哈密頓力學(xué).ppt

4哈密頓動力學(xué) 1正則方程2守恒原理3泊松括號和泊松定理4劉維定理5哈密頓原理6正則變換7哈密頓 雅可比原理 拉格朗日動力學(xué) 哈密頓動力學(xué) 從量綱來分析 能量 時間 作用量 1 哈密頓正則方程 完整 保守的系統(tǒng) 動力學(xué)方程為拉格朗日方程 是廣義坐標(biāo)的二階微分方程 可改寫為 廣義動量定義為 2s個一階微分方程作為系統(tǒng)的動力學(xué)方程 用廣義坐標(biāo)和廣義動量來代替廣義坐標(biāo)和廣義速度 一 正則方程 從廣義動量的定義 解出廣義速度 系統(tǒng)的動力學(xué)方程 但形式由廣義坐標(biāo)的選取來確定 哈密頓正則方程 二 特性函數(shù) 三 勒讓德變換 兩個自變量的函數(shù) 四個變量之間的兩個方程 其中的2個是獨(dú)立的 以u y為獨(dú)立變量 則 構(gòu)造一個新的函數(shù) 因此 舊獨(dú)立變量 舊獨(dú)立變量 新獨(dú)立變量 不要的原獨(dú)立變量 新函數(shù) 新獨(dú)立變量 新的不獨(dú)立變量 原不獨(dú)立變量 新函數(shù) 新獨(dú)立變量 舊函數(shù) 保留的獨(dú)立變量 保留的不獨(dú)立變量 比較 將f換成g后 第一式 u與x對易 第二式 加負(fù)號 這種由一組獨(dú)立變量 x y 變?yōu)榱硪唤M獨(dú)立變量 u y 的變換成為勒讓德變換 勒讓德變換指出 獨(dú)立變量改變 相應(yīng)的函數(shù)本身隨之改變 這樣不獨(dú)立變量仍可以用獨(dú)立變量的偏導(dǎo)數(shù)表示 由勒讓德變換給出正則方程 拉格朗日變量 哈密頓變量 新函數(shù) 新的獨(dú)立變量 不要的原獨(dú)立變量 舊函數(shù) 根據(jù)前面我們得到的勒讓德變換有 這些勒讓德變換只是數(shù)學(xué)內(nèi)容 考慮拉格朗日方程 則有 哈密頓量H Ep Ek 動量定義 牛頓第二定律 p 廣義動量x 廣義位移 即 哈密頓正則方程 一維彈簧振子的運(yùn)動 哈密頓變量 哈密頓正則方程 哈密頓函數(shù) 拉格朗日變量 哈密頓變量 對比 可得 考慮拉格朗日方程 因此有 2 守恒原理 一 能量積分 哈密頓量 對時間求微商 考慮正則方程 也就是說 哈密頓函數(shù)H中不顯含時間t 則有 表示一積分常數(shù) 廣義能量守恒 由拉格朗日動力學(xué)可知 穩(wěn)定約束 體系機(jī)械能守恒 不穩(wěn)定約束 廣義能量守恒 二 循環(huán)積分 可遺坐標(biāo) 若哈密頓函數(shù)H中不顯含某一廣義坐標(biāo) 則由正則方程 立即有 也就是 這就是哈密頓動力學(xué)中的廣義動量守恒原理 拉格朗日動力學(xué) 拉格朗日函數(shù)中不顯含某一廣義坐標(biāo) 哈密頓動力學(xué) 哈密頓函數(shù)中不顯含某一廣義坐標(biāo) 廣義動量守恒原理的條件 這兩個條件實(shí)際上是等價的 即在L和H中 若其一不含廣義坐標(biāo)則另一必定也不含有 可遺坐標(biāo)對應(yīng)的廣義動量守恒 不含于L或H的廣義坐標(biāo)稱為可遺坐標(biāo) 若體系某一廣義動量守恒 給問題的求解帶來方便 這在拉格朗日動力學(xué)和哈密頓動力學(xué)中是相同的 但在哈密頓動力學(xué)中更適合于處理可遺坐標(biāo) 拉格朗日函數(shù)中雖然可以含有可遺坐標(biāo) 但是可以含有相應(yīng)的廣義速度 問題仍然是s個自由度 而哈密頓函數(shù)中 不僅不含有可遺坐標(biāo) 而相應(yīng)的廣義動量是個常數(shù) 因此這一自由度相當(dāng)于已經(jīng)解出 只要求解其他自由度即可 可見在哈密頓動力學(xué)中可遺坐標(biāo)才是正真的可以忽略 想一想 為什么不討論L中不顯含 