變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例(教師版).docx

變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例【知識(shí)要點(diǎn)】1.相關(guān)關(guān)系的判斷(1)如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線的附近，我們說(shuō)變量和具有線性相關(guān)關(guān)系(2)樣本數(shù)據(jù)(i1,2，n)的相關(guān)系數(shù) 當(dāng)時(shí)，兩變量正相關(guān)，當(dāng)時(shí)，兩變量負(fù)相關(guān)，當(dāng)且越接近于，相關(guān)程度越高，當(dāng)且越接近于，相關(guān)程度越低 2.回歸方程的求法求回歸方程的方法是最小二乘法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小若變量x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，有n個(gè)樣本數(shù)據(jù)(i1,2，n)，則回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為： 其中，稱為樣本點(diǎn)的中心【重點(diǎn)】 回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心，這個(gè)結(jié)論既是檢驗(yàn)所求回歸直線方程是否準(zhǔn)確的依據(jù)，也是求參數(shù)的一個(gè)依據(jù)3獨(dú)立性檢驗(yàn)0050001000013841663510828設(shè)X，Y為兩個(gè)變量，它們的取值分別為和，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(22列聯(lián)表)如下：y1y2總計(jì)x1ababx2cdcd總計(jì)acbdabcd利用隨機(jī)變量(其中為樣本容量)來(lái)判斷“兩個(gè)變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)【例題解析】題型一變量間的相關(guān)關(guān)系【例1】對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()Ar2r40r3r1 Br4r20r1r3 Cr4r20r3r1 Dr2r40r1r3解析：選A易知題中圖(1)與圖(3)是正相關(guān)，圖(2)與圖(4)是負(fù)相關(guān)，且圖(1)與圖(2)中的樣本點(diǎn)集中分布在一條直線附近，則r2r40r3r1.【變式1】四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個(gè)結(jié)論：y與x負(fù)相關(guān)且2.347x6.423；y與x負(fù)相關(guān)且3.476x5.648；y與x正相關(guān)且5.437x8.493；y與x正相關(guān)且4.326x4.578.其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是()A B C D解析：選D正相關(guān)指的是y隨x的增大而增大，負(fù)相關(guān)指的是y隨x的增大而減小，故不正確的為，故選D.相關(guān)關(guān)系的直觀判斷方法就是作出散點(diǎn)圖，若散點(diǎn)圖呈帶狀且區(qū)域較窄，說(shuō)明兩個(gè)變量有一定的線性相關(guān)性，若呈曲線型也是有相關(guān)性，若呈圖形區(qū)域且分布較亂則不具備相關(guān)性【例2】(2014湖北高考)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回歸方程為bxa，則()Aa0，b0 Ba0，b0 Ca0 Da0，b0解析：選B由表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如圖，由散點(diǎn)圖可知b0，選B.【例3】對(duì)于下列表格所示五個(gè)散點(diǎn)，已知求得的線性回歸方程為0.8x155，則實(shí)數(shù)m的值為()x196197200203204y1367mA.8 B8.2 C8.4 D8.5解析：選A200，.樣本中心點(diǎn)為，將樣本中心點(diǎn)代入0.8x155，可得m8.故A正確題型二回歸方程的求法【例4】某城市理論預(yù)測(cè)2011年到2015年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如下表所示請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；據(jù)此估計(jì)2016年該城市人口總數(shù).參考公式： 解：(1)， 2分 = 05+17+28+311+419=132，= 故y關(guān)于x的線性回歸方程為=3.2x+3.6 (2)當(dāng)x=5時(shí)，=3.2*5+3.6即=19.6 據(jù)此估計(jì)2016年該城市人口總數(shù)約為196萬(wàn). 【例5】某保險(xiǎn)公司有一款保險(xiǎn)產(chǎn)品的歷史戶獲益率（獲益率=獲益保費(fèi)收入）的頻率分布直方圖如圖所示：（）試估計(jì)平均獲益率；（）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)若每份保單的保費(fèi)在元的基礎(chǔ)上每增加元，對(duì)應(yīng)的銷量（萬(wàn)份）與（元）有較強(qiáng)線性相關(guān)關(guān)系，從歷史銷售記錄中抽樣得到如下組與的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：(元)銷量（萬(wàn)份）（）根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算出銷量（萬(wàn)份）與（元）的回歸方程為；（）若把回歸方程當(dāng)作與的線性關(guān)系，用（）中求出的平均獲益率估計(jì)此產(chǎn)品的獲益率，每份保單的保費(fèi)定為多少元時(shí)此產(chǎn)品可獲得最大獲益，并求出該最大獲益.參考公示： 解析：（）區(qū)間中值依次為：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次為：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，平均獲益率為（）（i）則即（ii）設(shè)每份保單的保費(fèi)為元，則銷量為，則保費(fèi)獲益為萬(wàn)元， 當(dāng)元時(shí)，保費(fèi)收入最大為萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司預(yù)計(jì)獲益為萬(wàn)元.