函數(shù)模型及其應(yīng)用.ppt

函數(shù)模型及其應(yīng)用 1 孫小凱 班級一學生 剛好早晨遲到 早上起床太晚 為避免遲到 不得不跑步到教室 但由于平時不注意鍛煉身體 結(jié)果跑了一段就累了 不得不走完余下的路程 問題1 如果用縱軸表示離教室的距離 橫軸表示出發(fā)后的時間 則下列四個圖象比較符合此人走法的是 問題2 韋老師今天從縣中到二中上課 來的時候坐了出租車 我們知道洪澤出租車的價格 凡上車起步價為4元 行程不超過3km者均按此價收費 行程超過3km 按1 5元 km收費 縣中到二中的路程是4公里 問韋老師今天坐車用了多少錢 縣中到二中的路程是x公里 問韋老師今天坐車會用多少錢 實際問題 數(shù)學模型 數(shù)學模型的解 實際問題的解 答 求解數(shù)學應(yīng)用問題的思路和方法 我們可以用示意圖表示為 數(shù)學模型 例1 某計算機集團公司生產(chǎn)某種型號的計算機的固定成本為200萬元 生產(chǎn)每臺計算機的可變成本為3000元 每臺計算機的售價為5000元 分別寫出總成本C 萬元 單位成本P 萬元 銷售收入R 萬元 以及利潤L 萬元 關(guān)于總量x 臺 的函數(shù)關(guān)系式 例2 物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述 設(shè)物體的初始溫度是T0 經(jīng)過一定時間t后的溫度是T 則 其中表示環(huán)境溫度 稱h為半衰期 現(xiàn)有一杯用88 熱水沖的速溶咖啡 放在24 的房間中 如果咖啡降溫到40 需要20min 那么降到35 時 需要多長時間 結(jié)果精確到0 1 例3 在經(jīng)濟學中 函數(shù)的邊際函數(shù)定義為 某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng) 生產(chǎn)x臺的收入函數(shù)為 單位 元 其成本函數(shù)為 單位 元 利潤是收入與成本之差 1 求利潤函數(shù)及邊際利潤函數(shù) 2 利潤函數(shù)與邊際利潤函數(shù)是具有相同的最大值 因此 解決應(yīng)用題的一般程序是 審題 弄清題意 分清條件和結(jié)論 理順數(shù)量關(guān)系 建模 將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言 利用數(shù)學知識 建立相應(yīng)的數(shù)學模型 解模 求解數(shù)學模型 得出數(shù)學結(jié)論 還原 將用數(shù)學知識和方法得出的結(jié)論 還原為實際問題的意義 作業(yè) p883 4 函數(shù)模型及其應(yīng)用 2 解決應(yīng)用題的一般程序是 審題 弄清題意 分清條件和結(jié)論 理順數(shù)量關(guān)系 建模 將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言 利用數(shù)學知識 建立相應(yīng)的數(shù)學模型 解模 求解數(shù)學模型 得出數(shù)學結(jié)論 還原 將用數(shù)學知識和方法得出的結(jié)論 還原為實際問題的意義 解之得 例2 某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE 如圖 上劃出一塊長方形的地面修建一幢公寓樓 已知EF 80m BC 70m BF 30m AF 20m 問 如何設(shè)計才能使公寓樓地面面積最大 最大面積是多少 D 例1 如圖 有一塊半徑為 的半圓形鋼板 計劃剪裁成等腰梯形 的形狀 它的下底 是 的直徑 上底 的端點在圓周上 問 腰為多少時 梯形周長最大 解 設(shè)腰長AD BC x 周長為y E 練習 1 有一批材料可以建成200m的圍墻 如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地 中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形 如下圖所示 則圍成的矩形最大面積為 m2 圍墻厚度不計 解析 設(shè)矩形寬為xm 則矩形長為 200 4x m 則矩形面積為S x 200 4x 4 x 25 2 2500 0 x 50 x 25時 S有最大值2500m2 2 有甲 乙兩種產(chǎn)品 生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品所獲得利潤分別為p和q 萬元 它們與投入的資金x 萬元 的關(guān)系分別為 今投入3萬元資金生產(chǎn)甲 乙兩種產(chǎn)品 為了獲得最大利潤 對甲乙兩種產(chǎn)品的投入分別應(yīng)為多少萬元 此時最大利潤是多少萬元 3某產(chǎn)品的成本y 萬元 與產(chǎn)量x 臺 之間的函數(shù)關(guān)系 若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元 則生產(chǎn)者不 虧本 即銷售收入不小于總成本 