或H中不顯含的問題 例1質(zhì)量為M的楔子置于光滑的水平桌面上 楔子底面也是光滑的 斜面卻是粗糙的 質(zhì)量為m 半徑為R的圓柱體沿著楔子斜面無滑動地滾下 求解楔子和圓柱體的運(yùn)動 解楔子可在水平方向運(yùn)動 取桌面上的固定點(diǎn)O為原點(diǎn) 把楔子的質(zhì)心 其實(shí)不一定要質(zhì)心 改為楔子的任一點(diǎn)也行 相對于O點(diǎn)的水平坐標(biāo)記作X 圓柱體可在楔子的斜面上滾動 把圓柱軸相對于楔子斜面上端并沿斜邊計(jì)算的坐標(biāo)記作q 把圓柱某根半徑與豎直向下之間的夾角記作 無滑動這個約束條件可寫為 這個運(yùn)動約束可以積分為 故 這是一個完整約束 q和 不獨(dú)立 這個系統(tǒng)有兩個自由度 可以選x和 是兩個獨(dú)立的廣義坐標(biāo) 主動力都是重力 圓柱體的勢能 楔子的動能為 圓柱的動能包括質(zhì)心的平動動能和繞 質(zhì)心轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能 所以 按定義 廣義動量 所以得到廣義速度 于是 系統(tǒng)的哈密頓函數(shù) 哈密頓函數(shù)不含有廣義坐標(biāo)X 所以X是循環(huán)坐標(biāo) 相應(yīng)的廣義動量守恒 此時對 的正則方程為 所以 這是勻加速轉(zhuǎn)動 積分一次 簡單推導(dǎo) 可得 例2 寫出粒子在中心勢場V a r中哈密頓函數(shù)和正則方程 解 自由度是2 廣義坐標(biāo)r 廣義動量 中心勢場粒子的能量守恒 因此粒子的哈密頓函數(shù)為 可以解得正則方程 該題還可解得 粒子的徑向運(yùn)動方程 角動量守恒定律 例3 分別用笛卡兒坐標(biāo) 柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)寫出一個自由質(zhì)點(diǎn)在勢場V 中的哈密頓函數(shù)H 解 體系為質(zhì)點(diǎn) 自由度數(shù)s 3 1 在笛卡兒坐標(biāo)系中 取x y z為廣義坐標(biāo) 則拉格朗日函數(shù)L為 2 在柱面坐標(biāo)系中 L T V 3 在球面坐標(biāo)系中 V V r V r 例4 求彈性雙原子分子的拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù) 設(shè)兩原子之間相互作用的彈性力為F k r r0 其中r為兩原子間距離 r0為兩原子處在平衡時的距離 解 為了求出拉格朗日函數(shù) 應(yīng)先求分子的動能 T Tc T 兩原子相對質(zhì)心的動能 質(zhì)心動能 把兩原子相對質(zhì)心的動能轉(zhuǎn)換為m2相對于m1的運(yùn)動 L T V 例5 一質(zhì)量為m的自由質(zhì)點(diǎn) 受力為位矢 k為大于零的常數(shù) 求在直角坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程 解 取x y z為廣義坐標(biāo) 動能為 例6 應(yīng)用哈密頓正則方程求核外電子的運(yùn)動規(guī)律 設(shè)電子的電量為 e 原子核帶電為Ze Z為原子序數(shù) 是循環(huán)坐標(biāo) p C 可見電子的運(yùn)動與無關(guān) 可令 則 在拉格朗日動力學(xué)中 從拉格朗日函數(shù)可以直接寫出動力學(xué)方程即拉格朗日方程 在哈密頓動力學(xué)中 必須從拉格朗日函數(shù)轉(zhuǎn)到哈密頓函數(shù) 才可寫出動力學(xué)方程即哈密頓正則方程 從哈密頓正則方程消去廣義動量的結(jié)果其實(shí)不過是從另一條路徑達(dá)到拉格朗日方程 