Ｐ图刃蜗笥志_，給人一種特有的美感。2 反常性。反常是對(duì)常態(tài)、常規(guī)的突破，它常常以矛盾沖突的形式創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)對(duì)象，豐富數(shù)學(xué)的內(nèi)容，推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，因而能給人一種革舊立新、開拓進(jìn)取的美感。數(shù)學(xué)對(duì)象的反常性主要表現(xiàn)為：反常事實(shí)，如德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯在1856年提出的一個(gè)處處連續(xù)又處處不可導(dǎo)的函數(shù)，就與人們的傳統(tǒng)認(rèn)識(shí) “連續(xù)函數(shù)至少在某些點(diǎn)處可導(dǎo)”相沖突；反常命題，如非歐幾何的命題“三角形的內(nèi)角和小于二直角”，反常于歐氏幾何的“三角形的內(nèi)角和等于二直角”；反常運(yùn)算，如哈密爾頓四元數(shù)代數(shù)中“四元數(shù)乘法不可交換性”與傳統(tǒng)代數(shù)學(xué)的“乘法交換律”相背離；反常理論，如勒貝格積分反常于黎曼積分、非歐幾何反常于歐氏幾何等；反常方法，如阿貝爾和黑肯借助計(jì)算機(jī)證明“四色定理”，超出了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)手工式證明的研究模式。3 無限性。無限歷來使哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家為其深?yuàn)W而動(dòng)情，它深遠(yuǎn)、奧妙無窮、充滿著美的魅力。1925年，在明斯特紀(jì)念魏爾斯特拉斯的會(huì)議上，希爾伯特發(fā)表了題為“論無限”的著名演講。在演講中他深有感觸的說：“沒有任何問題能象無限那樣，從來就深深的觸動(dòng)著人們的感情；沒有任何觀念能象無限那樣，曾如此卓有成效的激勵(lì)著人們的智慧；也沒有任何概念能象無限那樣，是如此迫切的需要澄清?！奔险撝械臒o限性命題令人驚嘆，諸如“無窮集合可以和它的子集建立元素之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”、“兩個(gè)同心圓的圓周上的點(diǎn)存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”等等。集合論創(chuàng)立者康托爾發(fā)現(xiàn)“直線上的點(diǎn)和整個(gè)n維空間的點(diǎn)存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”，曾激動(dòng)地說：“我看到了它，但我簡直不能相信它?！? 奇巧性。奇巧的東西給人以奇異、巧妙之感，高度的奇巧更是令人賞心悅目。數(shù)學(xué)中充滿著奇巧的符號(hào)、公式、算式、圖形和方法。歐拉給出的著名公式eip+1=0,將最基本的代數(shù)數(shù)0，1，i和超越數(shù)p，e用最基本的運(yùn)算符號(hào)，通過最方便的方式巧妙的組合在一起，可謂數(shù)學(xué)創(chuàng)造的藝術(shù)精品。歐拉求無窮級(jí)數(shù) 1/n2和的方法、蒲豐投針求p值的方法、希爾伯特解決果爾丹問題的存在性證明方法，都以其巧妙而贏得學(xué)術(shù)界的高度贊美。5 神秘性。神秘的東西都帶有某種奇異色彩，使人產(chǎn)生幻想和揭示其奧妙的欲望。某些數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)在沒有充分暴露之前，往往會(huì)使人產(chǎn)生神秘或不可思議感。比如，在歷史上，虛數(shù)曾一度被看作是“幻想中的數(shù)”、“介于存在和不存在之間的兩棲物”；無窮小量dx曾長期被蒙上神秘的面紗，被英國大主教貝克萊稱為“消失了量的鬼魂”；彭加勒把集合論比喻為“病態(tài)數(shù)學(xué)”，外爾則稱康托爾關(guān)于基數(shù)的