題型三獨(dú)立性檢驗(yàn)【例6】為考察棉花種子經(jīng)過(guò)處理跟生病之間的關(guān)系得到下表數(shù)據(jù)：種子處理種子未處理總計(jì)得病32101133不得病61213274總計(jì)93314407根據(jù)以上數(shù)據(jù)，則種子經(jīng)過(guò)處理與是否生病_(填“有”或“無(wú)”)關(guān)解析：在假設(shè)無(wú)關(guān)的情況下，根據(jù)題意K20.16，可以得到無(wú)關(guān)的概率大于50%，所以種子經(jīng)過(guò)處理跟是否生病有關(guān)的概率小于50%，所以可以認(rèn)為種子經(jīng)過(guò)處理與是否生病無(wú)關(guān)答案：無(wú)【例7】某高校為調(diào)查學(xué)生喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了選修課程的55名學(xué)生，得到數(shù)據(jù)如下表：喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程不喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程總計(jì)男生20525女生102030總計(jì)302555(1)判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程與性別有關(guān)？(2)用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計(jì)課程的學(xué)生中抽取6名學(xué)生做進(jìn)一步調(diào)查，將這6名學(xué)生作為一個(gè)樣本，從中任選2人，求恰有1個(gè)男生和1個(gè)女生的概率下面的臨界值表供參考：P(K2k)0.150.100.050.250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式：K2，其中nabcd)解：(1)由公式K211.9787.879，所以有99.5%的把握認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程與性別有關(guān)(2)設(shè)所抽樣本中有m個(gè)男生，則，得m4，所以樣本中有4個(gè)男生，2個(gè)女生，分別記作B1，B2，B3，B4，G1，G2.從中任選2人的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，B4)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，(G1，G2)，共15個(gè)，其中恰有1個(gè)男生和1個(gè)女生的事件有(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，共8個(gè)所以恰有1個(gè)男生和1個(gè)女生的概率為.【變式1】經(jīng)過(guò)對(duì)計(jì)量的研究，得到了若干個(gè)臨界值如下：當(dāng)?shù)挠^測(cè)值時(shí)，我們（ A ）A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提可認(rèn)為A與B有關(guān) B. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提可認(rèn)為A與B無(wú)關(guān) C. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提可認(rèn)為A與B有關(guān) D. 沒有充分理由說(shuō)明事件A與B有關(guān)系 【變式2】某校高三子啊一次模擬考試后，為了解數(shù)學(xué)成績(jī)是否與班級(jí)有關(guān)，對(duì)甲乙兩個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分150分）進(jìn)行分析，按照不小于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀的標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)成績(jī)，已知從全班100人中隨機(jī)抽取1人數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率為，調(diào)查結(jié)果如下表所示.（1）請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表； （2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，問(wèn)是否有95%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”；（3）若按下面的方法從甲班數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中抽取1人：把甲班數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進(jìn)行編號(hào)，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)和被記為抽取人的編號(hào)，求抽到的編號(hào)為6或10的概率.【變式3】為了解人們對(duì)新頒布的“生育二孩放開”政策的熱度，現(xiàn)在某市進(jìn)行調(diào)查對(duì)歲的人群隨機(jī)抽取了人，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段抽取人數(shù)的頻率分布直方圖：()求，的值，并由頻率分布直方圖估計(jì)被調(diào)查人群的平均年齡；()根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面22列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否有99%的把握認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對(duì)“生育二孩放開”政策的支持度有關(guān)系？年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計(jì)支持不支持合計(jì)0050001000013841663510828參考數(shù)據(jù)：，其中解：()從歲這一年齡組中抽取的人數(shù)為，且頻率為， ； 2分又第二組的頻率為，則第二組人數(shù)為10人， 4分平均數(shù)（歲） 6分() 列聯(lián)表如下：年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計(jì)支持32932不支持71118合計(jì)104050，沒有99%的把握認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對(duì)“生育二孩放開”政策的支持度有關(guān)系。【例8】為研究患肺癌與是否吸煙有關(guān)，做了一次相關(guān)調(diào)查，其中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但可以確定的是不吸煙人數(shù)與吸煙人數(shù)相同，吸煙患肺癌人數(shù)占吸煙總?cè)藬?shù)的；不吸煙的人數(shù)中，患肺癌與不患肺癌的比為（1） 若吸煙不患肺癌的有人，現(xiàn)從患肺癌的人中用分層抽樣的方法抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行調(diào)查，求這兩人都是吸煙患肺癌的概率；（2）若研究得到在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為患肺癌與吸煙有關(guān)，則吸煙的人數(shù)至少有多少？