所以哈密頓動力學(xué)不如拉格朗日動力學(xué)簡便 哈密頓動力學(xué)的優(yōu)點(diǎn)之一是便于量子化 另一個優(yōu)點(diǎn)在變量的變換中比較自由 拉格朗日動力學(xué)采用的變量廣義坐標(biāo)和廣義動量并不對等 只能對廣義坐標(biāo)進(jìn)行變換 而廣義速度也隨之而變 哈密頓動力學(xué)采用的變量坐標(biāo)和動量是完全對等的 不僅可以對廣義坐標(biāo)進(jìn)行變換 而且可以坐標(biāo)和動量一起變換 這個到下面正則變換時進(jìn)一步分析 3 泊松括號和泊松定理 哈密頓正則方程 對于循環(huán)坐標(biāo) 不顯含時間t 則有 稱為運(yùn)動積分 當(dāng)體系運(yùn)動時 如果函數(shù)則稱其為正則方程的一個運(yùn)動積分 若都是正則方程的運(yùn)動積分 則這些積分的任意函數(shù)任然是正則方程的積分 若找到了2s個獨(dú)立的運(yùn)動積分 則由 可以解出 即為正則方程的解 如果函數(shù) 是正則變量q p 和時間的函數(shù) 則它對時間的導(dǎo)數(shù)為 其中 H 叫做泊松括號 一 泊松括號的定義 如果函數(shù) 在運(yùn)動中保持為常數(shù) 則 如果函數(shù) 也是正則變量和時間的函數(shù) 泊松括號 定義為 二 泊松括號的性質(zhì) 雅可比恒等式 例1計(jì)算泊松括號 Ly Lz Lz Lx 和 Lx Ly Lx L2 Ly L2 和 Lz L2 這里L(fēng)是質(zhì)點(diǎn)的角動量 解 這里廣義坐標(biāo)q1 x q2 y q3 z 廣義動量p1 px p2 py p3 pz 先計(jì)算泊松括號 Ly Lz 即 同理 同理 三 泊松定理 如果函數(shù) 都是相空間中的運(yùn)動積分 則它們的組合 也是相空間中的運(yùn)動積分 證明 顯然 也是運(yùn)動常數(shù) 還可以通過類似的關(guān)系得到更多的運(yùn)動常數(shù) 1 利用泊松括號表示正則方程 即正則方程可以表示為 克朗內(nèi)克符號 2 利用泊松括號表示正則變量 是一組正則變量 四 量子力學(xué)中的泊松括號 在經(jīng)典力學(xué)中 兩個力學(xué)量同時具有確定的值并不成為問題 可是 在量子力學(xué)中這卻是個問題 力學(xué)量在量子力學(xué)中是用算符或矩陣表示的 兩個算符或矩陣的乘積一般是與這兩個算符或矩陣的先后次序有關(guān)的 兩個力學(xué)量X和Y是否可以同時具有確定的值就看它們的量子泊松括號 是否為零 如果兩個力學(xué)量的經(jīng)典泊松括號為零 則它們的量子松括號也為零 在量個力學(xué)中它們是可以同時確定的 比如 任意兩個廣義坐標(biāo)可以同時確定 任意兩個廣義動量也可以同時確定 一個廣義坐標(biāo)和對應(yīng)的廣義動量不能同時確定 一個廣義坐標(biāo)和非對應(yīng)的廣義動量可以同時確定 又比如 角動量的任意兩個分量不能同時確定 但角動量的一個分量和角動量的平方可以同時確定 4 劉維定理 分析力學(xué)解決宏觀機(jī)械問題的過程并不比牛頓力學(xué)簡單 但是對于大數(shù)目系統(tǒng) 往往牛頓力學(xué)無法求解 而運(yùn)用哈密頓正則方程卻容易的多 哈密頓動力學(xué)用廣義坐標(biāo)和廣義動量描述力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動 對一個自由度問題 某一時刻的狀態(tài)用x和p值表示 即xp平面上的一個點(diǎn)表示 隨著時間推移 狀態(tài)不斷變化 它在xp平面上刻畫出一條曲線 多自由度的情況也類似 對于s個自由度的力學(xué)系統(tǒng) 我們把廣義坐標(biāo)和廣義動量當(dāng)作直角坐標(biāo)而構(gòu)成2s維的空間叫作相空間 