2012年新高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽19.doc

2012年姜堰中學(xué)高一新生數(shù)學(xué)競(jìng)賽入門自學(xué)材料 教練員 凌彬平面幾何競(jìng)賽基礎(chǔ)19 其它定理介紹之二姓名愛因斯坦曾說：如果平面幾何不能激起一個(gè)人的好奇心，那么這個(gè)人在科學(xué)上的發(fā)展也不會(huì)很遠(yuǎn)誒自學(xué)處理方法：先閱讀完成例題解答，再獨(dú)立完成練習(xí)并將解答回發(fā)郵箱，以便批閱反饋?zhàn)⒁庖竽康模阂螵?dú)立完成，可以參閱資料目的是開學(xué)后考試選拔100名思維好且鉆研能力強(qiáng)的競(jìng)賽選手一、定理介紹：（所有這些定理均可直接署名使用）例1（斯坦納-雷米歐斯定理）有兩條內(nèi)角平分線相等的三角形是等腰三角形已知：在ABC是，BE，CF是B，C的平分線，且BE=CF；求證：AB=AC證明：例2（九點(diǎn)圓定理，又稱歐拉圓或費(fèi)爾巴哈圓）三角形中三邊的三個(gè)中點(diǎn)、三條高的垂足、垂心到各頂點(diǎn)線段的中點(diǎn)；凡九點(diǎn)共圓已知：在ABC中，H是垂心，L，M，N分別為BC，CA，AB的中點(diǎn)；D，E，F(xiàn)分別為三高之垂足；P，Q，R分別是AH，BH，CH的中點(diǎn)；求證：L，M，N，D，E，F(xiàn)，P，Q，R九點(diǎn)共圓證明：例3（莫利定理）（本題是最優(yōu)美而最難證明的命題）將任意三角形的各角三等分，則每兩個(gè)角的相鄰三等分線的交點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形已知：ABC三內(nèi)角的三等分線兩兩相交于D、E、F；求證：DEF是正三角形證明：例4、（清宮定理）（本定理為日本數(shù)學(xué)家清宮俊雄16歲時(shí)候發(fā)現(xiàn)的）設(shè)P，Q為ABC外接圓上異于A，B，C的兩點(diǎn)；P關(guān)于三邊BC，CA，AB的對(duì)稱點(diǎn)分別為U，V，W；這時(shí)QU，QV，QW和邊BC，CA，AB或其延長線的交點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)；則D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線（當(dāng)P，Q重合時(shí)就是西姆松定理）證明：二、鞏固練習(xí)19 （以下兩道題的解答要回發(fā)到郵箱）1試證：ABC內(nèi)不存在這樣的一點(diǎn)P，使得過P點(diǎn)的任意一條直線把ABC的面積分成相等的兩部分2ABC的內(nèi)心為I，旁心為I1，I2，I3；求證：II1，II2，II3，I1I2，I2I3，I1I3六條線段的中點(diǎn)都在ABC的外接圓上3如圖，將任意五邊形ABCDE的邊延長交成五角星形FGHKL；作三角形ABF，BCG，CDH，DEK，EAL的外接圓；諸圓兩兩相交的第二個(gè)交點(diǎn)記為A1，B1，C1，D1，E1；求證：A1，B1，C1，D1，E1五點(diǎn)共圓（本題為2000年12月20日江澤民