附：，其中解：（1）設(shè)吸煙人數(shù)為，依題意有，所以吸煙的人有人，故有吸煙患肺癌的有人，不患肺癌的有人用分層抽樣的方法抽取人，則應(yīng)抽取吸煙患肺癌的人，記為，不吸煙患肺癌的人，記為從人中隨機(jī)抽取人，所有可能的結(jié)果有，共種，則這兩人都是吸煙患肺癌的情形共有種，即這兩人都是吸煙患肺癌的概率為 .6分 （2）方法一：設(shè)吸煙人數(shù)為，由題意可得列聯(lián)表如下：患肺癌不患肺癌合計(jì)吸煙不吸煙總計(jì)由表得，由題意，為整數(shù)，的最小值為則，即吸煙人數(shù)至少為人方法二：設(shè)吸煙人數(shù)為，由題意可得列聯(lián)表如下：患肺癌不患肺癌合計(jì)吸煙不吸煙總計(jì)由表得，由題意，為整數(shù)且為的倍數(shù)，的最小值為即吸煙人數(shù)至少為人 【高考真題】【1】【2017課標(biāo)1，文19】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸995101299699610019929981004抽取次序910111213141516零件尺寸10269911013100292210041005995經(jīng)計(jì)算得，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，（1）求的相關(guān)系數(shù)，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。ㄈ?，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。?）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查（）從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？（）在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差（精確到001）附：樣本的相關(guān)系數(shù)，【答案】（1），可以；（2）（）需要；（）均值與標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值分別為1002，009【解析】試題分析：（1）依公式求；（2）（i）由，得抽取的第13個(gè)零件的尺寸在以外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查；（ii）剔除第13個(gè)數(shù)據(jù)，則均值的估計(jì)值為1002，方差為009（ii）剔除離群值，即第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計(jì)值為1002，剔除第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為【2】【2017課標(biāo)II，文19】海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）, 其頻率分布直方圖如下：（1） 記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，估計(jì)A的概率；（2） 填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量50kg箱產(chǎn)量50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法（3） 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行較。附：P（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828 【答案】（1）0.62.（2）有把握（3）新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法【解析】(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量50kg箱產(chǎn)量50kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466K2= 由于15.7056.635,故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖平均值(或中位數(shù))在45kg到50kg之間,且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高,因此,可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定,從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法.【3】（2016年全國(guó)III卷高考）下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖（）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；（）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量.附注：參考數(shù)據(jù)：，2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù) 回歸方程 中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：（）由及（）得，所以，關(guān)于的回歸方程為：. .10分將2016年對(duì)應(yīng)的代入回歸方程得：.所以預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約1.82億噸. .12分【4】【2015高考新課標(biāo)1，文19】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.46.656.36.8289.81.61469108.8表中= ， =（I）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與，哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；（II）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（III）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為 ，根據(jù)（II）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：（i）當(dāng)年宣傳費(fèi)時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值時(shí)多少？（ii）當(dāng)年宣