該力學(xué)系統(tǒng)在某一時刻的狀況也可用相空間的一個點(diǎn)表示 隨著時間的推移 相空間中的代表點(diǎn)給出的曲線形成相軌道 換句話說 相軌道給出力學(xué)系統(tǒng)隨時間的演變過程 原則上 給定力學(xué)系統(tǒng)的初始狀態(tài) 該系統(tǒng)的運(yùn)動就由動力學(xué)方程完全確定 即以相空間中某一點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)的相軌道 由動力學(xué)方程所完全決定 但是 如果系統(tǒng)的自由度數(shù)比較大 力學(xué)系統(tǒng)比較復(fù)雜 我們不能斷定相空間中究竟哪一點(diǎn)準(zhǔn)確地代表系統(tǒng)的狀態(tài) 怎么辦 替代的辦法 我們只能考慮各種可能的代表點(diǎn) 其中每一點(diǎn)都代表系統(tǒng)的一種可能狀態(tài) 實(shí)質(zhì)上 這是考慮處于給定約束條件下許許多多性質(zhì)完全相同的力學(xué)系統(tǒng) 這些性質(zhì)完全相同的力學(xué)系統(tǒng)構(gòu)成一個系綜 相空間中每一個代表點(diǎn)對應(yīng)于系綜中某一個力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài) 代表點(diǎn)的相軌道對應(yīng)于該系統(tǒng)的演變 各種可能的代表點(diǎn)則對應(yīng)于系綜中所有力學(xué)系統(tǒng)的狀況 各種可能的相軌道則對應(yīng)于系綜的演變 這就是統(tǒng)計(jì)力學(xué)的起點(diǎn) 劉維定理 保守力學(xué)體系在相空間中代表點(diǎn)的密度 在運(yùn)動過程中保持不變 物理含義 同一力學(xué)體系在不同的初始狀態(tài)所構(gòu)成的不同代表點(diǎn) 它們各自獨(dú)立地沿著正則方程所規(guī)定的軌道運(yùn)動 當(dāng)這些點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域隨時間運(yùn)動到另外一個區(qū)域時 在新的區(qū)域 代表點(diǎn)的密度 等于在出發(fā)區(qū)域中的密度 設(shè)體積元為 其中代表點(diǎn)的數(shù)目為dN 代表點(diǎn)的密度為 則 一般密度 隨時隨地不同 所以從 知 劉維定理說明在體系中 劉維定理證明 假定初始時 體元位置為 經(jīng)歷時間dt 這個固定體元中代表點(diǎn)的數(shù)目變化 另一方面也可以從代表點(diǎn)在運(yùn)動中出入這個固定體元的邊界的數(shù)目來計(jì)算在時間dt中代表點(diǎn)的數(shù)目變化 先考慮通過一對曲面q q dq 進(jìn)出d 代表點(diǎn)的增加 把體元d 表達(dá)式改寫為 在dt時間內(nèi)通過q 進(jìn)入d 的代表點(diǎn)必定位于一個柱體內(nèi) 柱體底為dA 高為 為相空間中代表點(diǎn)垂直于曲面q 的速度分量 所以在dt時間內(nèi)通過q 進(jìn)入d 的代表點(diǎn)數(shù)為 同理 在dt時間內(nèi)通過曲面q dq 離開d 代表點(diǎn)的數(shù)目為 兩者相減 得通過曲面q 和q dq 進(jìn)入d 代表點(diǎn)的凈數(shù)目為 同理 得通過曲面p 和p dp 進(jìn)入d 代表點(diǎn)的凈數(shù)目為 把上面兩式相加 并對 求和 則得在dt時間內(nèi)由于代表點(diǎn)的運(yùn)動 穿過d 的邊界而進(jìn)入其中的代表點(diǎn)的凈數(shù)目 顯然 所以 利用正則方程 得 證明完畢 