的最低產(chǎn)量臺數(shù)為 小結(jié) 2 解題過程 從問題出發(fā) 引進數(shù)學符號 建立函數(shù)關(guān)系式 再研究函數(shù)關(guān)系式的定義域 并結(jié)合問題的實際意義做出回答 即建立數(shù)學模型 并推理演算求出數(shù)學模型的解 再結(jié)合實際做出回答 1 解題四步驟 設(shè) 列 解 答 函數(shù)模型及其應(yīng)用 3 例1 某旅社有客房300間 每間日房租為20元 每天都客滿 公司欲提高檔次 并提高租金 如果每間客房每日增加2元 客房出租數(shù)就會減少10間 若不考慮其它因素 旅社將房間租金提高多少時 每天客房租金總收入最高 點撥 由題設(shè)可知 每天客房總的租金是增加2元的倍數(shù)的函數(shù) 設(shè)提高為x個2元 則依題意可算出總租金 用y表示 的表達式 由于房間數(shù)不太多 為了幫助同學理解這道應(yīng)用題 我們先用列表法求解 然后再用函數(shù)的解析表達式求解 解 設(shè)客房租金每間提高x個2元 Y 20 2x 300 10 x 20 x2 600 x 200 x 6000 20 x2 20 x 100 100 6000 20 x 10 2 8000 則將有10 x間客房空出 客房租金的總收入為 由此得到 當x 10時 y的最大值為8000 即每間租金為20 10 2 40 元 時客房租金總收入最高 每天為8000元 總結(jié) 通過列表的形式求解 直觀性強 有助于同學理解 但運算過程比較繁瑣 作為探求思路的方法還是可行的 根據(jù)題目的條件列出函數(shù)關(guān)系式 利用二次函數(shù)求極值 是常用的方法 練習 1 將進貨單價為80元的商品按90元一個出售時 能賣出400個 根據(jù)經(jīng)驗 該商品每個上漲1元 其銷售量就減少20個 為獲得最大利潤 售價應(yīng)定為多少元 最大利潤是多少 2 某車間最大生產(chǎn)能力為月生產(chǎn)100臺機床 至少要完成40臺才能保本 當生產(chǎn)x臺時的總成本函數(shù)為G x x2 10 x 百元 按市場規(guī)律 價格為P 970 5x x需求量 可以銷售完 試寫出利潤函數(shù) 并求出生產(chǎn)多少臺時 利潤最大 3 某商場出售一種商品 原來 每天可賣出1000件 每件可獲利4元 根據(jù)經(jīng)驗 若單件商品的價格每減少0 1元 每天的銷售量就會多出100件 從獲得最好的經(jīng)濟效益的角度來看 該商品的單價應(yīng)比現(xiàn)在減少 元 函數(shù)模型及其應(yīng)用 4 例題 一家報刊攤點 從報社買進報紙價格是每份0 24元 賣出是每份0 40元 賣不掉的報紙還可以每份0 08元的價格退回報社 在一個月的30天里 有20天每天可賣出300份 其余10天 每天賣出200份 但這30天里 每天從報社買進的份數(shù)必須相同 這家報刊攤點應(yīng)該每天從報社進多少份報紙 才能獲得最大利潤 一個月可賺多少錢 2 當200 x 300時 y 0 4 0 24 10 200 0 24 0 08 10 x 200 0 4 0 24 20 x 640 1 6x 640 1 6 300 1120 解 設(shè)這家報刊攤點每天從報社買進x份報紙 一個月可賺y元 1 當x 200時 y 0 4 0 24 30 x 4 8x 4 8 200 969 3 當x 300時 y 0 4 0 24 10 200 0 24 0 08 10 x 200 0 4 0 24 20 300 0 24 0 08 x 300 20 2560 4 8x 2560 4 8 300 1120 總結(jié) 求分段函數(shù)的最值 應(yīng)先求出函數(shù)在各部分的最值 然后取各部分的最值的最大值為整個函數(shù)的最大值 取各部分的最小者為整個函數(shù)的最小值 變式 如圖 一動點P自邊長為1的正方形的邊界運動一周后再回到A點 若點P的路程為x 點P到頂點A的距離為y 求A P兩點間的距離y與點P的路程x之間的函數(shù)關(guān)系式 2 某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元 每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元 已知總收益滿足函數(shù) 其中x是儀器的月產(chǎn)量 1 將利潤表示為當月產(chǎn)最的函數(shù) 2 求每月生產(chǎn)多少臺儀器時 公司所獲利潤最大 最大利潤為多少元 例2 在一定范圍內(nèi) 某種產(chǎn)品的購買量為yt 與單價x元之間滿足一次函數(shù)關(guān)系 如果購買1000t 每噸為800元 如果購買2000t 每噸為700元 一客戶購買400t 單價應(yīng)該為 A 820元B 840元C 860元D 880元 c 解 設(shè)在進價基礎(chǔ)上增加x元后 日均經(jīng)營利潤為y元 則有日均銷售量為 桶 而 有最大值 只需將銷售單價定為11 5元 就可獲得最大的利潤 利潤怎樣產(chǎn)生的 銷售