劉維定理是統(tǒng)計(jì)力學(xué)的基本的定理 它是2s維的相空間中的定理 在普通空間或s維的位形空間 把s個廣義坐標(biāo)作為直角坐標(biāo)構(gòu)成的空間 中并不存在類似的定理 因此 在統(tǒng)計(jì)力學(xué)討論系綜時需要運(yùn)用哈密頓動力學(xué)而不用拉格朗日動力學(xué) 劉維定理的另外表示 5 哈密頓原理 力學(xué)原理 微分原理 牛頓動力學(xué)方程 拉格朗日動力學(xué)方程 哈密頓動力學(xué)方程 變分原理 積分形式 不涉及廣義坐標(biāo)的選取 有限自由度的力學(xué)體系 無限自由度的力學(xué)體系 非力學(xué)體系 動力學(xué)問題 一 變分法初步 1 泛函 最速落徑問題 質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道自A點(diǎn)自由下滑到B點(diǎn) 所需時間最短的路徑怎樣 總時間取決于軌道的形狀 即函數(shù)關(guān)系 而不是y的值 一個變數(shù)J的值取決于函數(shù)關(guān)系 就叫作函數(shù)的泛函 記做 2 變分問題 考慮最速落徑問題 選取適當(dāng)?shù)能壍朗官|(zhì)點(diǎn)從A到B自由下滑的時間最短 這就是泛函 的極值問題 泛函的極值問題叫做變分問題 3 歐拉方程 設(shè)泛函J只依賴于單個自變量x 單個函數(shù)y x 及其導(dǎo)數(shù) 即 函數(shù)F對于x y y 都是二次連續(xù)可導(dǎo) 所以y的二階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的 設(shè)函數(shù)關(guān)系y x 稍有變動 稱為函數(shù)y x 的變分 則泛函的值也隨之改變 其增量為 由于 這樣 在簡單的變分問題中 變分在端點(diǎn)保持為零 即 于是變分為零的要求是 上式對任意均成立 所以 就是泛函取極值的必要條件 叫做變分問題的歐拉方程 若泛函J不顯含x 則歐拉方程有初積分 證明 泛函取極值的必要條件 歐拉方程 拉格朗日方程 二 哈密頓原理 也就是說 拉格朗日方程是下列變分問題的歐拉方程 力學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)方程歸結(jié)為一個變分原理 力學(xué)系統(tǒng)從時刻t1到時刻t2的一切可能運(yùn)動之中 使作用量 取極值的運(yùn)動才是實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動 哈密頓原理 位形空間 以s個廣義坐標(biāo)為直角坐標(biāo)的空間 位形空間中的一個點(diǎn)可以表示體系任一時刻的位形 隨著時間的推移 力學(xué)系統(tǒng)的位形方式演變 位形空間中的代表點(diǎn)描繪出相應(yīng)的曲線 在一切可能的曲線中 使作用量取極值的那一條曲線就是真實(shí)的運(yùn)動 位形空間中的哈密頓原理 做變換 可得相空間中的哈密頓原理 在相空間中 有 力學(xué)系統(tǒng)的始末位形是確定的 則 因此有 也就是 正則方程 6 正則變換 一 正則變換的條件 點(diǎn)變換 廣義坐標(biāo)之間的變換 例如 有心力問題中 直角坐標(biāo) 極坐標(biāo) 極角是循環(huán)坐標(biāo) 哈密頓動力學(xué)中可以考慮更廣泛的變換 正則變換 變換后的動力學(xué)方程仍保持正則方程的形式 正則變量 共軛變量 變換前 變換后 都必須滿足正則方程 也就是說變分原理 二者等價 分析變分原理 給被積函數(shù)加上某個函數(shù)對時間的全導(dǎo)數(shù) 則增添的部分為 若認(rèn)為力學(xué)系統(tǒng)在位形空間或相空間中的